人教版2023-2024学年六年级数学上册第八单元数学广角—数与形（原卷版+答案解析）

这是一份人教版2023-2024学年六年级数学上册第八单元数学广角—数与形（原卷版+答案解析），共23页。

本专题是第八单元数学广角—数与形。本部分内容是数形规律，主要以数字数列、图形图表、算式等形式为主，考试常作为填空、选择等题型出现，考点和题型探索性和抽象性较强，难度较大，综合性较强，建议作为本章核心内容选择性进行讲解，共划分为七个考点，欢迎使用。
【考点一】数字变化规律。
【方法点拨】
数列中数字的规律一般要通过观察分析数的变化规律，得出数变大或变小的趋势，再分析这个数具体变化了多少，最后综合分析得出结论。
【典型例题1】
有一列数，按照下列规律排列：1，22，333，4444，55555，666666……这列数的第34个数是( )。
【典型例题2】
找规律填空：，，，，( )，( )。
【对应练习1】
按规律填数：1，3，7，15，31，( )，127。
【对应练习2】
按规律填数：，，，，，（ ），…
【考点二】图形变化规律。
【方法点拨】
图形中变化规律较为抽象，需要数形转换，将图形变换规律转化为数字规律。
【典型例题1】
如下图，第1个图中涂色的三角形有1个，第2个图中涂色的三角形有3个，第3个图中涂色的三角形有6个，……，按此规律，第8个图中涂色的三角形有( )个，第10个图中涂色的三角形有( )个。
【对应练习1】
小明用面积为1cm2的正方形卡纸拼摆图形。像这样拼下去，第（5）个图形要用( )张小正方形卡纸。
……
（1） （2） （3）
【对应练习2】
如图，把完全一样的梯形桌拼起来。
1张梯形桌可以坐5人，2张梯形桌拼成的长桌可以坐8人，……，6张梯形桌拼成的长桌可以坐( )人。按这样拼下去，坐74人需要拼( )张梯形桌。
【对应练习3】
如图，用同样的小棒可以摆成一个正方形，照这样的摆法，摆第个图形需要( )根小捧。
【对应练习4】
根据上面图形与数的规律，接着这样排列下去，如果不画，你知道第10个数是多少吗？第n个数呢？
【考点三】图形的数字含义。
【方法点拨】
注意观察数字与图形的联系，找出图形与数字的相似点，再把图形转换为数字。
【典型例题】
如图的每个图形都是由△、□、〇中的两个组成的，观察各个图形，根据规律，画出表示“57”的图形是( )，表示“76”的图形的是( )。
【对应练习】
根据下面给出的信息，231可以用（ ）表示。
A．B．C．D．
【考点四】稍复杂的图形规律探索。
【方法点拨】
图形中寻找规律，还是要把图形转变成数，再寻找数字之间的规律。
【典型例题】
自主探索。
仔细观察上面的点子图，根据每个图中点子的排列规律，想一想，可以怎样计算每个图中点子的总个数?请你把下表填写完整。
观察表中数据，如果用A表示第n个图形中点子的个数，A和n之间的关系可以表示成：A= ________。
【对应练习1】
小华用边长是1厘米的小正方形摆出了下面的图形，并依次写出了每个图形的周长的算式，请你根据规律将表格填写完整。
【对应练习2】
准备若干个边长为1厘米的等边三角形，并按下图所示一个接一个地拼接起来，然后填下表。
回答：
（1）当三角形的个数是10时，所拼成图形的周长是（ ）厘米。
（2）当三角形的个数是100时，所拼成图形的周长是（ ）厘米。
【对应练习3】
我国宋代数学家杨辉在公元1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”。
根据“杨辉三角”每行的和与所在行的关系列表如下，请将表格填写完整。
【考点五】图形规律与算式的结合。
【方法点拨】
注意算式规律的变化，可先找出算式的规律，再通过图形的变化来验证算式的变化。
【典型例题】
我国著名数学家华罗块曾说过：“数缺形时少直观形少数时难入微”。把数和形结合起来思考，能把复杂问题简单化。仔细观察前三幅图与等式的规律照这样摆下去第四幅图下面的等式是( )，可得n2－（n－1）2＝( )。
【对应练习1】
古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”。
【对应练习2】
根据下图的规律，第六个图形的正确列式是（ ）。
A．B．C．
【考点六】数表排列规律。
【方法点拨】
观察数表，探索规律。
【典型例题】
找规律，写得数。
假设所有自然数如下图排列起来，35、48、78、2022应分别排在哪个字母下面？
A B C D
1 2 3 4
8 7 6 5
9 10 11 12
…
35在( )下面；48在( )下面；78在( )下面；2022在( )下面。
【对应练习1】
将自然数按下图的规律排列，则2011所在的位置是第（ ）行第（ ）列。
【对应练习2】
将正整数按照如图所示的规律排列下去，若用有序数对（m，n）表示第m排，从左往右数第n个数，如（3，2）表示整数5，则（16，8）表示的数是( )。
【对应练习3】
一个从1开始的自然数表如下，表中下一行数的个数是上一行数个数的2倍。那么第六行的最后一个数是( )。
【考点七】算式规律。
【方法点拨】
观察算式，探索规律。
【典型例题1】
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＝( )×( )＝( )。
【典型例题2】
找规律，写得数。
1﹗＝1；2﹗＝2×1；3﹗＝3×2×1；4﹗＝4×3×2×1；…1﹗＋2﹗＋3﹗＋4﹗＋5﹗＋6﹗＋7﹗＋8﹗＋9﹗＋10﹗的和个位数字是( )。
【对应练习1】
先阅读，再答题。
因为1－＝－＝，所以＝1－；
因为－＝－＝，所以＝－；
因为－＝－＝，所以＝－…
（1）根据以上材料，请写出：＝( )
（2）＋＋＋＋＋＋＋＋＝( )
【对应练习2】
＋＋＋＋＋1＋2＋4＋8＝( )。
2023-2024学年六年级数学上册
第八单元数学广角—数与形（解析版）
本专题是第八单元数学广角—数与形。本部分内容是数形规律，主要以数字数列、图形图表、算式等形式为主，考试常作为填空、选择等题型出现，考点和题型探索性和抽象性较强，难度较大，综合性较强，建议作为本章核心内容选择性进行讲解，共划分为七个考点，欢迎使用。
【考点一】数字变化规律。
【方法点拨】
数列中数字的规律一般要通过观察分析数的变化规律，得出数变大或变小的趋势，再分析这个数具体变化了多少，最后综合分析得出结论。
【典型例题1】
有一列数，按照下列规律排列：1，22，333，4444，55555，666666……这列数的第34个数是( )。
解析：
观察数列可知，第一个数是1个1，第二个数是2个2，第三个数是3个3，可知第n个数是n个n，据此解答即可。
由分析可知：
这列数的第34个数是34个34。
【典型例题2】
找规律填空：，，，，( )，( )。
解析：
观察可知，分子都是1，前两个分数的分母相乘的积是后一个分数的分母，据此分析。
6×18＝108、18×108＝1944
，，，，，。
【对应练习1】
按规律填数：1，3，7，15，31，( )，127。
解析：观察数列可知，相邻两个数的差是2、4、8、16，所以下一个差是16×2＝32，据此填空即可。
16×2＋31
＝32＋31
＝63
【对应练习2】
按规律填数：，，，，，（ ），…
解析：
观察分数可得，分子不变都是1，分母依次扩大2倍，据此解答。
2×2＝4，4×2＝8，8×2＝16，16×2＝32，32×2＝64
因此所填的分数是。
【考点二】图形变化规律。
【方法点拨】
图形中变化规律较为抽象，需要数形转换，将图形变换规律转化为数字规律。
【典型例题1】
如下图，第1个图中涂色的三角形有1个，第2个图中涂色的三角形有3个，第3个图中涂色的三角形有6个，……，按此规律，第8个图中涂色的三角形有( )个，第10个图中涂色的三角形有( )个。
解析：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8
＝（1＋8）＋（2＋7）＋（3＋6）＋（4＋5）
＝9＋9＋9＋9
＝9×4
＝36（个）
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10
＝（1＋10）＋（2＋9）＋（3＋8）＋（4＋7）＋（5＋6）
＝11＋11＋11＋11＋11
＝11×5
＝55（个）
所以，第8个图中涂色的三角形有36个，第10个图中涂色的三角形有55个。
【对应练习1】
小明用面积为1cm2的正方形卡纸拼摆图形。像这样拼下去，第（5）个图形要用( )张小正方形卡纸。
……
（1） （2） （3）
解析：16
【对应练习2】
如图，把完全一样的梯形桌拼起来。
1张梯形桌可以坐5人，2张梯形桌拼成的长桌可以坐8人，……，6张梯形桌拼成的长桌可以坐( )人。按这样拼下去，坐74人需要拼( )张梯形桌。
解析：
6张梯形桌拼成的长桌可以坐：
3n＋2＝3×6＋2
＝18＋2
＝20
3n＋2＝74
解：3n＝72
n＝72÷3
n＝24
则6张梯形桌拼成的长桌可以坐20人。按这样拼下去，坐74人需要拼24张梯形桌。
【对应练习3】
如图，用同样的小棒可以摆成一个正方形，照这样的摆法，摆第个图形需要( )根小捧。
解析：
第1个图形需1+3＝4根小棒；第2个图形需根小棒；第3个图形需根小棒；第4个图形需根小棒，则一个正方形对应着3根小棒，n个正方形对应着3n根小棒，再加上1根小棒就是，摆第 n 个图形需要的小棒根数。
摆第 n 个图形需要：（根）
【对应练习4】
根据上面图形与数的规律，接着这样排列下去，如果不画，你知道第10个数是多少吗？第n个数呢？
解析：第1个数是1，图形有1个；第2个数是4，图形有2×2＝4（个）；第3个数是9，图形有3×3＝9（个）……,这说明每个数与对应图形的个数相同，而第n个数可通过n2得到。
10×10＝100，n×n＝n2
【考点三】图形的数字含义。
【方法点拨】
注意观察数字与图形的联系，找出图形与数字的相似点，再把图形转换为数字。
【典型例题】
如图的每个图形都是由△、□、〇中的两个组成的，观察各个图形，根据规律，画出表示“57”的图形是( )，表示“76”的图形的是( )。
解析：
△代表5，○代表7，□代表6，表示57的图形是△○，表示76的图形是○□。
【对应练习】
根据下面给出的信息，231可以用（ ）表示。
A．B．C．D．
解析：
观察可知，○表示100，△表示10，☆表示1，231由2个百、3个十、1个一组成，据此用对应图形表示出各数位上的数即可。
2个百用○○表示，3个十用△△△表示，1个一用☆表示，231可以用○○△△△☆表示。
【考点四】稍复杂的图形规律探索。
【方法点拨】
图形中寻找规律，还是要把图形转变成数，再寻找数字之间的规律。
【典型例题】
自主探索。
仔细观察上面的点子图，根据每个图中点子的排列规律，想一想，可以怎样计算每个图中点子的总个数?请你把下表填写完整。
观察表中数据，如果用A表示第n个图形中点子的个数，A和n之间的关系可以表示成：A= ________。
解析：根据规律填表如下：
如果用A表示第n个图形中点子的个数，A和n之间的关系可以表示成：
A= 1+（n-1）×4=1+4n-4=4n-3。
【对应练习1】
小华用边长是1厘米的小正方形摆出了下面的图形，并依次写出了每个图形的周长的算式，请你根据规律将表格填写完整。
解析：
第一个图形：正方形的个数为1，周长为4；
第二个图形：正方形的个数为4=1+3，周长为4+6；
第三个图形：正方形的个数为9=1+3+5，周长为4+6×2；
……
第n个图形：正方形的个数为：n2， 周长为：4+6×（n-1）。
当n-1=3时，即n=4，此时正方形的个数为42=16；
当正方形的个数为49时，n=7，此时周长=4+6×6。
故答案为：
【对应练习2】
准备若干个边长为1厘米的等边三角形，并按下图所示一个接一个地拼接起来，然后填下表。
回答：
（1）当三角形的个数是10时，所拼成图形的周长是（ ）厘米。
（2）当三角形的个数是100时，所拼成图形的周长是（ ）厘米。
解析：
（1）当三角形的个数是10时，所拼成图形的周长是（ 12 ）厘米。
（2）当三角形的个数是100时，所拼成图形的周长是（ 102 ）厘米。
【对应练习3】
我国宋代数学家杨辉在公元1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”。
根据“杨辉三角”每行的和与所在行的关系列表如下，请将表格填写完整。
解析：
【考点五】图形规律与算式的结合。
【方法点拨】
注意算式规律的变化，可先找出算式的规律，再通过图形的变化来验证算式的变化。
【典型例题】
我国著名数学家华罗块曾说过：“数缺形时少直观形少数时难入微”。把数和形结合起来思考，能把复杂问题简单化。仔细观察前三幅图与等式的规律照这样摆下去第四幅图下面的等式是( )，可得n2－（n－1）2＝( )。
解析：
由图可得：图一的算式为22－12＝2＋1，图二的算式为32－22＝3＋2，图三的算式为42－32＝4＋3，由此可得：两个相邻数的平方差等于这两个数的和，且第几幅图，减数就是几，由此列出第四幅图的等式即可，再根据规律算出n2－（n－1）2的结果即可。
图一：22－12＝2＋1
图二：32－22＝3＋2
图三：42－32＝4＋3
根据规律可得图四：52－42＝5＋4
n2－（n－1）2
＝n＋n－1
＝2n－1
【对应练习1】
古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”。
从上图中可以发现：
任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，例如4＝1＋3。把“正方形数”36写成两个相邻的“三角形数”之和，正确的是（ ）。
A．36＝10＋26B．36＝12＋24C．36＝15＋21D．36＝16＋20
解析：C
【对应练习2】
根据下图的规律，第六个图形的正确列式是（ ）。
A．B．C．
解析：C
【考点六】数表排列规律。
【方法点拨】
观察数表，探索规律。
【典型例题】
找规律，写得数。
假设所有自然数如下图排列起来，35、48、78、2022应分别排在哪个字母下面？
A B C D
1 2 3 4
8 7 6 5
9 10 11 12
…
35在( )下面；48在( )下面；78在( )下面；2022在( )下面。
解析：
35÷8＝4……3
由此可知35应排在字母C的下面。
48÷8＝6
由此可知48应排在字母A的下面。
78÷8＝9……6
由此可知78应排在字母C的下面。
2022÷8＝252……6
由此可知2022应排在字母C的下面。
【对应练习1】
将自然数按下图的规律排列，则2011所在的位置是第（ ）行第（ ）列。
解析：
观察不难发现，奇数列的第一行的数为所在列数的平方，然后向下每一行递减一个数至与列数相同的行止，偶数行的第一列的数是所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的列止，根据此规律求出与2011最接近的平方数，然后找出所在的列数与行数即可。
观察发现，第一行的第1、3、5列的数分别为1、9、25，为所在列数的平方，然后向下每一行递减1至与列数相同的行止，第一列的第2、4、6行的数分别为4、16、36，为所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的列止，因为452＝2025，2025－2011＋1＝15所以自然数2011在左起第45列，上起第15行。
【对应练习2】
将正整数按照如图所示的规律排列下去，若用有序数对（m，n）表示第m排，从左往右数第n个数，如（3，2）表示整数5，则（16，8）表示的数是( )。
解析：
观察可知，每行的数的个数与行数一样，（3，2），所有的数对（m，n），按此规律即可求解。
（16，8）
【对应练习3】
一个从1开始的自然数表如下，表中下一行数的个数是上一行数个数的2倍。那么第六行的最后一个数是( )。
解析：
通过观察分析可知，表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍，所以第n行的数字的个数为个，又每一行中最后一个数为前边从第一行到这一行中所有字的个数，如第三行中最后一个数为7，则一至三行中共有7个数字，由此可知，到第n行中最后一个数字为1＋2＋4＋…＋。
＝＝＝2×2×2×2×2＝32
1＋2＋4＋8＋16＋32＝63
【考点七】算式规律。
【方法点拨】
观察算式，探索规律。
【典型例题1】
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＝( )×( )＝( )。
解析：9；9；81
【典型例题2】
找规律，写得数。
1﹗＝1；2﹗＝2×1；3﹗＝3×2×1；4﹗＝4×3×2×1；…1﹗＋2﹗＋3﹗＋4﹗＋5﹗＋6﹗＋7﹗＋8﹗＋9﹗＋10﹗的和个位数字是( )。
解析：
观察算式可知，1﹗＝1，个位数字是1；2﹗＝2×1，个数数字是2；3﹗＝3×2×1，个位数字是6；4﹗＝4×3×2×1，个位数字是4；5﹗＝5×4×3×2×1，个位数字是0；6﹗＝6×5×4×3×2×1，个位数字是0；7﹗＝7×6×5×4×3×2×1，个位数字是0；8﹗＝8×7×6×5×4×3×2×1，个位数字是0；9﹗＝9×8×7×6×5×4×3×2×1，个位数字是0；10﹗＝10×9×8×7×6×5×4×3×2×1，个位数字是0，据此解答即可。
由分析可知：
1＋2＋6＋4＋0＋0＋0＋0＋0＋0
＝3＋6＋4＋0＋0＋0＋0＋0＋0
＝9＋4＋0＋0＋0＋0＋0＋0
＝13
则个位数字是3。
【对应练习1】
先阅读，再答题。
因为1－＝－＝，所以＝1－；
因为－＝－＝，所以＝－；
因为－＝－＝，所以＝－…
（1）根据以上材料，请写出：＝( )
（2）＋＋＋＋＋＋＋＋＝( )
解析：
（1）观察题目可知，总结出算式的规律：，（n为非0的自然数），据此解答。
（2）利用算式的规律，将算式变为1－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－，然后中间的数相互抵消，变为1－，最后计算出结果即可。
（1）
＝－
＝
（2）＋＋＋＋＋＋＋＋
＝1－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－
＝1－
＝
【对应练习2】
＋＋＋＋＋1＋2＋4＋8＝( )。
解析：
根据规律： 的和等于1减去最后一个分数，来计算；再计算1＋2＋4＋8；最后把两次计算的和加起来。
＝＝
1＋2＋4＋8＝15
＝
所以原式＝
【对应练习3】
( )。
解析：
从1开始连续奇数的和等于奇数个数的平方，括号里面一共有10个连续奇数，先求出括号里面式子的和，再求出和的平方，据此解答。
分析可知，，则＝＝10000。序号
1
2
3
4
…
表示点子数的算式
1
1+4
________
________
…
点子的总个数
1
5
________
________
…
正方形/个
1
4
9
（ ）
49
周长/厘米
4
4＋6
4＋6×2
4＋6×3
（ ）
三角形个数
1
2
3
4
5
6
…
n
拼成图形的周长（厘米）
行数
第1行
第2行
第3行
第4行
第5行
第6行
……
和
1
2
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
……
规律
后一行的和是前一行和的（ ）倍。
32－12＝8
42－22＝12
52－32＝16
第一行
1
第二行
2
3
第三行
4
5
6
7
……
……
序号
1
2
3
4
…
表示点子数的算式
1
1+4
________
________
…
点子的总个数
1
5
________
________
…
正方形/个
1
4
9
（ ）
49
周长/厘米
4
4＋6
4＋6×2
4＋6×3
（ ）
正方形/个
1
4
9
16
49
周长/厘米
4
4＋6
4＋6×2
4＋6×3
4+6×6
三角形个数
1
2
3
4
5
6
…
n
拼成图形的周长（厘米）
三角形个数
1
2
3
4
5
6
…
n
拼成图形的周长（厘米）
3
4
5
6
7
8
…
n＋2
行数
第1行
第2行
第3行
第4行
第5行
第6行
……
和
1
2
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
……
规律
后一行的和是前一行和的（ ）倍。
行数
第1行
第2行
第3行
第4行
第5行
第6行
……
和
1
2
（ 4 ）
（ 8 ）
（16）
（32）
……
规律
后一行的和是前一行和的（ 2 ）倍。
32－12＝8
42－22＝12
52－32＝16
第一行
1
第二行
2
3
第三行
4
5
6
7
……
……