四川省南充市南部中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试卷

这是一份四川省南充市南部中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试卷，共11页。试卷主要包含了多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1.直线 y=k(x-1)+2恒过定点 ( )
A.(-1,2)B.(2,1)C.(2,-1)D.(1,2)
2.空间四边形 OABC中,OA+AB-CB=（ ）
A.OCB.OA
C.ABD.AC
3.若圆 C与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称, 则圆C的方程是（ ）
A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y-1)2=1
C.(x-1)2+(y+2)2=1D.(x+1)2+(y-2)2=1
4.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E是C1D1的中点, 则异面直线DE与AC所成角的余弦值为（ ）
A.120B.1010
C.-1010D.-120
5.设 P是双曲线x2a2-y29=1(a>0)上一点, 双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点, 若PF1=3, 则PF2=（ ）
A.1 或 5B.6C.7D.8
6.已知 F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点, 且∠F1PF2=60∘,PF1=3PF2, 则C的离心率为（ ）
A.72B.132
C.7D.13
7.阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 若椭圆C的中心为原点, 焦点F1、F2在x轴上, 椭圆C的面积为23π, 且离心率为12, 则C的标准方程为 ( )
A.x23+y24=1B.x212+y2=1
C.x24+y23=1D.x216+y23=1
8.过椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)右焦点F的直线l:x-y-2=0交C于A,B两点,P为AB的中点, 且OP的斜率为-12, 则椭圆C的方程为 ( )
A.x28+y24=1B.x29+y25=1
C.x27+y23=1D.x210+y26=1
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.设 m,n为不同的直线,α,β为不同的平面, 则下列结论中正确的是（ ）
A.若 m//α,n//α, 则m//n
B.若 m⊥α,n⊥α, 则m//n
C.若 m//α,m⊂β, 则α//β
D.若 m//n,m⊥α,n⊥β, 则α//β
10.椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12, 短轴长为23, 则（ ）
A.椭圆的方程为 x24+y23=1
B.椭圆与双曲线 2y2-2x2=1的焦点相同
C.椭圆过点 1,-32
D.直线 y=k(x+1)与椭圆恒有两个交点
11.已知直线 l:mx+(m+2)y-2m-2=0, 圆C:x2+y2-4x=0, 则下列结论正确的是（ ）
A.直线 l恒过定点(1,1)
B.直线 l与圆C恒有两个公共点
C.直线 l与圆C的相交弦长的最大值为22
D.当 m=-1时, 圆C与圆x2+(y-2)2=4关于直线l对称
12.已知曲线 C:x29+y2m=1,F1,F2分别为曲线C的左、右焦点, 则下列说法正确的是（ ）
A.若 m=-3, 则曲线C的两条渐近线所成的锐角为π3
B.若曲线 C的离心率e=2, 则m=-27
C.若 m=3, 则曲线C上不存在点P, 使得∠F1PF2=π2
D.若 m=3,P为C上一个动点, 则△PF1F2面积的最大值为32
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知空间向量 AB=(2,1,2),AC=(1,2,2), 则|BC|=___________.
14已知 u=(3,a+b,a-b)(a,b∈R)是直线l的方向向量,n=(1,2,3)是平面α的法向量, 若l⊥α, 则a+b=___________.
15已知圆 M:x2+(y-2)2=1, 点P为x轴上一个动点, 过点P作圆M的两条切线, 切点分别为A,B, 则|AB|的最小值为__________.
16若坐标原点 O和点F(-2,0)分别为双曲线x2a2-y2=1(a>0)的中心和左焦点, 点P为双曲线右支上的任意一点, 则OP∙FP的最小值为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本题满分10分）已知直线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0.
(1) 若 l1⊥l2, 求m的值;
(2) 若 l1//l2, 求m的值.
18.（本题满分12分）解答下列两个小题：
(1) 双曲线 C实轴长为 2 , 且双曲线C与椭圆x28+y24=1的焦点相同, 求双曲线C的标准方程;
(2) 已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与双曲线y24-x22=1有相同的渐近线, 且经过点M(2,-2), 求双曲线C的方程;
19（本题满分12分）如图, 棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E是DD1的中点.
(1) 证明: BD1//平面ACE;
(2) 求三棱锥 A1-ACE的体积.
20.（本题满分12分）已知点 A(-2,0),B(1,0),C(6,0)动点P满足|PA|=2|PB|.
(1) 求动点 P的轨迹方程;
(2) 若动点 Q满足CQ=QP, 求动点Q的轨迹方程;
(3) 过点 (3,5)的直线l交动点P的轨迹于E,F, 且|EF|=23, 求直线l的方程.
21.（本题满分12分）如图甲所示, 四边形 MNPQ为正方形,AP=AQ=PQ,S为AP的中点.将△APQ沿直线PQ翻折使得QS⊥平面APN, 如图乙所示.
(1) 求证: 平面 APQ⊥平面MNPQ;
(2) 求平面 AMN与平面MNPQ所成二面角的正弦值.
22.（本题满分12分）已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为 4 , 且离心率为32.
(1) 求椭圆 C的标准方程;
(2) 椭圆 C的右顶点为A, 若点P,Q在椭圆C上, 且满足直线AP与AQ的斜率之积为120, 求△APQ
参考答案及解析
1. 【答案】D
【解析】当 x-1=0, 即x=1时,y=2,∴直线y=k(x-1)+2恒过定点(1,2).故选: D.
2. 【答案】A
【解析】根据向量的加法、减法法则，得OA+AB-CB=OB-CB=OB+BC=OC.故选 A.
3. 【答案】A
【解析】由于圆 (x+2)2+(y-1)2=1的圆心C'(-2,1), 半径为 1,
圆 C与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称, 故C(2,-1)、半径为 1,
故圆 C的方程为:(x-2)2+(y+1)2=1.故选: A.
4. 【答案】B
【解析】以 D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴, 建立空间直角坐标系:
设正方体 ABCD-A1B1C1D1中棱长为 2,
则 D(0,0,0),E(0,1,2),A(2,0,0),C(0,2,0),DE=(0,1,2),AC=(-2,2,0),
设异面直线 DE与AC所成角为θ, 则csθ=|DE∙AC||DE|∙|AC|=25×22=1010,
∴异面直线DE与AC所成角的余弦值为1010.故选: B.
5. 【答案】C
【解析】双曲线 x2a2-y29=1的一条渐近线方程为3x-2y=0, 故a=2,
又 P是双曲线上一点, 故|PF1∣-∣PF2|=4, 而PF1=3, 则PF2=7.
6. 【答案】A
【解析】因为 PF1=3PF2,
由双曲线的定义可得 PF1-PF2=2PF2=2a, 所以PF2=a,PF1=3a;
因为 ∠F1PF2=60∘, 由余弦定理可得4c2=9a2+a2-2×3a∙a∙cs60∘, 整理可得4c2=7a2,
所以 e2=c2a2=74, 即e=72.故选: A.
7. 【答案】C
【解析】由题意可知, 椭圆 C的面积为πab=23π, 且a、b、c均为正数,
即 ab=23ca=12a2=b2+c2, 解得a=2b=3c=1,
因为椭圆 C的焦点在x轴上, 所以C的标准方程为x24+y23=1.故选: C.
8. 【答案】A
【解析】依题意, 焦点 F(2,0), 即椭圆C的半焦距c=2, 设Ax1,y1,Bx2,y2,Px0,y0,
则有 b2x12+a2y12=a2b2b2x22+a2y22=a2b2, 两式相减得:b2x1+x2x1-x2+a2y1+y2y1-y2=0,
而 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0, 且y0x0=-12, 即有-2b2x1-x2+a2y1-y2=0,
又直线 l的斜率y1-y2x1-x2=1, 因此有a2=2b2, 而a2-b2=c2=4, 解得a2=8,b2=4, 经验证符合题意,
所以椭圆 C的方程为x28+y24=1.故选: A.
9. 【答案】BD
【解析】对 A: m//α,n//α, 则m//n或m与n相交或m与n异面, 故选项A错误;
对 B: 若 m⊥α,n⊥α, 则m//n, 故选项B正确;
对C：若 m//α,m⊂β, 则α//β或α与β相交, 故选项C正确;
对D: 若 m//n,m⊥α,n⊥β, 则α//β, 故选项D正确.
故选: BD.
10. 【答案】ACD
【解析】因为椭圆的短轴长为 23, 所以有2b=23⇒b=3⇒a2-c2=3,
而椭圆的离心率为 12, 所以ca=12⇒a=2c⇒a2=4c2, 所以可得:c2=1,a2=4,b2=3.
A: 因为 a2=4,b2=3, 所以该椭圆的标准方程为:x24+y23=1, 因此本选项正确;
B: 由 2y2-2x2=1⇒y212-x212=1, 该双曲线的焦点在纵轴上, 而椭圆x24+y23=1的焦点在横轴, 所以本选项说法不正确;
C: 因为 124+-3223=1, 所以点1,-32在该椭圆上, 因此本选项说法正确;
D: 直线 y=k(x+1)恒过点(-1,0), 而(-1)24+023<1, 所以点(-1,0)在椭圆内部, 因此直线y=k(x+1)与椭圆恒有两个交点，所以本选项说法正确，
故选：ACD
11. 【答案】ABD
【解析】对于 A 选项, 因为直线 l:mx+(m+2)y-2m-2=0可变形为l:m(x+y-2)+2y-2=0, 所以直线l恒过定点(1,1), 故 A 选项正确;
对于 B 选项, 因为 12+12-4<0, 所以点(1,1)在圆C:x2+y2-4x=0内, 故直线l与圆C相交, 由两个公共点, 故 B 选项正确;
对于 C 选项, 对于圆 C:x2+y2-4x=0, 圆心为C(2,0), 半径为r=2, 当直线线l与圆C相交, 故相交弦长的最大值为圆C的直径, 即为2r=4, 故 C 选项错误;
对于 D 选项，当 m=-1时，直线l:x-y=0, 故圆C:x2+y2-4x=0的圆心C(2,0)关于l:x-y=0对称的点的坐标为(0,2),
所以圆 C:x2+y2-4x=0关于l:x-y=0对称的圆的方程为x2+(y-2)2=4, 故 D 选项正确.
故选：ABD.
12. 【答案】ABD
【解析】对于 A 选项, 当 m=-3时, 曲线C:x29-y23=1表示焦点在x轴上的双曲线,
渐近线方程为y=±33x,
故渐近线的倾斜角分别为 π6,5π6, 所以曲线C的两条渐近线所成的锐角为π3, 故 A 选项正确;
对于 B 选项, 离心率 e=2, 则曲线C为焦点在x轴上的双曲线,a=3,e=2, 故c=6, 所以-m=c2-a2=36-9=27, 所以m=-27, 故 B 选项正确;
对于 C 选项, 若 m=3, 则曲线C:x29+y23=1表示焦点在x轴上的椭圆, 此时a2=9,b2=3,c2=6,
设椭圆 C的短轴的一个顶点坐标为M(0,3), 则cs∠F1MF2=a2+a2-4c22a2=-618=13<0, 故∠F1MF2为钝角,
所以线 C上存在点P, 使得∠F1PF2=π2, 故 C 选项错误;
对于 D 选项, 若 m=3, 则曲线C:x29+y23=1表示焦点在x轴上的椭圆, 此时a2=9,b2=3,c2=6,P为C上一个动点,
则 △PF1F2面积的最大值为Smax =12×2c×b=12×26×3=32, 故 D 选项正确.
故选：ABD.
13【解析】2【解析】因为 BC=AC-AB=(-1,1,0), 所以|BC|=1+1+0=2.故答案为: 2.
14【答案】6【解析】由 l⊥α得u//n, 所以31=a+b2=a-b3, 解得a=152,b=-32. 所以a+b=6.
15【答案】3.【解析】如图所示：因为 SPAMB=2S△MAP=12|MP|∙|AB|, 所以|AB|=2t2-1t=21-1t2,因为 t≥2, 所以|AB|的最小值为3.
16【答案】3+23.【解析】由题意得： ∵F(-2,0)是已知双曲线的左焦点,∴a2+1=4, 即a2=3,∴双曲线方程为x23-y2=1,设点 Px0,y0, 则有x023-y02=1x0≥3, 解得y02=x023-1x0≥3,∵FP=x0+2,y0,OP=x0,y0,∴OP∙FP=x0x0+2+y02=x0x0+2+x023-1=4x023+2x0-1,∵x0≥3根据二次函数的单调性分析可知函数在[3,+∞)上单调递增,∴当x0=3时,OP∙FP取得最小值43×3+23-1=3+23.故答案为: 3+23.
17 【解析】
(1) 因为 l1⊥l2, 所以(m-2)+3m=0, 所以m=12;
(2) 当 l1//l2或重合时,3-m(m-2)=0,m=3或m=-1,
当 m=3时,l1:x+3y+6=0,l2:x+3y+6=0, 此时两直线重合, 不符合;
当 m=-1时,l1:x-y+6=0,l2:-3x+3y-2=0, 此时两直线平行, 满足条件,
所以 m=-1.
18 【解析】
(1) 椭圆 x28+y24=1的焦点为(±2,0),
设双曲线 C的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0), 所以2a=2, 且a2+b2=4,
所以, 双曲线 C的方程为x2-y23=1;
(2) 解: 在双曲线 y24-x22=1中,a'=2,b'=2, 则渐近线方程为y=±a'b'x=±2x,
∵双曲线C:x2a2-y2b2=1与双曲线y24-x22=1有相同的渐近线,∴ba=2,
∴方程可化为x2a2-y22a2=1,
又双曲线 C经过点M(2,-2), 代入方程,
∴2a2-22a2=1, 解得a=1,b=2,
∴双曲线C的方程为x2-y22=1.
19 【解析】(1) 连接 BD交AC于F, 连接EF, 则EF为△ACE的中位线, 所以EF//BD1,
又 EF⊂平面ACE,BD1/⊂平面ACE,
∴BD1//平面ACE;
(2) ∵E为DD1中点, 则S△AA1E=12SADD1A1=2, 又正方体中,C到平面AAE的距离为CD,
∴VA1-ACE=VC-AA1E=13S△AA1E∙CD=13×2×2=43.
20 【解析】(1) 设点 P(x,y), 由题意可得|PA|=2|PB|, 即(x+2)2+y2=2(x-1)2+y2,
化简可得(x-2)2+y2=4;
(2) 设 Q(x,y),P(m,n), 所以(m-2)2+n2=4①,
又 CQ=QP, 所以x=m+62y=n2⇒m=2x-6n=2y代入①得,(2x-6-2)2+(2y)2=4,
整理得动点 Q的轨迹方程为(x-3)2+y2=1;
(3) 设圆心 (2,0)到直线l的距离为d, 则d=r2-|EF|22=4-(3)2=1,
当斜率不存在时, 直线 x=3与圆(x-2)2+y2=4的交点坐标为(3,3),(3,-3), 满足|EF|=23, 符合题意;
当直线 l的斜率存在时，设直线方程为y=k(x-3)+5, 即kx-y-3k+5=0,d=|-k+5|1+k2=1,
解得k=125, 所以直线方程为12x-5y-11=0,
故所求直线方程为 x=3或12x-5y-11=0.
21 【解析】(1) 证明: 因为 QS⊥平面APN,PN⊂平面APN, 所以QS⊥PN,
又 PQ⊥PN,QS∩PQ=Q,QS,PQ⊂平面APQ, 所以PN⊥平面APQ,
又 PN⊂平面MNPQ, 所以平面APQ⊥平面MNPQ;
(2) 解: 取 PQ的中点为O,MN的中点为E,△APQ为等边三角形, 则AO⊥PQ,
又平面 APQ⊥平面MNPQ, 平面APQ∩平面MNPQ=PQ,AO⊂平面APQ,
所以 AO⊥平面MNPQ, 如图建立空间直角坐标系,
设 MN=PQ=2, 则A(0,0,3),M(2,-1,0),N(2,1,0), 则MA=(-2,1,3),MN=(0,2,0),
设平面 AMN的法向量为n=(x,y,z), 则n∙MA=-2x+y+3z=0n∙MN=2y=0, 令x=3, 则z=2,
所以n=(3,0,2),
显然平面 MNPQ的法向量为m=(0,0,1),
设平面 AMN与平面MNPQ所成二面角为θ, 则csθ=|m∙n||m|∙|n|=277,
所以 sinθ=1-cs2θ=217, 即平面AMN与平面MNPQ所成二面角的正弦值为217.
22 【解析】(1) 解: 椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32, 即e=ca=32, 长轴长为 4,
∴a=2,c=3,b=1, 故椭圆的方程为x24+y2=1;
(2) 易知直线 AP与AQ的斜率同号,所以直线PQ不垂直于x轴,
故可设 PQ:y=kx+m,Px1,y1,Qx2,y2,
由 x24+y2=1,y=kx+m可得,1+4k2x2+8mkx+4m2-4=0,
所以 x1+x2=-8mk1+4k2,x1x2=4m2-41+4k2,Δ=164k2+1-m2>0, 即4k2+1>m2,
而 kAPkAQ=120, 即y1x1-2∙y2x2-2=120,
化简可得 20kx1+mkx2+m=x1-2x2-2,
20k2x1x2+20kmx1+x2+20m2=x1x2-2x1+x2+4,
20k2∙4m2-41+4k2+20km∙-8mk1+4k2+20m2=4m2-41+4k2-2×-8mk1+4k2+4, 化简得6k2+mk-m2=0,
所以 m=-2k或m=3k, 所以直线PQ:y=k(x-2)或y=k(x+3),
因为直线 PQ不经过点A, 所以直线PQ经过定点(-3,0),
所以直线 PQ的方程为y=k(x+3), 易知k≠0, 设定点B(-3,0),
S△APQ=S△ABP-S△ABQ=12|AB|y1-y2=52|k|x1-x2
=52|k|x1+x22-4x1x2=52|k|-8km1+4k22-4×4m2-41+4k2
=5|k|2164k2+1-m21+4k2=101-5k2k21+4k2,
因为 Δ>0, 且m=3k, 所以1-5k2>0, 所以0设 t=4k2+1∈1,95, 所以S△APQ=52-5t2+14t-9t2=52-91t-792+49≤53,
当且仅当 t=97, 即k2=114时取等号, 即△APQ面积的最大值为53.