四川省成都市新津区实验高级中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷

这是一份四川省成都市新津区实验高级中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷，共8页。试卷主要包含了多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时间：120分钟 总分：150分
一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1.设集合 A={x∣(x-1)(x-3)<0},B={x∣2x-3>0}, 则A∩B=（ ）
A.-3,-32B.-3,32
C.1,32D.32,3
2.设命题 p:∃x0∈R,x02+1=0, 则命题p的否定为（ ）
A.∀x∉R,x2+1=0 B.∀x∈R,x2+1≠0
C.∃x0∉R,x02+1=0 D.∃x0∈R,x02+1≠0
3.函数 f(x)=x2-2x,x≥01-ex,x<0, 则f(f(1))=（ ）
A.-1B.0
C.1-1eD.1+e
4.函数 f(x)=13x-x-5的零点所在的一个区间是（ ）
A.(-3,-2)B.(-2,-1)C.(-1,0)D.(0,1)
5.已知 f-1(x)是函数f(x)=10x的反函数, 则f-1(1)的值为（ ）
A.0B.1C.10D.100
6.已知 a=1223,b=1313,c=ln3, 则a,b,c的大小关系为（ ）
A.a>b>cB.a>c>b
C.c>a>bD.c>b>a
7.已知 a,b∈R, 则 “2a>2b>2” 是“lg12(a-1)A.充分必要条件B.必要不充分条件
C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件
8.函数 f(x)=xx2+a的图象不可能是（ ）
A.B.
C.D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.下列各组函数中是同一函数的是（ ）
A.f(x)=x+1,g(x)=x2-1x-1
B.f(x)=x2+(x-1)0,g(x)=x3-x2+x-1x-1
C.f(x)=x-1,g(x)=x2-1
D.f(x)=x+2x,g(t)=t+2t
10.下列命题正确的有（ ）
A.f(x)定义域为[-2,2], 则f(x+1)的定义域为[-3,1]
B.f(x)=x3+1是R上的奇函数
C.函数 y=x2+2x的值域为(0,+∞)
D.函数 y=x+1x在(1,+∞)上为增函数
11.定义在 R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y), 当x<0时,f(x)>0, 则f(x)满足（ ）
A.f(0)=0B.y=f(x)是奇函数
C.f(x)在[m,n]上有最大值f(n)D.f(x-1)>0的解集为(-∞,1)
12.定义在 R上的函数f(x)若满足: ①∀x1,x2∈[0,+∞), 都有x1-x2fx1-fx2>0; ②对任意x, 都有f(a+x)=f(a-x), 则称函数f(x)为 “轴对称函数”, 其中x=a称为函数f(x)的对称轴. 已知函数y=f(x-2)是以x=2为对称轴的 “轴对称函数”, 则使得不等式f(2m-1)≤f(m)成立的m的取值可能是（ ）
A.-13B.12
C.1D.2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知 f(2x+1)=3x-5,f(3)=____________.
14.已知幂函数 f(x)=(k-1)∙xa的图象过点2,12, 则k+a=____________.
15.已知正数 a,b满足a+2b=1, 则2a+4b的最小值为____________.
16.定义在 (0,+∞)上的函数f(x)满足: 对∀x1,x2∈(0,+∞), 且x1≠x2,都有x2fx1-x1fx2x1-x2>0成立, 且f(2)=4, 则不等式f(x)>2x的解集为____________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （本题满分10分）
已知集合 U=R,A=x∣lg3x≥1,B={x||x-4∣≤3},C={x∣x≥a-1}.
(1)求 A∩B,A∪B.
(2)若 C∩A=C, 求实数a的取值范围.
18. （本题满分12分）
(1) 0.2512-(5-2)0+3338;
(2) lg5∙lg20-lg2∙lg50-lg25.
19. （本题满分12分）函数 f(x)=-3x+13x+1+3.
(1) 判断并证明函数 f(x)的奇偶性;
(2)判断并证明函数 f(x)在定义域上的单调性.
20. （本题满分12分）设函数 f(x)=mx2-mx-1.
(1)若命题: ∃x∈R,f(x)>0是假命题, 求m的取值范围;
(2)若存在 x∈(-4,0),f(x)≥(m+1)x2+3成立, 求实数m的取值范围.
21. （本题满分12分）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼, 现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分 y与当天锻炼时间x（单位: 分钟）的函数关系, 要求如下: (1) 函数的图象接近图示; (2) 每天运动时间为 0 分钟时, 当天得分为 0 分; (3) 每天运动时间为 30 分钟时, 当天得分为 3 分; (4) 每天最多得分不超过 6 分.现有以下三个函数模型供选择:① y=kx+b(k>0); (2)y=k∙1.2x+b(k>0);② y=klg2x15+2+n(k>0).
(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由;
(2)根据你对 (1) 的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式;
(3)已知学校要求每天的分数不少于 4.5 分, 求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）.
22. （本题满分12分）已知函数 f(x)=ax2+x+1(a>0).
(1) 若关于 x的不等式f(x)<0的解集为(-3,b), 求a,b的值;
(2)已知 g(x)=4x+1-2x+2, 当x∈[-1,1]时,f2x≤g(x)恒成立, 求实数a的取值范围;
(3) 定义: 闭区间 x1,x2x1参考答案及解析
1.【答案】D
【解析】A={x∣(x-1)(x-3)<0}=(1,3),B={x∣2x-3>0}=32,+∞,
所以 A∩B=32,3.故选: D.
2. 【答案】B
【解析】利用含有一个量词的命题的否定方法可知，
特称命题p:∃x0∈R,x02+1=0的否定为:∀x∈R,x2+1≠0.故选：B.
3. 【答案】C
【解析】因为 f(x)=x2-2x,x⩾0,1-ex,x<0,所以f(1)=1-2=-1, 所以f(f(1))=f(-1)=1-1e, 故选 C.
4. 【答案】B
【解析】易知函数 f(x)在R上单调递减, 且f(-2)=13-2+2-5=6,
f(-1)=13-1+1-5=-1,则 f(-2)∙f(-1)<0,
故由零点存在性定理可知, 函数 f(x)在(-2,-1)上存在一个零点.故选: B.
5. 【答案】A
【解析】因 f-1(x)是函数f(x)=10x的反函数, 则f-1(x)=lgx,f-1(1)=lg1=0,所以f-1(1)的值为 0 .
故选: A
6. 【答案】D
【解析】由指数函数的性质可知: a=1223∈(0,1),b=1313∈(0,1),c=ln3>1,
且 a=1223=314,b=1313=313,
据此可知: b>a, 综上可得:c>b>a. 本题选择 D 选项.
7. 【答案】A
【解析】2a>2b>2⇔a>b>1,lg12(a-1)b-1>0⇔a>b>1,
所以“ 2a>2b>2”是 “lg12(a-1)8. 【答案】D 【解析】若 a=0, 则f(x)=xx2=1x, 选项 C 符合;
若 a>0, 则函数定义域为R,选项 B 符合;
若 a<0, 则x≠±-a, 选项 A 符合,
所以不可能是选项 D. 故选: D.
9. 【答案】BD
【解析】对于选项A, f(x)=x+1的定义域为R,g(x)=x2-1x-1的定义域为{x∣x≠1}, 两个函数定义域不同, 所以选项A不正确;
对于选项B,f(x)=x2+(x-1)0=x2+1, 定义域为{x∣x≠1},g(x)=x3-x2+x-1x-1=x2(x-1)+x-1x-1=x2+1, 定义域为{x∣x≠1},
两个函数定义域相同, 表达式相同, 所以选项 B 正确;
对于选项 C, 因为 f(x)=x-1,g(x)=x2-1=|x|-1, 两个函数表达式不同, 所以选项 C 错误;
对于选项 D, 因为 f(x)=x+2x,g(t)=t+2t, 易知两个函数定义域相同, 表达式相同,所以选项 D 正确,
故选: BD.
10. 【答案】AD
【解析】A 选项: f(x+1)的定义域为[-3,1]正确;
B选项: f(x)=x3+1是非奇非偶函数, 错误;
C选项:函数 y=x2+2x的值域为[-1,+∞), 错误;
D 选项: 函数y=x+1x在(1,+∞)上为增函数, 正确;
故选AD
11. 【答案】ABD
【解析】对于A选项, 令 x=y=0, 可得f(0)=2f(0), 解得f(0)=0, A对;
对于B选项, 函数 y=f(x)的定义域为R, 令y=-x, 可得f(x)+f(-x)=f(0)=0, 则f(-x)=-f(x), 故函数y=f(x)是奇函数, B 对;
对于C选项, 任取 x1、x2∈R且x10, 即fx1-x2=fx1+f-x2=fx1-fx2>0,
所以 fx1>fx2, 函数f(x)为R上的减函数, 所以,f(x)在[m,n]上有最大值f(m),C错;
对于D选项, 由于 f(x)为R上的减函数, 由f(x-1)>0=f(0), 可得x-1<0, 解得x<1,D对.
故选: ABD.
12. 【答案】BC
【解析】函数 y=f(x-2)是以x=2为对称轴的 “轴对称函数”, 则y=f(x)以x=0为对称轴的函数,
即函数 f(x)是偶函数, 又y=f(x)在x∈[0,+∞)上是增函数,
不等式 f(2m-1)≤f(m), 故|2m-1|≤|m|, 解得13≤m≤1,故选: BC.
13. 【答案】-2
【解析】f(2x+1)=3x-5,f(3)=f(2×1+1)=-2.故答案为：-2.
14. 【答案】1.
【解析】∵f(x)=(k-1)∙xa为幂函数,∴k-1=1,∴k=2;
∵其图象过点2,12,∴2a=12,∴a=-1,∴k+a=2-1=1, 故答案为: 1
15. 【答案】22.
【解析】因为 a,b是正数,a+2b=1, 所以2a+4b≥22a∙4b=22a+2b=22,
当且仅当 a=2b时取等号，即当a=12,b=14时，2a+4b的最小值为22.
16. 【答案】 (2,+∞).
【解析】令 g(x)=f(x)x, 因为对∀x1、x2∈(0,+∞), 且x1≠x2, 都有x2fx1-x1fx2x1-x2>0成立,
不妨设 0即 gx1又因为 f(2)=4, 所以g(2)=f(2)2=2, 故f(x)x>2可化为g(x)>g(2),
所以由 g(x)的单调性可得x>2, 即不等式f(x)>2x的解集为(2,+∞).
17.【解析】(1) A={x∣x≥3},B={x∣1≤x≤7}, 则A∩B={x∣3≤x≤7},A∪B={x∣x≥1}.
(2) C∩A=C, 故C⊆A, 故a-1≥3, 解得a≥4, 即a∈[4,+∞)
18. 【解析】(1) 原式 =2510012-1+3278=12-1+32=1;
(2) 原式 =(1-lg2)(1+lg2)-lg2(2-lg2)-(2-2lg2)
=1-lg22-2lg2+lg22-2+2lg2=-1
19. 【解析】(1) f(x)为奇函数,∵f(x)=-3x+13x+1+3=1-3x31+3x, 定义域为R,
关于原点对称, 又 f(-x)=1-3-x31+3-x=3x1-3-x3×3x×1+3-x=3x-133x+1=-f(x), 所以函数f(x)为奇函数.
(2) f(x)在R上为减函数,∵f(x)=1-3x31+3x=2-1+3x31+3x=231+3x13,
任取 x1、x2∈R且x1=231+3x1-231+3x2=23x2-3x131+3x11+3x2
∵x10,1+3x1>0,1+3x2>0,∴fx1-fx2>0,
即 fx1>fx2. 因此, 函数f(x)=-3x+13x+1+3在R上为减函数.
20. 【解析】(1) 若命题: ∃x∈R,f(x)>0是假命题, 则∀x∈R,f(x)≤0是真命题,
即 mx2-mx-1≤0在R上恒成立, 当m=0时,-1<0, 符合题意;
当 m≠0时,需满足 m<0Δ=m2+4m≤0,
解得 -4≤m<0; 综上所述,m的取值范围为[-4,0].
(2) 若存在 x∈(-4,0),f(x)≥(m+1)x2+3成立, 即存在x∈(-4,0)使得m≥-x-4x成立,
故只需 m≥-x-4xmin ,x∈(-4,0), 因为x∈(-4,0), 所以-x∈(0,4),
则 -x-4x=(-x)+4-x≥2(-x)∙4-x=4,当且仅当 -x=4-x, 即x=-2时取等号,
所以 -x-4xmin =4,所以m≥4.
21. 【解析】(1) 第一步：分析题中每个模型的特点
对于模型一, 当 k>0时, 匀速增长; 对于模型二, 当k>0时, 先慢后快增长;
对于模型三, 当 k>0时, 先快后慢增长.
第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型
从题图看应选择先快后慢增长的函数模型, 故选 y=klg2x15+2+n.
(2) 第三步把题图中的两点代入选好的模型中, 得到函数解析式
将 (0,0),(30,3)代入解析式得到k+n=0klg24+n=3, 即k+n=02k+n=3,
解得 k=3,n=-3, 即y=3lg2x15+2-3.
第四步: 完善模型是否合适
当 x=90时,y=3lg2(6+2)-3=6, 满足每天得分最高不超过 6 分的条件.
所以函数的解析式为 y=3lg2x15+2-3,0≤x≤906,x>90.
(3) 由 y=3lg2x15+2-3≥4.5,lg2x15+2≥2.5=lg2252,
得 x15+2≥252=42≈5.656, 得x≥54.84,
所以每天得分不少于 4.5 分, 至少需要运动 55 分钟.
22. 【解析】(1) ∵不等式f(x)<0的解集为(-3,b), 则方程f(x)=ax2+x+1=0的根为-3,b,
且 -30-1a=-3+b1a=-3b, 解得a=29b=-32, 故a=29,b=-32.
(2) 令 t=12x∈12,2, 若f2x≤g(x), 即at2+1t+1≤4t2-1t+2, 则a-4≤t2-2t,
∵y=t2-2t的开口向上, 对称轴为t=1, 则y=t2-2t在12,1单调递减, 在(1,2]单调递增,
且 yt=1=-1,∴a-4≤-1, 即0(3) f(x)=ax2+x+1(a>0)的开口向上, 对称轴为x=-12a,
∵x2-x1=1, 根据二次函数的对称性不妨设x1+x2≥-1a,
则有:当 x1≥-12a时,f(x)在x1,x2上单调递增, 则可得
fx2-fx1=ax22+x2+1-ax22+x1+1=ax1+12-x12+1=2ax1+a+1≥1,
即 2a×-12a+a+1≥1, 解得a≥1；
当 x1<-12a, 即x2>-12a时,f(x)在x1,-12a上单调递减, 在-12a,x2上单调递增,
则可得 fx2-f-12a=ax22+x2+1-1-14a=ax2+12a2≥1,
∵x2-x1=1x1+x2≥-1a, 则x2+12a≥12,∴14a≥1, 即a≥4; 综上所述:a≥4,
故正数 a的最小值为 4 .