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辽宁省沈阳市第一二〇中学2023-2024学年高三上学期第四次质量监测数学试题
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数学试题
满分：150分 时间：120分钟 命题人：马健 于茂源 校对人：高越
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 7D. 8
2. 已知复数满足，则的虚部为（ ）
A B. C. D.
3. 若的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的展开式中常数项为（ ）
A. 90B. -90C. 180D. -180
4. 向量，且，则（ ）
A. B. C. D.
5. 在《九章算术商功》中将正四面形棱台体棱台的上、下底面均为正方形称为方亭．在方亭中，，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为，则该方亭的体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 在数列中，，且函数导函数有唯一零点，则的值为（ ）．
A. 1021B. 1022C. 1023D. 1024
7. 已知点是圆上的动点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知三棱锥的底面为等腰直角三角形，其顶点P到底面ABC的距离为3，体积为24，若该三棱锥的外接球O的半径为5，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为（ ）
A. 6πB. 30π
C. D.
二、多选题（本题共4小题，共20分，每题选项全对给5分，少选或漏选给2分，错选、多选和不选给0分）
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 在回归分析中，相关指数越小，说明回归效果越好
B. 已知，若根据2×2列联表得到的观测值为4.1，则有95%的把握认为两个分类变量有关
C. 已知由一组样本数据（，2，，n）得到的回归直线方程为，且，则这组样本数据中一定有
D. 若随机变量，则不论取何值，为定值
10. 若函数的图象关于直线对称，则（ ）
A.
B. 点是曲线的一个对称中心
C. 直线也是一条对称轴
D. 函数在区间上单调
11. 已知是数列的前项和，且，则下列选项中正确的是（ ）.
A. （）
B.
C. 若，则
D. 若数列单调递增，则的取值范围是
12. 若正实数满足，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若直线：与：平行，则，间的距离是______．
14. 已知锐角，满足，则__________.
15. 第19届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”､“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有__________.（用数字作答）
16. 在锐角中，，若点为的外心，且，则的最大值为___________.
四、解答题（本题共6小题，共70分）
17. 的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，面积为，求的周长．
18. 已知点，圆的半径为1.
（1）若圆的圆心坐标为，过点作圆的切线，求此切线的方程；
（2）若圆的圆心在直线上，且圆上存在点，使，为坐标原点，求圆心的横坐标的取值范围.
19. 已知数列中，，是数列的前项和，且.
（1）求数列的通项公式：
（2）证明：
20. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?
21. 在一次数学随堂小测验中，有单项选择题和多项选择题两种.单项选择题，每道题四个选项中仅有一个正确，选择正确得5分，选择错误得0分；多项选择题，每道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分.
（1）小明同学在这次测验中，如果不知道单项选择题的答案就随机猜测.已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是.问小明在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，求他知道这道单项选择题正确答案的概率；
（2）小明同学在做某道多项选择题时，发现该题四个选项他均无把握判断正误，于是他考虑了以下两种方案：方案①单选：在四个选项中，等可能地随机选择一个；方案②多选：在有可能是正确答案的所有选项组合（如、等）中，等可能地随机选择一种.若该多项选择题有三个选项是正确的，请从数学期望的角度分析，小明应选择何种方案，并说明理由.
22. 设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，设极大值点为为的零点，求证：.
数学试题
满分：150分 时间：120分钟 命题人：马健 于茂源 校对人：高越
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 7D. 8
2. 已知复数满足，则的虚部为（ ）
A B. C. D.
3. 若的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的展开式中常数项为（ ）
A. 90B. -90C. 180D. -180
4. 向量，且，则（ ）
A. B. C. D.
5. 在《九章算术商功》中将正四面形棱台体棱台的上、下底面均为正方形称为方亭．在方亭中，，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为，则该方亭的体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 在数列中，，且函数导函数有唯一零点，则的值为（ ）．
A. 1021B. 1022C. 1023D. 1024
7. 已知点是圆上的动点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知三棱锥的底面为等腰直角三角形，其顶点P到底面ABC的距离为3，体积为24，若该三棱锥的外接球O的半径为5，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为（ ）
A. 6πB. 30π
C. D.
二、多选题（本题共4小题，共20分，每题选项全对给5分，少选或漏选给2分，错选、多选和不选给0分）
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 在回归分析中，相关指数越小，说明回归效果越好
B. 已知，若根据2×2列联表得到的观测值为4.1，则有95%的把握认为两个分类变量有关
C. 已知由一组样本数据（，2，，n）得到的回归直线方程为，且，则这组样本数据中一定有
D. 若随机变量，则不论取何值，为定值
10. 若函数的图象关于直线对称，则（ ）
A.
B. 点是曲线的一个对称中心
C. 直线也是一条对称轴
D. 函数在区间上单调
11. 已知是数列的前项和，且，则下列选项中正确的是（ ）.
A. （）
B.
C. 若，则
D. 若数列单调递增，则的取值范围是
12. 若正实数满足，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若直线：与：平行，则，间的距离是______．
14. 已知锐角，满足，则__________.
15. 第19届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”､“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有__________.（用数字作答）
16. 在锐角中，，若点为的外心，且，则的最大值为___________.
四、解答题（本题共6小题，共70分）
17. 的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，面积为，求的周长．
18. 已知点，圆的半径为1.
（1）若圆的圆心坐标为，过点作圆的切线，求此切线的方程；
（2）若圆的圆心在直线上，且圆上存在点，使，为坐标原点，求圆心的横坐标的取值范围.
19. 已知数列中，，是数列的前项和，且.
（1）求数列的通项公式：
（2）证明：
20. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?
21. 在一次数学随堂小测验中，有单项选择题和多项选择题两种.单项选择题，每道题四个选项中仅有一个正确，选择正确得5分，选择错误得0分；多项选择题，每道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分.
（1）小明同学在这次测验中，如果不知道单项选择题的答案就随机猜测.已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是.问小明在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，求他知道这道单项选择题正确答案的概率；
（2）小明同学在做某道多项选择题时，发现该题四个选项他均无把握判断正误，于是他考虑了以下两种方案：方案①单选：在四个选项中，等可能地随机选择一个；方案②多选：在有可能是正确答案的所有选项组合（如、等）中，等可能地随机选择一种.若该多项选择题有三个选项是正确的，请从数学期望的角度分析，小明应选择何种方案，并说明理由.
22. 设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，设极大值点为为的零点，求证：.
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