高考数学一轮复习第4章5与三角形有关的范围(最值)问题学案

这是一份高考数学一轮复习第4章5与三角形有关的范围(最值)问题学案，共8页。

[典例1] (2020·浙江高考)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知2b sin A－3a＝0．
(1)求角B的大小；
(2)求cs A＋cs B＋cs C的取值范围．
[解] (1)由正弦定理，得2sin B sin A＝3sin A，
故sin B＝32，由题意得B＝π3.
(2)由A＋B＋C＝π，得C＝2π3－A.
由△ABC是锐角三角形，得A∈π6，π2.
由cs C＝cs 2π3-A＝－12cs A＋32sin A，得
cs A＋cs B＋cs C＝32sin A＋12cs A＋12
＝sin A+π6+12∈3+12，32.
故cs A＋cs B＋cs C的取值范围是3+12，32.
由于本题是锐角三角形，对角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题．
[跟进训练]
1．若△ABC的面积为34(a2＋c2－b2)，且∠C为钝角，则∠B＝________；ca的取值范围是________．
60° (2，＋∞) [由已知得34(a2＋c2－b2)＝12ac sin B，所以3a2+c2-b22ac＝sin B，由余弦定理得3cs B＝sin B，所以tan B＝3，所以B＝60°，又C＞90°，B＝60°，所以A＜30°，且A＋C＝120°，所以ca＝sinCsinA＝sin120°-AsinA＝12+32tanA.又A＜30°，所以0＜tan A＜33，即1tanA＞3，所以ca＞12+32＝2．]
题型二 已知三角形的一角及其对边求取值范围
[典例2] (2020·全国Ⅱ卷)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinB sin C.
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
[四字解题]
[解] (1)由正弦定理和已知条件得
BC2－AC2－AB2＝AC·AB. ①
由余弦定理得
BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cs A. ②
由①②得cs A＝－12.
因为0＜A＜π，所以A＝2π3.
(2)法一(基本不等式)：由余弦定理得：BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cs A＝AC2＋AB2＋AC·AB＝9，
即AC+AB2－AC·AB＝9．
∵AC·AB≤AC+AB22(当且仅当AC＝AB时取等号)，
∴9＝AC+AB2－AC·AB≥AC+AB2－AC+AB22＝34 AC+AB2，
解得AC＋AB≤23(当且仅当AC＝AB时取等号)，
∴△ABC周长L＝AC＋AB＋BC≤3＋23，
∴△ABC周长的最大值为3＋23.
法二(三角函数法)：由正弦定理及(1)得ACsinB＝ABsinC＝BCsinA＝23，
从而AC＝23sin B，
AB＝23sin(π－A－B)＝3cs B－3sin B.
故BC＋AC＋AB＝3＋3sin B＋3cs B
＝3＋23sin B+π3.
又0＜B＜π3，
所以当B＝π6时，△ABC周长取得最大值3＋23.
本题的求解可采用两种思路：思路一是借助余弦定理及AC·AB≤AC+AB22求周长的范围；思路二是借助正弦定理把BC，AC，AB表示成三角函数，利用三角函数的性质求最值．
[跟进训练]
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积记为S△ABC，满足a2＋b2－c2＝433S△ABC.
(1)求C；
(2)若c＝3，求2a－4sin B的取值范围．
[解] (1)∵a2＋b2－c2＝433S△ABC，
∴2ab cs C＝433×12ab sin C，所以tan C＝3，由C为三角形内角得C＝π3.
(2)由正弦定理得asinA＝csinC＝2，∴a＝2sin A，
∴2a－4sin B＝4sin A－4sin B
＝4sin A－4sin 2π3-A＝4sin A-π3，
由0＜A＜2π3得－π3＜A－π3＜π3，
∴－32＜sin A-π3＜32，
∴－23＜4sin A-π3＜23.
故2a－4sin B的取值范围为(－23，23)．
题型三 已知三角形的一角及其邻边求取值范围
[典例3] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a sin A+C2＝b sin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
[解] (1)由题设及正弦定理得
sin A sin A+C2＝sin B sin A.
因为sin A≠0，所以sin A+C2＝sin B.
由A＋B＋C＝180°，可得sin A+C2＝cs B2，
故cs B2＝2sin B2cs B2.
因为cs B2≠0，故sin B2＝12，所以B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝34a.
由(1)知A＋C＝120°.
由正弦定理得a＝csinAsinC＝sin120°-CsinC＝32tanC+12.
由于△ABC为锐角三角形，故0°因此，△ABC面积的取值范围是38，32.
本例由于含有附加条件“△ABC为锐角三角形”，故不能采用基本不等式，转化成三角函数后，求解思路类似于典例2．
[跟进训练]
3．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，c＝2，A＝π3，则a＋b的取值范围是________．
(1＋3，4＋23) [因为c＝2，A＝π3，
则由正弦定理， 可得a＝csinAsinC＝3sinC，b＝csinBsinC＝2sin2π3-CsinC ，
所以a＋b＝3sinC+3csC+sinCsinC
＝1＋31+csCsinC＝1＋23cs2C22sinC2csC2
＝1＋3tanC2，
由△ABC是锐角三角形，可得0所以π12所以1＋3题型四 已知三角形中角(或边)的关系求取值范围
[典例4] (12分)(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csA1+sinA＝sin2B1+cs2B.
(1)若C＝2π3，求B；
(2)求a2+b2c2的最小值．
[规范解答] (1)因为csA1+sinA＝sin2B1+cs2B＝2sincsB2cs2B＝sinBcsB，即sin B＝cs A cs B－sin A sin B＝cs (A＋B)＝－cs C＝12，
而0＜B＜π3，所以B＝π6.·············································4分
(2)由(1)知，sin B＝－cs C＞0，所以π2＜C＜π，0＜B＜π2，
而sin B＝－cs C＝sin C-π2，·····································6分
↓
关键点：由此发现B，C的关系
所以C＝π2＋B，即有A＝π2－2B.······································7分
所以a2+b2c2＝sin2A+sin2Bsin2C··············································8分
↓
切入点：实现边角互化
＝cs22B+1-cs2Bcs2B
＝2cs2B-12+1-cs2Bcs2B
＝4cs2B＋2cs2B－5···············································10分
≥28－5＝4 2－5，·············································11分
当且仅当cs2B＝22时取等号，所以a2+b2c2的最小值为42－5.············12分
本题第(1)问难度较小，可以从中体会由角B，C的关系求B，进而发现求解第(2)问需要建立角A、B、C的内在联系，进而采用消元思想求解，解题的关键点是“sin B＝－cs C＝sin C-π2”．
[跟进训练]
4．已知在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝π3，则b2+c2a2的取值范围是( )
A．54，3 B．0，3
C．54，2 D．53，2
D [A＝π3，由正弦定理可得
b2+c2a2＝sin2B+sin2Csin2A＝43sin2B+sin2C
＝43sin2B+sin22π3-B
＝431-cs2B2+1-cs4π3-2B2，
＝431+12sin2B-π6
因为0所以π6所以12即b2+c2a2的取值范围是53，2.]
读
想
算
思
BC＝3，求△ABC周长的最大值
最值的求法
基本不等式
余弦定理及AC·AB≤AC+AB22求周长的范围
转化化归、函数与方程
三角函数
正弦定理把BC，AC，AB表示成三角函数，并求最值