高考数学一轮复习第3章2构造函数妙解题学案

这是一份高考数学一轮复习第3章2构造函数妙解题学案，共10页。
f′(x)g(x)±f(x)g′(x)型
[典例1] 设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)0⇔[f(x)g(x)] ′>0，所以函数y＝f(x)g(x)在(－∞，0)上单调递增．又由题意知函数y＝f(x)g(x)为奇函数，所以其图象关于原点对称，且过点(－3，0)，(0，0)，(3，0)．数形结合(图略)可求得不等式f(x)g(x)0(或k(或0(或0(或0的解集是( )
A．(－3，0)∪(3，＋∞)
B．(－3，0)∪(0，3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0，3)
A [设函数F(x)＝fxgx， ∵F(－x)＝f-xg-x＝-fxgx＝－F(x), ∴函数F(x)是R上的奇函数，当x0，且f(3)＝0, ∴当x＜0时，F′(x)＝f'xgx-fxg'xgx2>0，F(3)＝0, ∴F(x)在(－∞，0)上为增函数，且F(－3)＝0，
∴当x∈(－3，0)时，F(x)>0，此时，f(x)g(x)>0；
∵函数F(x)是R上的奇函数， ∴当x∈(3，＋∞)时，F(x)>0，此时，f(x)g(x)>0．综上，不等式f(x)g(x)>0的解集是(－3，0)∪(3，＋∞)．故选A.]
xf′(x)±nf(x)型
[典例2] (1)已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x＞0时，2f(x)＞xf′(x)，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是________．
(2)设f(x)是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f(x)＋xf′(x)＜0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)＞0的解集为________．
(1)(－1，0)∪(0，1) (2)(－∞，－4)∪(0，4) [(1)构造F(x)＝fxx2，
则F′(x)＝f'x·x-2fxx3，
当x＞0时，xf′(x)－2f(x)＜0，可以推出当x＞0时，F′(x)＜0，F(x)在(0，＋∞)上单调递减．
∵f(x)为偶函数，y＝x2为偶函数，∴F(x)为偶函数，∴F(x)在(－∞，0)上单调递增．根据f(－1)＝0可得F(－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象如图所示，根据图象可知f(x)＞0的解集为(－1，0)∪(0，1)．
(2)构造F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，当x＜0时，f(x)＋xf′(x)＜0，可以推出当x＜0时，F′(x)＜0，∴F(x)在(－∞，0)上单调递减．∵f(x)为偶函数，y＝x为奇函数，∴F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递减．根据f(－4)＝0可得F(－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象如图所示，根据图象可知xf(x)＞0的解集为(－∞，－4)∪(0，4)．]
(1)对于不等式nf(x)＋xf′(x)>0(或0(或0(或0(或2f-3π4
C．2f-5π6b>c.故选D.]
不等式结构特征相同型——同构法
[典例6] (1)(多选)(2022·湖北新高考联盟)已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中错误的是( )
A．ln 2＞2e B．ln 3＜3e
C．ln π＞πe D．ln3lnπ＜3π
(2)(2023·青海模拟)若0