高考数学一轮复习第4章4三角函数中ω的范围问题学案

这是一份高考数学一轮复习第4章4三角函数中ω的范围问题学案，共5页。

[典例1] (1)为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为( )
A．98π B．1972π
C．1992π D．100π
(2)已知函数f(x)＝cs ωx+π3(ω>0)的一条对称轴为x＝π3，一个对称中心为点π12，0，则ω有( )
A．最小值2 B．最大值2
C．最小值1 D．最大值1
(1)B (2)A [(1)由题意，至少出现50次最大值即至少需要4914个周期，所以1974T＝1974·2πω≤1，所以ω≥1972π.
(2)因为函数的对称中心到对称轴的最短距离是T4，两条对称轴间的最短距离是T2，所以对称中心π12，0到对称轴x＝π3间的距离用周期可表示为π3-π12＝T4+kT2(k∈N，T为周期)，解得(2k＋1)T＝π，又T＝2πω，所以(2k＋1)·2πω＝π，则ω＝2(2k＋1)，当k＝0时，ω＝2最小．故选A.]
解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T＝2πω与所给区间的关系，从而建立不等关系．
[跟进训练]
1．(1)已知函数f(x)＝sin ωx+π3(ω>0)，若f(x)在0，2π3上恰有两个零点，则ω的取值范围是( )
A．52，4 B．1，43
C．1，53 D．32，3
(2)若函数f(x)＝2tan kx+π3的最小正周期T满足1(1)A (2)2或3 [(1)因为0≤x≤2π3，且ω>0，所以π3≤ωx＋π3≤2πω3+π3，又f(x)在0，2π3上恰有两个零点，所以2πω3+π3≥2π且2πω3+π3<3π，解得52≤ω<4．故选A.
(2)由题意得1<πk<2，k∈N，
∴π2题型二 利用三角函数的单调性求解
[典例2] (多选)已知函数gx＝sin ωx(ω>0)在-π6，π4上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为x＝3π2，则ω的值可能是( )
A．13 B．73
C．1 D．53
ACD [由题意得：3π2ω=kπ+π2，k∈Z，π4≤π2ω，
ω=23k+13，k∈Z，0<ω≤2 ⇒ω＝13，1，53.
故选ACD.]
根据正弦函数的单调递增区间，确定函数g(x)的单调递增区间，根据函数g(x)＝sin ωx(ω>0)在区间-π6，π4上单调递增，建立不等式，即可求ω的取值范围．
[跟进训练]
2．已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0)满足fπ4＝2，f(π)＝0，且f(x)在区间π4，π3上单调，则符合条件的ω的值有________个．
9 [设函数f(x)的最小正周期为T，
由fπ4＝2，f(π)＝0，
结合正弦函数图象的特征可知T4+kT2＝3π4，k∈N，
故T＝3π1+2k，k∈N.
又因为f(x)在区间π4，π3上单调，
所以π3-π4≤T2，故T≥π6，
所以ω＝2πT≤12，即21+2k3≤12，
所以k≤172，k∈N，所以k＝0，1，2，…，8，符合条件的ω的值有9个．]
题型三 利用三角函数的最值、对称性求解
[典例3] (1)函数fx＝sin ωx+π6(ω>0)在0，π内有且仅有一个极大值点，则ω的取值范围为( )
A．13，73 B．13，+∞
C．0，13 D．13，103
(2)已知函数f(x)＝sin ωx+π4(ω＞0)，若f(x)在(0，2π)上恰有3个极值点，则ω的取值范围是________．
(1)A (2)98，138 [(1)法一：因为ω>0，所以函数fx在0，π内有且仅有一个极大值点等价于函数y＝sin x在π6，ωπ+π6内有且仅有一个极大值点．
若y＝sin x在π6，ωπ+π6上有且仅有一个极大值点，则π2<ωπ＋π6≤5π2，解得13<ω≤73.
故选A.
法二：令ωx＋π6＝2kπ＋π2，可得fx的极大值点x＝2kπω+π3ω，其中k∈Z.
由2kπω+π3ω∈0，π，k∈Z，可得－16由题设可知这个范围的整数k有且仅有一个，因此0<ω2-16≤1，于是正数ω的取值范围为13，73，选项A正确．故选A.
(2)令t＝ωx＋π4，因为x∈(0，2π)，ω＞0，所以t∈π4，2ωπ+π4，结合y＝sin t的图象得5π2＜2ωπ＋π4≤7π2，解得98＜ω≤138.]
利用三角函数的最值与对称或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围．
[跟进训练]
3．(1)若函数f(x)＝3sin ωx＋cs ωx(ω＞0)在区间0，π6上仅有一条对称轴及一个对称中心，则ω的取值范围为( )
A．(5，8) B．(5，8]
C．(5，11] D．[5，11)
(2)(多选)(2023·山东泰安模拟)已知函数fx＝sin ωx+φω>0在-π3，π6上单调，且fπ6＝f4π3＝－f-π3，则ω的取值可能为( )
A．35 B．75
C．95 D．127
(1)B (2)ACD [(1)由题意，函数f(x)＝3sin ωx＋cs ωx＝2sin ωx+π6，因为x∈0，π6，可得π6＜ωx＋π6＜π6(1＋ω)，要使得函数f(x)在区间0，π6上仅有一条对称轴及一个对称中心，则满足π＜π6(1＋ω)≤3π2，解得5＜ω≤8，所以ω的取值范围为(5，8].
(2)设fx的最小正周期为T，则由题意可得T2≥π6--π3，即T≥π.由fx在-π3，π6上单调，且fπ6＝－f-π3，得fx的一个零点为-π3+π62＝－π12.因为fπ6＝f4π3，所以有以下三种情况：①T＝4π3-π6＝7π6，则ω＝2πT＝127；②3T4＝4π3+π62--π12＝5π6，则ω＝2πT＝95；③T4＝5π6，则ω＝2πT＝35.故选ACD.]