高考数学一轮复习第2章2高考试题中的抽象函数学案

这是一份高考数学一轮复习第2章2高考试题中的抽象函数学案，共5页。
抽象函数问题是近三年新高考命题的热点，因为没有给出具体的函数解析式，对数学抽象和逻辑推理的要求较高，成为高考数学的一大难点．事实上，解决此类问题时，只要准确掌握函数的基本性质，熟知我们所学的基本初等函数，将抽象函数问题转化为具体函数问题，问题就迎刃而解．具体的可概括为函数性质法、赋值法和构造函数法．
命题点一 与奇偶性、对称性相关的求值问题
[典例1] (多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)．若f32-2x，g(2＋x)均为偶函数，则( )
A．f(0)＝0 B．g-12＝0
C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2)
BC [因为f32-2x，g(2＋x)均为偶函数，
所以f32-2x＝f32+2x，
即f32-x＝f32+x，g(2＋x)＝g(2－x)，
所以f(3－x)＝f(x)，g(4－x)＝g(x)，则f(－1)＝f(4)，故C正确；
函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x＝32，x＝2对称，
又g(x)＝f′(x) ，且函数f(x)可导，所以g32＝0，g(3－x)＝－g(x)，
所以g(4－x)＝g(x)＝－g(3－x)，所以g(x＋2)＝－g(x＋1)＝g(x)，
所以g-12＝g32＝0，
g(－1)＝g(1)＝－g(2)，故B正确，D错误；
若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)＋C(C 为常数)也满足题设条件，所以无法确定f(x)的函数值，故A错误．
故选BC.]
本题改编于2021年新高考Ⅱ卷T8，对照两题，发现多了一个条件“g(x)＝f′(x)”，看似波澜不惊，实则隐含信息较多，难度陡然翻倍．实际上，原函数与导函数之间存在一些性质．
设函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域为R，则如下3个性质成立：
(1)f(x)关于直线x＝a对称⇒f′(x)关于点A(a，0)中心对称；
(2)f′(x)关于直线x＝b对称⇒f(x)关于点B(b，f(b))中心对称；
(3)f(x)是周期为T的周期函数⇒f′(x)是周期为T的周期函数．
[跟进训练]
1．(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)，若f(3－x)，g52-2x均为奇函数，则( )
A．f(3)＝0 B．g(3)＝0
C．f52＝f72 D．g(5)＝－g(8)
AD [∵f(3－x)，g52-2x均为奇函数，
∴f(3＋x)＝－f(3－x)，g52+2x＝－g52-2x，∴f(x)的图象关于点(3，0)对称，g(x)的图象关于点52，0对称；∴A正确；∵g(x)＝f′(x)，
∴g(x)的图象关于直线x＝3对称，B错误；∴g(x)的周期为2，∴g(5)＝－g(0)，g(8)＝g(0)，∴g(5)＝－g(8)，D正确；∵f(3＋x)＝－f(3－x)，
∴f52＝－f72，C错误．故选AD.]
命题点二 与周期性相关的求值问题
[典例2] (2022·新高考Ⅱ卷)若函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则k=122fk＝( )
A．－3 B．－2
C．0 D．1
A [令y＝1得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)·f(1)＝f(x)⇒f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，
故f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1)，
消去f(x＋2)和f(x＋1)得到f(x＋3)＝－f(x)，故f(x)的周期为6；
令x＝1，y＝0得f(1)＋f(1)＝f(1)·f(0)⇒f(0)＝2，
f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，
f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，
f(4)＝f(3)－f(2)＝－2－(－1)＝－1，
f(5)＝f(4)－f(3)＝－1－(－2)＝1，
f(6)＝f(5)－f(4)＝1－(－1)＝2，
故k=122fk
＝3[f(1)＋f(2)＋…＋f(6)]＋f(19)＋f(20)＋f(21)＋f(22)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1＋(－1)＋(－2)＋(－1)＝－3，即
k=122fk＝－3．故选A.]
根据对题目给出的抽象函数性质的理解，将条件和结论有机地结合起来，作适当变形，我们找到一个符合题意的具体函数或给变量赋值，把抽象函数问题化为具体的数学问题，从而问题得解．如常见的抽象函数7大模型：
(1)一次函数：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－b.
(2)二次函数：f(a－x)＝f(a＋x)．
(3)幂函数：f(xy)＝f(x)f(y)．
(4)指数函数：f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(x－y)＝fxfy.
(5)对数函数：f(xy)＝f(x)＋f(y)，fxy＝f(x)－f(y)．
(6)正切函数：f(x±y)＝fx±fy1∓fxfy.
(7)余弦函数：f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，f(x)＋f(y)＝2fx-y2fx+y2.
[跟进训练]
2．已知函数f(x)的定义域为R，f(1)＝14，且满足4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，则f(2 023)＝________．
14 [取x＝1，y＝0得4f(1)f(0)＝f(1)＋f(1)，∵f(1)＝14，∴f(0)＝12.
取x＝n，y＝1，有f(n)＝f(n＋1)＋f(n－1)，
同理f(n＋1)＝f(n＋2)＋f(n)．
联立得f(n＋2)＝－f(n－1)，
所以f(n)＝－f(n＋3)＝f(n＋6)，
所以函数是周期函数，周期T＝6，
故f(2 023)＝f(1)＝14.]