2023-2024学年北京市九年级数学第一学期期末经典试题

这是一份2023-2024学年北京市九年级数学第一学期期末经典试题，共18页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号等内容，欢迎下载使用。

1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点且CD＝4，则OE等于( )
A．1B．2C．3D．4
2．二次函数y＝2x2﹣4x﹣6的最小值是（ ）
A．﹣8B．﹣2C．0D．6
3．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）．
A．B．
C．D．
4．下列所给图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD·BC＝DE·AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有( )
A．1个B．2C．3个D．4个
6．关于的二次方程的一个根是0，则a的值是（ ）
A．1B．-1C．1或-1D．0.5
7．下列各点中，在反比例函数图像上的是（ ）
A．B．C．D．
8．某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面AB宽为80cm，管道顶端最高点到水面的距离为20cm，则修理人员需准备的新管道的半径为（ ）
A．50cmB．50cmC．100cmD．80cm
9．将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到的抛物线为（ ）
A．B．
C．D．
10．对于二次函数的图象，下列结论错误的是( )
A．顶点为原点B．开口向上C．除顶点外图象都在轴上方D．当时，有最大值
11．在一幅长60 cm、宽40 cm的长方形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如图.如果要使整个挂图的面积是2816 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是( )
A．(60＋2x)(40＋2x)＝2816
B．(60＋x)(40＋x)＝2816
C．(60＋2x)(40＋x)＝2816
D．(60＋x)(40＋2x)＝2816
12．方程x=x(x-1)的根是（ ）
A．x=0B．x=2C．x1=0，x2=1D．x1=0，x2=2
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知二次函数y＝ax1+bx+c(a＞0)图象的对称轴为直线x＝1，且经过点(﹣1，y1)，(1，y1)，则y1_____y1．(填“＞”“＜”或“＝”)
14．二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的图象的解析式为_____．
15．某剧场共有个座位，已知每行的座位数都相同，且每行的座位数比总行数少，求每行的座位数．如果设每行有个座位，根据题意可列方程为_____________．
16．某品牌手机六月份销售400万部，七月份、八月份销售量连续增长，八月份销售量达到576万部，则该品牌手机这两个月销售量的月平均增长率为_________.
17．如图，在中，在边上，，是的中点，连接并延长交于，则______．
18．当_____时，在实数范围内有意义．
三、解答题（共78分）
19．（8分）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“书”、“香”、“校”、“园”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为多少？
（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“书香”的概率．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，P为AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作PE⊥AB交AC边于E点，点E不与点C重合，若AB＝10，AC＝8，设AP的长为x，四边形PECB的周长为y，
（1）试证明：△AEP∽△ABC；
（2）求y与x之间的函数关系式．
21．（8分）深圳国际马拉松赛事设有A“全程马拉松”，B“半程马拉松”，C“嘉年华马拉松”三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组.
（1）小智被分配到A“全程马拉松”项目组的概率为 .
（2）用树状图或列表法求小智和小慧被分到同一个项目标组进行志愿服务的概率.
22．（10分）如图，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且．判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由．
23．（10分）在平面直角坐标系中，存在抛物线以及两点和.
(1)求该抛物线的顶点坐标;
(2)若该抛物线经过点，求此抛物线的表达式;
(3)若该抛物线与线段只有一个公共点，结合图象，求的取值范围.
24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作EF⊥AC，垂足为E，且交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）已知AB＝4，AE＝1．求BF的长．
25．（12分）如图，抛物线经过点，请解答下列问题:
求抛物线的解析式；
抛物线的顶点为点，对称轴与轴交于点，连接，求的长．
点在抛物线的对称轴上运动，是否存在点，使的面积为，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2分别交x轴、y轴于点A、B．点C的坐标是（﹣1，0），抛物线y＝ax2+bx﹣2经过A、C两点且交y轴于点D．点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点Q，连结DQ，设点P的横坐标为m（m≠0）．
（1）求点A的坐标．
（2）求抛物线的表达式．
（3）当以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】利用菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD＝4，AC⊥BD，
又∵点E是边AB的中点，
∴OE＝AB＝1．
故选：B．
此题主要考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出OE=AB是解题关键．
2、A
【分析】将函数的解析式化成顶点式，再根据二次函数的图象与性质即可得．
【详解】
因此，二次函数的图象特点为：开口向上，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大
则当时，二次函数取得最小值，最小值为．
故选：A．
本题考查了二次函数的图象与性质，熟记函数的图象特征与性质是解题关键．
3、B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义进行判断．
【详解】A、既是中心对称图形，又是轴对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，但是轴对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，但是轴对称图形，不符合题意；
故选B．
本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解题的关键．
4、D
【解析】A. 此图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故A选项错误；
B. 此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故B选项错误；
C. 此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故D选项错误．
D. 此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C选项正确；
故选D.
5、D
【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可．
【详解】解：①由∠AED=∠B，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
②DE∥BC，则有∠AED=∠C，∠ADE=∠B，则可判断△ADE∽△ACB；
③＝，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
④AD·BC＝DE·AC，可化为，此时不确定∠ADE=∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB；
⑤由∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
所以能满足△ADE∽△ACB的条件是：①②③⑤，共4个，
故选：D．
此题考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的三种判定定理．
6、B
【分析】把代入可得，根据一元二次方程的定义可得，从而可求出的值．
【详解】把代入，得：
，
解得：，
∵是关于x的一元二次方程，
∴，
即，
∴的值是，
故选：B．
本题考查了对一元二次方程的定义，一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法等知识点的理解和运用，注意隐含条件．
7、C
【分析】把每个点的坐标代入函数解析式，从而可得答案．
【详解】解：当时， 故A错误；
当时， 故B错误；
当时， 故C正确；
当时， 故D错误；
故选C．
本题考查的是反比例函数图像上点的坐标特点，掌握以上知识是解题的关键．
8、A
【分析】连接OA作弦心距，就可以构造成直角三角形．设出半径弦心距也可以得到，利用勾股定理就可以求出了．
【详解】解：如图，
过点O作于点C，边接AO，
，
在中，，
，
解，得AO=50
故选：A
本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
9、B
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到的抛物线为：．
故选：B．
本题考查了抛物线的平移，属于基础题型，熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键．
10、D
【分析】根据二次函数的性质逐项判断即可.
【详解】根据二次函数的性质，可得：
二次函数顶点坐标为（0，0），开口向上，故除顶点外图象都在x轴上方，
故A、B、C正确；当x=0时，y有最小值为0，故D错误.
故选：D.
本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点坐标，开口方向，最值与系数之间的关系是解题的关键.
11、A
【解析】根据题意可知，挂画的长和宽分别为（60+2x）cm和(40＋2x)cm，据此可列出方程(60＋2x)(40＋2x)＝2816
【详解】若设金色纸边的宽为x cm，则挂画的长和宽分别为（60+2x）cm和(40＋2x)cm，
可列方程(60＋2x)(40＋2x)＝2816
故答案为A.
本题考查一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解题关键.
12、D
【详解】解：先移项，再把方程左边分解得到x（x﹣1﹣1）=0，
原方程化为x=0或x﹣1﹣1=0，
解得：x1=0； x2=2
故选D．
本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧进行计算是解题关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、>
【分析】根据二次函数y＝ax1+bx+c(a＞0)图象的对称轴为直线x＝1，且经过点(﹣1，y1)，(1，y1)和二次函数的性质可以判断y1 和y1的大小关系．
【详解】解：∵二次函数y＝ax1+bx+c(a＞0)图象的对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵该函数经过点(﹣1，y1)，(1，y1)，|﹣1﹣1|＝1，|1﹣1|＝1，
∴y1＞y1，
故答案为：＞．
本题考查了二次函数的增减性问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
14、y＝2（x+2）2﹣1
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【详解】由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+2）2，即y＝2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝2（x+2）2向下平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+2）2﹣1，即y＝2（x+2）2﹣1．
故答案为：y＝2（x+2）2﹣1．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
15、x(x+12)=1
【分析】设每行有个座位，根据等量关系，列出一元二次方程，即可．
【详解】设每行有个座位，则总行数为(x+12)行，
根据题意，得：x(x+12)=1，
故答案是：x(x+12)=1．
本题主要考查一元二次方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．
16、20%
【分析】根据增长（降低）率公式可列出式子.
【详解】设月平均增长率为x.
根据题意可得:.
解得:.
所以增长率为20%.
故答案为:20%.
本题主要考查了一元二次方程的应用，记住增长率公式很重要.
17、
【分析】过O作BC的平行线交AC与G，由中位线的知识可得出AD：DC=1：2，根据已知和平行线分线段成比例得出AD=DG=GC，AG：GC=2：1，AO：OE=2：1，再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出BE：EC的比．
【详解】解：如图，过O作OG∥BC，交AC于G，
∵O是BD的中点，
∴G是DC的中点．
又AD：DC=1：2，
∴AD=DG=GC，
∴AG：GC=2：1，AO：OE=2：1，
∴S△AOB：S△BOE=2
设S△BOE=S，S△AOB=2S，又BO=OD，
∴S△AOD=2S，S△ABD=4S，
∵AD：DC=1：2，
∴S△BDC=2S△ABD=8S，S四边形CDOE=7S，
∴S△AEC=9S，S△ABE=3S，
∴ ==
本题考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式．
18、x≥1且x≠1
【分析】二次根式及分式有意义的条件：被开方数为非负数，分母不为1，据此解答即可．
【详解】∵有意义，
∴x≥1且﹣1≠1，
∴x≥1且x≠1时，在实数范围内有意义，
故答案为：x≥1且x≠1
本题考查二次根式和分式有意义的条件，要使二次根式有意义，被开方数为非负数；要使分式有意义分母不为1．
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）
【分析】（1）写有“书”的小球只有1个，所以球上的汉字刚好是“书”的概率为；
（2）画出树状图，然后找出取出两个球的汉字能组成“书香”的个数，用组成“书香”的个数比总数即为所求的概率.
【详解】（1）写有“书”的小球只有1个，所以从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中取出的两个球上的汉字能组成“书香”的结果数为2，所以P（取出的两个球上的汉字能组成“书香”）
本题主要考查用树状图或列表法求随机事件的概率，画出树状图是解题的关键，再用所求情况数与总数之比求概率即可.
20、（1）见解析；（2）y=．（0＜x＜6.4）
【分析】（1）可证明△APE和△ACB都是直角三角形，还有一个公共角，从而得出：△AEP∽△ABC；
（2）由勾股定理得出BC，再由相似，求出PE＝x，，即可得出y与x的函数关系式．
【详解】（1）∵PE⊥AB，
∴∠APE＝90°，
又∵∠C＝90°，
∴∠APE＝∠C，
又∵∠A＝∠A，
∴△AEP∽△ABC；
（2）在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝8，
∴BC＝，
由（1）可知，△APE∽△ACB
∴，
又∵AP＝x，
即，
∴PE＝x， ，
∴＝．（0＜x＜6.4）
本题考查了相似三角形的性质问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．
21、（1）（2）
【分析】（1）直接利用概率公式可得；
（2）记这三个项目分别为A、B、C，画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】（1）小智被分配到A“全程马拉松”项目组的概率为，
故答案为：.
（2）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中小智和小慧被分配到同一个项目组的结果数为3，
所以小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率为.
本题主要考察概率，熟练掌握概率公式是解题关键.
22、△ABC∽△A'B'C'，理由见解析
【分析】由题意知，根据相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似，可证得△ABD∽△A'B'D'，进而可得∠B＝∠B'，再根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，即可得△ABC∽△A'B'C'．
【详解】△ABC∽△A'B'C'，
理由：∵
∴△ABD∽△A'B'D'，
∴∠B＝∠B'，
∵AD、A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线
∴，，
∴，
在△ABC和△A'B'C'中
∵，且∠B＝∠B'
∴△ABC∽△A'B'C'．
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似．
23、（1）（0,2）；（2）；（3）m=2或.
【分析】（1）是顶点式，可得到结论；
（2）把A点坐标代入得方程，于是得到结论；
（3）分两种情况：当抛物线开口向上或向下时，分别画出图形，找到临界位置关系，求出m的值，再进行分析变化趋势可得到结论．
【详解】（1）是顶点式，顶点坐标为；
（2）∵抛物线经过点，
∴m=9m +2，
解得： ，
∴
(3)如图1，当抛物线开口向上时，抛物线顶点在线段上时， ；
当m>2时，直线x=1交抛物线于点（1，m+2）,交点位于点B上方，所以此时线段与抛物线一定有两个交点，不符合题意；
如图2，当抛物线开口向下时，抛物线顶过点时， ；
直线x=-3交抛物线于点（-3，9m+2）,当时，9m+2综上所述，当或 时，抛物线与线段只有一个公共点.
本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考虑特殊情况是关键，考查了数形结合的数学思想．
24、（1）证明见解析；（2）2.
【解析】（1）作辅助线，根据等腰三角形三线合一得BD＝CD，根据三角形的中位线可得OD∥AC，所以得OD⊥EF，从而得结论；
（2）证明△ODF∽△AEF，列比例式可得结论．
【详解】（1）证明：连接OD，AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵OA＝OB，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵OD∥AE，
∴△ODF∽△AEF，
∴，
∵AB＝4，AE＝1，
∴，
∴BF＝2．
本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、相似三角形的性质和判定，圆的切线的判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
25、（1）y=-x2+2x+3；（2）2；（3）存在点F，点F（1，2）或（1，-2）
【分析】（1）利用待定系数法即可求出结论；
（2）先求出顶点D的坐标，然后分别求出BE和DE的长，利用勾股定理即可求出结论；
（3）先求出BC的长，然后根据三角形的面积公式即可求出点F的纵坐标，从而求出结论．
【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（-1，0），
∴将A（0，3），B（-1，0）代入得：，
解得：
则抛物线解析式为y=-x2+2x+3；
（2）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4
由D为抛物线顶点，得到D（1，4），
∵ 对称轴与 x 轴交于点E ，
∴ DE=4，OE=1 ，
∵ B（﹣1，0），
∴ BO=1，
∴ BE=2，
在 RtBED 中，根据勾股定理得： BD==2
（3）抛物线的对称轴为直线x=1
由对称性可得：点C的坐标为（3,0）
∴BC=3－（-1）=4
∵的面积为，
∴BC·=4
解得：=2或-2
∴点F的坐标为（1，2）或（1，-2）
即存在点F，点F（1，2）或（1，-2）
此题考查的是二次函数的综合大题，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、勾股定理和三角形的面积公式是解决此题的关键．
26、（1）点A坐标为（4，0）；（2）y＝x2﹣x﹣2；（3）m＝2或1+或1﹣．
【分析】(1)直线y=﹣x+2中令y=0，即可求得A 点坐标；
(2)将A、C坐标代入，利用待定系数法进行求解即可；
(3)先求出BD的长，用含m的式子表示出MQ的长，然后根据BD=QM，得到关于m的方程，求解即可得.
【详解】(1)令y＝﹣x+2＝0，解得：x＝4，
所以点A坐标为：(4，0)；
(2)把点A、C坐标代入二次函数表达式，得
，
解得：，
故：二次函数表达式为：y＝x2﹣x﹣2；
(3)y=﹣x+2中，令x=0，则y=2，故B(0，2)，
y＝x2﹣x﹣2中，令x=0，则y=-2，故D(0，-2)，
所以BD=4，
设点M(m，﹣m+2)，则Q(m，m2﹣m﹣2)，
则MQ=|(m2﹣m﹣2)-(﹣m+2)|=|m2﹣m﹣4|
以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，
则：MQ＝BD＝4，
即|m2﹣m﹣4|=4，
当m2﹣m﹣4=-4时，
解得：m＝2或m＝0(舍去)；
当m2﹣m﹣4=4时，
解得m＝1±，
故：m＝2或1+或1-．
本题考查了待定系数法求函数解析式，函数图象与坐标轴的交点，平行四边形的性质，解一元二次方程等内容，综合性较强，熟练掌握相关内容并运用分类讨论思想是解题的关键.