2023-2024学年福建省福州市中学数学九年级第一学期期末调研试题

这是一份2023-2024学年福建省福州市中学数学九年级第一学期期末调研试题，共18页。试卷主要包含了抛物线 的顶点坐标是，已知是方程的一个解，则的值是等内容，欢迎下载使用。

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．掷一次骰子，向上一面的点数是6
B．13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月
C．射击运动员射击一次，命中靶心
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数分别是
A．3，B．3，1C．，1D．3，6
3．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为( )
A．100°B．110°C．115°D．120°
4．抛物线 的顶点坐标是（ ）
A．（2，1）B．C．D．
5．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点(1,3)，则的值可以为
A．B．C．D．
6．下列选项的图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（ ）
A．B．2C．6D．8
8．已知是方程的一个解，则的值是（ ）
A．±1B．0C．1D．-1
9．下面四个实验中，实验结果概率最小的是( )
A．如（1）图，在一次实验中，老师共做了400次掷图钉游戏，并记录了游戏的结果绘制了下面的折线统计图，估计出的钉尖朝上的概率
B．如（2）图，是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率
C．如（3）图，有一个小球在的地板上自由滚动，地板上的每个格都是边长为1的正方形，则小球在地板上最终停留在黑色区域的概率
D．有7张卡片，分别标有数字1，2，3，4，6，8，9，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出一张，抽出标有数字“大于6”的卡片的概率
10．小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（ ）
A．B．C．D．
11．一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下，滑下的距离s（m）与时间t（s）之间的关系为s＝8t+2t2，若滑到坡底的时间为4s，则此人下降的高度为（ ）
A．16mB．32mC．32mD．64m
12．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（ ）
A．12个B．16个C．20个D．30个
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，在反比例函数的图象上任取一点P，过P点分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M，N，那么四边形PMON的面积为_____．
14．飞机着陆后滑行的距离y（m）与滑行时间x（s）的函数关系式为y=﹣x2+60x，则飞机着陆后滑行_____m才停下来．
15．如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，AD∶DF∶FB＝2∶3∶4，若EG＝4，则AC＝________.
16．在这三个数中，任选两个数的积作为的值，使反例函数的图象在第二、四象限的概率是______．
17．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，
则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是_____．
18．若关于x的方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图是反比例函数y＝的图象，当－4≤x≤－1时，－4≤y≤－1.
(1)求该反比例函数的表达式；
(2)若点M，N分别在该反比例函数的两支图象上，请指出什么情况下线段MN最短(不需要证明)，并注出线段MN长度的取值范围．
20．（8分）如图所示，一辆单车放在水平的地面上，车把头下方处与坐垫下方处在平行于地面的同一水平线上，，之间的距离约为，现测得，与的夹角分别为与，若点到地面的距离为，坐垫中轴处与点的距离为，求点到地面的距离（结果保留一位小数）.（参考数据：，，）
21．（8分）如图，△ABC是等腰三角形，且AC=BC，∠ACB=120°，在AB上取一点O，使OB=OC，以O为圆心，OB为半径作圆，过C作CD∥AB交⊙O于点D，连接BD．
（1）猜想AC与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；
（2）已知AC=6，求扇形OBC围成的圆锥的底面圆半径．
22．（10分）如图1，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．
求：（1）若鸡场面积150平方米，鸡场的长和宽各为多少米？
（2）鸡场面积可能达到200平方米吗？
（3）如图2，若在鸡场内要用竹篱笆加建一道隔栏，则鸡场最大面积可达多少平方米？
23．（10分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格图中，△ABC的顶点都在网格线交点上．
（1）图中AC边上的高为 个单位长度；
（2）只用没有刻度的直尺，在所给网格图中按如下要求画图（保留必要痕迹）：
①以点C为位似中心，把△ABC按相似比1:2缩小，得到△DEC；
②以AB为一边，作矩形ABMN，使得它的面积恰好为△ABC的面积的2倍．
24．（10分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE．
（Ⅰ）求证：∠A＝∠EBC；
（Ⅱ）若已知旋转角为50°，∠ACE＝130°，求∠CED和∠BDE的度数．
25．（12分）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD＝4，sin∠AOD＝，且点B的坐标为（n，﹣2）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）请直接写出满足kx+b＞的x的取值范围；
（3）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．
26．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连结AC、OC、BC．求证：∠ACO=∠BCD．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，即发生的概率是1的事件．
【详解】解：A．掷一次骰子，向上一面的点数是6，属于随机事件；
B.13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月，属于必然事件；
C．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件；
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件；
故选B．
此题主要考查事件发生的概率，解题的关键是熟知必然事件的定义.
2、A
【分析】根据一元二次方程的定义解答．
【详解】3x2−6x+1=0的二次项系数是3，一次项系数是−6，常数项是1.
故答案选A.
本题考查的知识点是一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的一般形式.
3、B
【分析】连接AD，BD，由圆周角定理可得∠ABD＝20°，∠ADB＝90°，从而可求得∠BAD＝70°，再由圆的内接四边形对角互补得到∠BCD=110°.
【详解】如下图，连接AD，BD，
∵同弧所对的圆周角相等，∴∠ABD=∠AED＝20°，
∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°-20°=70°，
∴∠BCD=180°-70°=110°.
故选B
本题考查圆中的角度计算，熟练运用圆周角定理和内接四边形的性质是关键.
4、D
【分析】根据抛物线顶点式解析式直接判断即可．
【详解】解：抛物线解析式为：，
∴抛物线顶点坐标为：（﹣2，1）
故选：D．
此题根据抛物线顶点式解析式求顶点坐标，掌握顶点式解析式的各项的含义是解此题的关键．
5、B
【分析】把点(1,3)代入中即可求得k值.
【详解】解：把x=1，y=3代入中得
，
∴k=3.
故选：B.
本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，能理解把已知点的坐标代入解析式是解题关键.
6、B
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
本题主要考查的是中心对称图形，理解中心对称图形的定义是判断这四个图形哪一个是中心对称图形的关键.
7、B
【解析】根据垂径定理，构造直角三角形，连接OC，在RT△OCE中应用勾股定理即可．
【详解】试题解析：由题意连接OC，得
OE=OB-AE=4-1=3，
CE=CD= =，
CD=2CE=2，
故选B．
8、A
【分析】利用一元二次方程解得定义，将代入得到，然后解关于的方程.
【详解】解：将代入得到，
解得
故选A
本题考查了一元二次方程的解.
9、C
【分析】根据概率的求解方法分别求出各概率的大小，即可判断.
【详解】A. 如（1）图，在一次实验中，老师共做了400次掷图钉游戏，并记录了游戏的结果绘制了下面的折线统计图，估计出的钉尖朝上的概率大概为0.4；
B. 如（2）图，是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率为≈0.33；
C. 如（3）图，有一个小球在的地板上自由滚动，地板上的每个格都是边长为1的正方形，则小球在地板上最终停留在黑色区域的概率为
D. 有7张卡片，分别标有数字1，2，3，4，6，8，9，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出一张，抽出标有数字“大于6”的卡片的概率≈0.29.
故选C
此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知概率的计算.
10、A
【解析】∵密码的末位数字共有10种可能（0、1、 2、 3、4、 5、 6、 7、 8、 9、 0都有可能），
∴当他忘记了末位数字时，要一次能打开的概率是.
故选A.
11、B
【分析】根据时间，算出斜坡的长度，再根据坡比和三角函数的关系，算出人的下降高度即可.
【详解】设斜坡的坡角为α，
当t＝4时，s＝8×4+2×42＝64，
∵斜坡的坡比1：，
∴tanα＝，
∴α＝30°，
∴此人下降的高度＝×64＝32，
故选：B．
本题考查坡比和三角函数中正切的关系，属基础题.
12、A
【解析】∵共摸了40次，其中10次摸到黑球，∴有10次摸到白球．
∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：1．∴口袋中黑球和白球个数之比为1：1．
∴4×1=12（个）．故选A．
考点：用样本估计总体．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】设出点P的坐标，四边形PMON的面积等于点P的横纵坐标的积的绝对值，把相关数值代入即可．
【详解】设点P的坐标为（x，y），
∵点P的反比例函数的图象上，
∴xy＝﹣1，
作轴于，作轴于，
∴四边形PMON为矩形，
∴四边形PMON的面积为|xy|＝1，
故答案为1．
考查反比例函数的比例系数的意义；用到的知识点为：在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数．注意面积应为正值．
14、600
【分析】根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值.
【详解】解：∵y=﹣x2+60x=﹣(x﹣20)2+600，
∴x=20时，y取得最大值，此时y=600，
即该型号飞机着陆后滑行600m才能停下来.
故答案为600.
本题主要考查了二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法得出是解题关键.
15、12
【解析】试题解析：根据平行线分线段成比例定理可得：



故答案为
16、
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，并求出 k为负值的情况数，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
，
∵共有6种等可能的结果，任选两个数的积作为k的值，k为负数的有4种，
∴反比例函数的图象在第二、四象限的概率是：．
故答案为：．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
17、6.18＜x＜6.1
【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y＝0时，相应的自变量的取值范围即可．
【详解】由表格数据可得，当x＝6.18时，y＝﹣0.01，当x＝6.1时，y＝0.02，
∴当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为6.18＜x＜6.1，
故答案为：6.18＜x＜6.1．
本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
18、k≥-1
【解析】首先讨论当时，方程是一元一次方程，有实数根，当时，利用根的判别式△=b2-4ac=4+4k≥0，两者结合得出答案即可．
【详解】当时，方程是一元一次方程：，方程有实数根；
当时，方程是一元二次方程，
解得：且.
综上所述，关于的方程有实数根，则的取值范围是.
故答案为
考查一元二次方程根的判别式，注意分类讨论思想在解题中的应用，不要忽略
这种情况.
三、解答题（共78分）
19、（1）（2）MN≥4
【分析】（1）根据反比例函数自变量与因变量的取值知当x＝－4时，y＝－1，当x=-1，时y=-4，代入其中一组即可求出反比例函数的解析式;（2）根据反比例函数的中心对称图性知当点M，N都在直线y＝x上时，此时线段MN的长度最短，联立y＝与y＝x即可求出M、N的坐标，再求出此时MN的距离，故线段MN长度的取值范围为MN≥4.
【详解】∵反比例函数图象的两支曲线分别位于第一、三象限，
∴当－4≤x≤－1时，y随着x的增大而减小，
又∵当－4≤x≤－1时，－4≤y≤－1，
∴当x＝－4时，y＝－1，由y＝
得k＝4，
∴该反比例函数的表达式为y＝.
当点M，N都在直线y＝x上时，线段MN的长度最短，
解，
得x1=2,x2=-2,
∴点M，N的坐标分别为(2，2)，(－2，－2)，
MN =4，
故线段MN长度的取值范围为MN≥4.
此题主要考查反比例函数的图像，解题的关键是利用变量的取值来确定坐标，从而解出解析式.
20、66.7cm
【分析】过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，设CH=x，则AH=CH=x，BH=CHct68°=0.4x，由AB=49知x+0.4x=49，解之求得CH的长，再由EF=BEsin68°=3.72根据点E到地面的距离为CH+CD+EF可得答案．
【详解】如图，过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，
设 CH=x，则 AH=CH=x，
BH=CHct68°=0.4x，
由 AB=49 得 x+0.4x=49，
解得：x=35，
∵BE=4，
∴EF=BEsin68°=3.72，
则点E到地面的距离为 CH+CD+EF=35+28+3.72≈66.7(cm)，
答：点E到地面的距离约为 66.7cm.
本题考查解直角三角形的实际应用，构造直角三角形，利用已知角度的三角函数值是解题的关键.
21、 (1)见解析;(2).
【解析】（1）根据等腰三角形的性质得∠ABC=∠A=30°，再由OB=OC和∠CBO=∠BCO=30°，所以∠OCA=120°﹣30°=90°，然后根据切线的判定定理即可得到，AC是⊙O的切线；（2）在Rt△AOC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到CO= ,所以弧BC的弧长=，然后根据圆锥的计算求圆锥的底面圆半径．
【详解】（1）AC与⊙O相切，
理由：∵AC=BC，∠ACB=120°，
∴∠ABC=∠A=30°．
∵OB=OC，∠CBO=∠BCO=30°，
∴∠OCA=120°﹣30°=90°，
∴AC⊥OC，
又∵OC是⊙O的半径，
∴AC与⊙O相切；
（2）在Rt△AOC中，∠A=30°，AC=6，
则tan30°===，∠COA=60°，
解得：CO=2，
∴弧BC的弧长为： =，
设底面圆半径为：r，
则2πr=，
解得：r=．
本题考查了等腰三角形的性质、圆锥的计算和切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
22、（1）长为15米，宽为10米；（2）不可能达到200平方米；（3）
【分析】（1）若鸡场面积150平方米，求鸡场的长和宽，关键是用一个未知数表示出长或宽，并注意去掉门的宽度；
（2）求二次函数的最值问题，列出面积的关系式化为顶点式，确定函数最大值与200的大小关系，即可得到答案；
（3）此题中首先设出鸡场的面积和宽，列函数式时要注意墙宽有三条道，所以鸡场的长要用篱笆的周长减去3个宽再加上大门的宽2米，再求函数式的最大值．
【详解】（1）设宽为x米，则：x（33﹣2x+2）＝150，
解得：x1＝10，x2＝（不合题意舍去），
∴长为15米，宽为10米；
（2）设面积为w平方米，则：W＝x（33﹣2x+2），
变形为： ，
∴鸡场面积最大值为=153＜200，即不可能达到200平方米；
（3）设此时面积为Q平方米，宽为x米，则：Q＝x（33﹣3x+2），
变形得：Q＝﹣3（x-）2+ ，
∴此时鸡场面积最大值为．
此题考查一元二次方程的实际应用，二次函数最大值的确定方法，正确理解题意列得方程及二次函数关系式是解题的关键.
23、（1）；（2）①见解析，②见解析
【分析】（1）利用等面积法即可求出AC边上的高；
（2）①利用位似图形的性质得出对应点位置连接即可；
②利用矩形的判定方法即可画出．
【详解】解：（1）由图可知,设AC边上的高为x，
则由三角形面积公式可得：
解得，即AC边上的高为.
（2）①如图所示：△DEC即为所求．
②如图所示：矩形ABMN即为所求．
本题考查作位似图形，矩形的判定，勾股定理.（1）中熟练掌握等面积法是解决此问的关键；（2）中能作出AC的中点是解题关键；（3）中注意矩形的四个角都是直角，且矩形的一边为AB，另一边要与△ABC中AB边上的高相等.
24、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）∠BDE=50°, ∠CED =35°
【分析】（Ⅰ）由旋转的性质可得AC＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，由等腰三角形的性质可求解．
（Ⅱ）由旋转的性质可得AC＝CD，∠ABC＝∠DEC，∠ACD＝∠BCE＝50°，∠EDC＝∠A，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质可求解．
【详解】证明：（Ⅰ）∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴AC＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，
∴∠A＝，∠CBE＝，
∴∠A＝∠EBC；
（Ⅱ）∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴AC＝CD，∠ABC＝∠DEC，∠ACD＝∠BCE＝50°，∠EDC＝∠A，∠ACB=∠DCE
∴∠A＝∠ADC＝65°，
∵∠ACE＝130°，∠ACD＝∠BCE＝50°，
∴∠ACB＝∠DCE =80°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠BCA＝35°，
∵∠EDC＝∠A＝65°，
∴∠BDE＝180°﹣∠ADC﹣∠CDE＝50°．∠CED=180°﹣∠DCE﹣∠CDE=35°
本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．
25、（1）y＝﹣，y＝﹣x+1；（2）x＜﹣3或0＜x＜6；（3）点P的坐标为P（0，5）或（0，﹣5）或（0，8）或（0，）
【分析】（1）先利用三角函数求出OD，得出点A坐标，进而求出反比例函数解析式，进而求出点B坐标，将点A，B坐标代入直线解析式中，建立方程组，求解即可得出结论；
（2）根据图象直接得出结论；
（3）设出点E坐标，进而表示出AE，OE，再分OA=OE，OA=AE，OE=AE三种情况，建立方程求解即可得出结论．
【详解】∵AD⊥x轴，
∴∠ADO＝90°，
在Rt△AOD中，AD＝4，
∴sin∠AOD＝＝＝，
∴OA＝5，根据勾股定理得，OD＝3，
∵点A在第二象限，
∴A（﹣3，4），
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝﹣3×4＝﹣12，
∴反比例函数解析式为y＝﹣，
∵点B（n，﹣2）在反比例函数y＝﹣上，
∴﹣2n＝﹣12，
∴n＝6，
∴B（6，﹣2），
∵点A（﹣3，4），B（6，﹣2）在直线y＝kx+b上，
∴，
∴，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1；
（2）由图象知，满足kx+b＞的x的取值范围为x＜﹣3或0＜x＜6；
（3）设点E的坐标为（0，a），
∵A（﹣3，4），O（0，0），
∴OE＝|a|，OA＝5，AE＝，
∵△AOE是等腰三角形，
∴①当OA＝OE时，|a|＝5，
∴a＝±5，
∴P（0，5）或（0，﹣5），
②当OA＝AE时，5＝，
∴a＝8或a＝0（舍），
∴P（0，8），
③当OE＝AE时，|a|＝，
∴a＝，
∴P（0，），
即：满足条件的点P的坐标为P（0，5）或（0，﹣5）或（0，8）或（0，）．
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，锐角三角函数，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
26、证明见解析
【分析】根据圆周角定理的推论即可求得.
【详解】证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴．
∴∠A=∠1．
又∵OA=OC，
∴∠1=∠A．
∴∠１＝∠1．
即：∠ACO=∠BCD．
本题考查了圆周角定理的推论：在同圆或等圆中同弧或等弧所对圆周角相等.
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04