第二十六章 反比例函数教学设计

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反比例函数章末复习教学目标　　1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，能判断一个给定函数是否为反比例函数．2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式．3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的性质，能利用这些性质分析和解决实际问题．教学重点1．用待定系数法求反比例函数的解析式．2．根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的性质，能利用这些性质分析和解决实际问题．教学难点　　能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的性质，能利用这些性质分析和解决实际问题．教学过程 复习导入 　　请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．1．举例说明什么是反比例函数．2．反比例函数的图象是什么样的？反比例函数有什么性质？3．我们知道，函数是描述现实世界中变化规律的数学模型，反比例函数描述的变化规律是怎样的？4．与正比例函数、一次函数、二次函数的图象相比，反比例函数的图象特殊在哪里？5．你能举出现实生活中几个运用反比例函数性质的实例吗？6．结合本章内容，请你谈一谈运用数形结合解决问题的体会．　　【设计意图】以问题串的形式创设情境，引导学生复习回顾已学知识点，通过学生回答，检查学生对知识的掌握情况，加深学生对知识的理解，提高学生灵活运用知识的能力． 要点复习 考点一　反比例函数的概念　　【例1】反比例函数的图象经过点(5，2)，若点(1，n)也在反比例函数的图象上，则n等于（　　）．A．2 B．5 C．10 D．　　【师生活动】教师提问，学生作答即可．【答案】C【解析】∵反比例函数的图象经过点(5，2)和(1，n)，∴2×5＝n，则n＝10．故选C．　　【归纳】解决反比例函数概念类问题的技巧：（1）方程思想：根据反比例函数的概念或相关条件列方程，从而求出参数得到答案．（2）待定系数法：反比例函数中只含有一个参数，只要求出其图象上一个点的坐标，代入即可得到参数的值，进而求出反比例函数的解析式，解决问题．【设计意图】通过回顾反比例函数的概念，让学生能应用反比例函数的概念解决相关问题并掌握解决反比例函数概念类问题的技巧．【跟踪训练1】若反比例函数的图象经过第二、第四象限，求函数的解析式．【答案】解：根据题意得解得m＝－5，∴2m＋1＝－9．∴函数的解析式是．考点二　反比例函数的图象和性质　　【例2】一次函数y＝ax＋a(a为常数，a≠0)与反比例函数(a为常数，a≠0)在同一平面直角坐标系内的图象大致为（　　）．A． B．C． D．　　【师生活动】小组讨论后学生代表作答，教师补充．【答案】C【解析】当a＞0时，一次函数的图象经过第一、第二、第三象限，反比例函数的图象位于第一、第三象限；当a＜0时，一次函数的图象经过第二、第三、第四象限，反比例函数的图象位于第二、第四象限．故选C．【归纳】反比例函数(k为常数，k≠0)的图象与性质的识记，一般离不开分类讨论和数形结合．（1）分类讨论：识记反比例函数(k为常数，k≠0)的图象和性质，往往要分k＞0和k＜0两种情况．（2）数形结合：画出反比例函数(k为常数，k≠0)图象的草图，函数的增减性往往一目了然．【设计意图】通过解决与反比例函数的图象和性质相关的问题，让学生了解识记反比例函数图象与性质的方法．【跟踪训练2】已知点A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3)都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）．A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1【答案】D【解析】方法1：分别把各点的坐标代入反比例函数解析式，求出y1＝6，y2＝3，y3＝－2，∴y3＜y2＜y1．方法2：画出草图，从图中可得y3＜y2＜y1．考点三　与反比例函数k有关的问题　　【例3】下列图形中，阴影部分面积最大的是（　　）．A． B．C． D．　　【师生活动】教师引导，学生作答，然后讲解知识点．【答案】C【解析】选项A，B中阴影部分的面积均为．选项C中延长MN交x轴于点P，如图．直线MN对应的函数解析式为y＝－x＋4，直线MN与x轴的交点P的坐标为(4，0)． 则阴影部分的面积为S△MOP－S△NOP＝．选项D中的阴影部分的面积为．故选项C中阴影部分的面积最大．　　【归纳】在与图形面积有关的反比例函数问题中，注意将图形适当地组合或割补，尤其注意从图象上的点向坐标轴作垂线段，以便充分运用反比例函数的比例系数的几何意义解题．【设计意图】通过解决该例题，让学生巩固反比例函数(k为常数，k≠0)中与比例系数k有关的知识．【跟踪训练3】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A作x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1．（1）求反比例函数的解析式；（2）在y轴上求一点P，使PA＋PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标．【答案】解：（1）∵反比例函数的图象过点A，过点A作x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1，∴．∵k＞0，∴k＝2．故反比例函数的解析式为．（2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于点P，则PA＋PB最小．由解得或∴A(1，2)，B．∴A′(－1，2)，最小值．设直线A′B的解析式为y＝mx＋n，则解得∴直线A′B的解析式为，∴x＝0时，．∴P点坐标为．考点四　反比例函数的实际应用　　【例4】“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．科学证实：近视眼镜的度数y（单位：度）与镜片焦距x（单位：m）成反比例．如果500度近视眼镜片的焦距为0.2 m，则表示y与x函数关系的图象大致是（　　）．A． B．C． D．　　【师生活动】学生小组讨论后作答，然后教师补充纠正．【答案】B【解析】根据题意近视眼镜的度数y（单位：度）与镜片焦距x（单位：m）成反比例，设．由于点(0.2，500)在此函数的图象上，∴k＝0.2×500＝100，∴．∵近视眼镜的度数y（单位：度）与镜片焦距x（单位：m）都大于0，故选B．【归纳】用反比例函数解决实际问题应注意：（1）理清题目中的常量与变量及其基本数量关系，将实际问题抽象成数学问题，建立反比例函数模型；（2）要分清自变量和函数，以便写出正确的函数解析式，结合问题的实际意义，确定自变量的取值范围；（3）熟练掌握反比例函数的定义、图象和性质，特别是图象，要做到数形结合，这样有利于分析和解决问题．【设计意图】通过解决本例题，锻炼学生抽象概括、建立数学模型和解决实际问题的能力．【跟踪训练4】小成利用暑期参加社会实践，在妈妈的帮助下，利用社区提供的免费摊点卖玩具，已知小成所有玩具的进价均2元/个，在销售过程中发现：每天玩具销售量y件与销售价格x元/件的关系如图所示，其中AB段为反比例函数图象的一部分，BC段为一次函数图象的一部分．设小成销售这种玩具的日利润为w元．（1）根据图象，求出y与x之间的函数解析式；（2）若小成某天将价格定为超过4元/件(x＞4)，且销售利润为54元，求该天玩具的销售价格．【答案】解：（1）∵AB段为反比例函数图象的一部分，A(2，40)，∴当2≤x≤4时，．∵BC段为一次函数图象的一部分，且B(4，20)，C(14，0)，∴设BC段的一次函数解析式为y＝kx＋b，有解得∴当4＜x≤14时，y＝－2x＋28．∴y与x之间的函数解析式为（2）由题意可知w＝(－2x＋28)(x－2)＝－2x2＋32x－56，令w＝54，即w＝－2x2＋32x－56＝54，解得x1＝5，x2＝11．答：该天玩具的销售价格为5元或11元时，销售利润为54元．考点五　反比例函数的综合应用　　【例5】如图，正比例函数y1＝k1x与反比例函数图象交于A，B两点，其中点A的横坐标为1，当y1＞y2时，x的取值范围是（　　）．A．x＜－1或x＞1 B．x＜－1或0＜x＜1C．－1＜x＜0或0＜x＜1 D．－1＜x＜0或x＞1　　【师生活动】学生作答并讲述自己的思路，教师及其他学生分析纠正．【答案】D【解析】∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点A的横坐标为1，∴点B的横坐标为－1．∵由函数图象可知，当x＞1或－1＜x＜0时，正比例函数的图象在反比例函数图象的上方，∴当y1＞y2时，x的取值范围是x＞1或－1＜x＜0．故选D．　　【归纳】反比例函数与一次函数的综合问题往往遵循以下解题思路：（1）根据已知点的坐标（或两个函数图象的交点坐标）求出两个函数的解析式；（2）根据二者的相应性质（如增减性等），结合其他数学知识解决问题．【设计意图】通过解决反比例函数与一次函数的综合问题，让学生熟悉这种类型题目的解题思路．【跟踪训练5】如图，点A，B(3，m)是直线AB与反比例函数图象的两个交点，AC⊥x轴，垂足为点C，已知D(0，1)，连接AD，BD，BC．（1）求直线AB的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围；（3）△ABC和△ABD的面积分别为S1，S2．求S2－S1．【答案】解：（1）由点A在反比例函数的图象上，∴．∴反比例函数的解析式为．将点B(3，m)代入，解得m＝2，∴B(3，2)．设直线AB的解析式为y＝kx＋b，∴解得∴直线AB的解析式为．（2）观察图象，使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是．（3）由点A坐标得AC＝4，则点B到AC的距离为，∴．设AB与y轴的交点为E，可得E(0，6)，如图．∴DE＝6－1＝5．由点A，B(3，2)知点A，B到DE的距离分别为，3，∴S2＝S△BDE－S△AED．∴S2－S1． 课堂小结 板书设计 　　一、反比例函数的概念二、反比例函数的图象和性质三、与反比例函数中参数k有关的问题四、反比例函数的实际应用五、反比例函数的综合应用课后任务　　完成教材第21页复习题26第5～8题．教学反思___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________