专题4.1 等可能条件下的概率（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

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专题4.1 等可能条件下的概率（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】确定事件和随机事件（1）确定事件必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。（2）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。【知识点2】频率与概率（1）概率的概念[来源:学科网]一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A).[来源:学科网ZXXK]（2）频率与概率的关系当我们大量重复进行试验时，某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值，把这一频率的稳定值作为该事件发生的概率的估计值.学科+网【知识点3】概率的计算（1）公式法一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为P(A)＝（2）列表法当一次试验要涉及两个因素(例如掷两个骰子)并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.（3）画树状图当一次试验要涉及3个或更多的因素(例如从3个口袋中取球)时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图.（4）几何概型一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：P(A)＝,解这类题除了掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算.（5） 游戏公平性判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平.【考点一】等可能条件下的概率➼➻等可能性【例1】（2023春·上海·八年级专题练习）盒中装有红球、黄球各100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案．（1）摸到红球是不可能的；（2）摸到红球是必然的；（3）摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能．【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析【分析】（1）不放红球即可．（2）都放红球即可．（3）根据可能性的程度确定红球比例即可．（1）解：盒中只有100个黄球，摸出1个红球；（2）解：盒中只有100个红球，摸出1个红球；（3）解：盒中有99个红球、1个黄球，摸到红球；盒中有50个红球，50个黄球，摸出1个红球；盒中有99个黄球，1个红球，摸出1个红球（答案不唯一）．【点拨】本题主要考查随机事件概率的运算方法，能够通过概率大小确定红球个数是解题关键．【举一反三】【变式1】（2023春·山东淄博·七年级统考期中）一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ）A．至少有1个球是黑球 B．至少有1个球是白球C．至少有2个球是黑球 D．至少有2个球是白球【答案】A【分析】根据题意列举所有可能，即可求解．解：一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，可以是3个黑球，2个黑球和1个白球，1个黑球和2个白球，∴至少有1个球是黑球，故选：A．【点拨】本题考查了必然事件的定义，根据题意列举所有可能是解题的关键．【变式2】（2021秋·广东深圳·八年级南山实验教育集团南海中学校考开学考试）如果表示事件“三角形的任意两边之和大于第三边”，则 ．【答案】1【分析】根据必然事件的定义即可知，在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件，必然事件的概率为1．解：三角形的任意两边之和大于第三边，事件“三角形的任意两边之和大于第三边”是必然事件，1．【点拨】本题考查了必然事件的概率，掌握必然事件的定义是解题的关键．【考点二】等可能条件下的概率➼➻概率的理解★★事件概率的大小关系【例2】（2023春·七年级课时练习）一则广告声称本次活动的中奖率为 ，其中一等奖的中奖率为 ．小明看到这则广告后，想：“我抽 张就会有 张中奖，抽 张就会有 张中一等奖．”你认为小明的想法对吗？【答案】小明的想法不对【分析】根据概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，即可求解．解：抽 张有可能都不中奖，也有可能都中奖，还有可能中一张或几张，事先不能确定．一等奖中奖率为 ，是指在总数为 张奖券的情况下， 张会有 张中一等奖，但是当总数不确定时， 张奖券中，有可能会有 张或几张中一等奖，也有可能不会中一等奖，事先不能确定．所以小明的想法不对．【点拨】本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习）一个不透明的盒子中装有个红球和个白球，它们除颜色不同外其它都相同．若从中随机摸出一个球，则下列叙述正确的是（    ）A．摸到黑球是不可能事件 B．摸到白球是必然事件C．摸到红球与摸到白球的可能性相等 D．摸到红球比摸到白球的可能性大【答案】A【分析】不可能事件是概率论中把在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件，人们通常用来表示不可能事件发生的可能性；必然事件，在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件，必然事件发生的概率为，但概率为的事件不一定为必然事件，根据随机事件的分类及概率的计算即可求解．解：选项，装有个红球和个白球，不可能摸到黑球，是不可能事件，符合题意；选项，装有个红球和个白球，可能摸到白球，也可能摸到红球，是随机事件，不符合题意；选项，装有个红球和个白球，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，概率不同，不符合题意；选项，装有个红球和个白球，摸到红球的概率小于摸到白球的概率，不符合题意；故选：．【点拨】本题主要考查随机事件及概率，理解随机事件的分类，概率的计算方法是解题的关键．【变式2】（2023秋·九年级课前预习）在一个不透明的袋中，只有白、红颜色的球，这些球除颜色外完全相同，已知从袋中随机摸出一个红球的概率为，则随机摸出一个白球的概率是 ．【答案】【分析】因为所有事件的概率之和为，所以随机摸白球的概率为减去摸红球的概率即可．解：∵随机摸红球的概率为；∴随机摸出一个白球的概率为：；故答案为：．【点拨】此题考查概率知识，解此题关键是知道所有事件概率之和等于1．【考点三】等可能条件下的概率➼➻概率公式计算概率【例3】（2022秋·广东汕头·九年级校考期末）一个不透明的口袋里有10个除颜色外形状大小都相同的球，其中有4个红球，6个黄球．（1）若从中随意摸出一个球，则摸出黄球的概率为______________；（2）若从中随意摸出一个球是红球的概率为，求袋子中需再加入几个红球？【答案】（1）；（2）若从中随意摸出一个球是红球的概率为，袋子中需再加入8个红球【分析】（1）根据概率公式即可求解；（2）设袋子中需再加入x个红球，根据概率公式列出方程，解方程，即可求解．（1）解：∵共有10个球，其中6个黄球，∴从中随意摸出一个球，则摸出黄球的概率为：；故答案为：；（2）设袋子中需再加入x个红球．依题意可列：，解得，经检验是原方程的解，故若从中随意摸出一个球是红球的概率为，袋子中需再加入8个球．【点拨】本题考查了概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·四川达州·七年级校考期末）用6个球设计一个摸球的游戏，小明想出了下面四个方案，你认为不能成功的是（　　）A．摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是B．摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率都是C．摸到黄球、红球、白球的概率是D．摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是【答案】B【分析】由概率公式求解即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．解：A、摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，概率和为1，可以成功；B、摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率都是，概率和为，肯定不能成功；C、摸到黄球、红球、白球的概率是，概率和为1，可以成功；D、摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，概率和为1，可以成功．故选：B．【点拨】本题主要考查对于概率的理解，一件事情发生所有情况的概率和为1，掌握相关基础知识是解题的关键．【变式2】（2023秋·浙江温州·九年级校联考阶段练习）在一个箱子里放有6个白球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同．某数学兴趣小组一共做了次摸球试验（每次摸一个球，记录后放回，搅匀），摸到白球的次数为次，估计这个箱子里红球有 个．【答案】【分析】由摸到白球的次数为次，计算摸到白球的概率，进而求出球的总个数，再用总个数减去白球的个数，得出红球的个数即可．解：∵数学兴趣小组一共做了次摸球试验（每次摸一个球，记录后放回，搅匀），摸到白球的次数为次，∴摸到白球的概率，∴球的总个数（个），∴红球的个数（个），故答案为：．【点拨】本题主要考查了概率的计算、根据概率求数量，理解概率的计算是解题的关键．【考点四】等可能条件下的概率➼➻几何概率【例4】（2023春·广东深圳·七年级统考期末）概率与统计在我们日常生活中应用非常广泛，请直接填出下列事件中所要求的结果： （1）有5张背面相同的纸牌，其正面分别标上数字“5”、“7”、“8”、“2”、“0”，将这5张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张牌是奇数的概率为______（2）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形飞镖游戏板，某人向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是______【答案】（1）；（2）【分析】（1）所有的等可能结果有5种，满足条件的有2种，根据概率定义计算；（2）设最小的等腰直角三角形面积为s，求出阴影部分面积占整体面积的比，从而确定概率．（1）解：所有的等可能结果有5种，满足条件的有2种，故概率为；故答案为：．（2）解：设最小的等腰直角三角形面积为s，则阴影部分面积为，整体面积为，故飞镖落在阴影部分的概率是．故答案为：．【点拨】本题考查概率的计算，理解几何图形面积法求概率是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2022秋·浙江·九年级周测）如图，正方形是一块绿化带，其中阴影部分，都是正方形的花圃，已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（    ）   A． B． C． D．【答案】C【分析】设正方形的边长为，求得阴影部分的面积与正方形的面积，即可求得小鸟在花圃上的概率．解：设正方形的边长为，则，正方形的面积为，由勾股定理得：，四边形为正方形，，四边形是正方形，，，和是等腰直角三角形，，，，，，阴影部分的面积为：，小鸟在花圃上的概率为，故选：C．【点拨】本题考查了正方形的性质、勾股定理、几何概率、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，表示出阴影部分的面积与正方形的面积是解此题的关键．【变式2】（2022·福建福州·校考模拟预测）如图，在平行四动形纸板中，点分别为的中点，连接．将一飞镖随机投掷到平行四边形纸板上，则飞镖落在阴影部分的概率为 ．   【答案】【分析】根据点分别为的中点，得到，，从而得到，进而得出，由此即可得到答案．解：如图，连接， 四边形为平行四边形，点分别为的中点，点在同一直线上，，，，，飞镖落在阴影部分的概率为，故答案为：．【点拨】本题考查了几何概率，平行四边形的性质，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比，根据题意计算出是解此题的关键．【考点五】等可能条件下的概率➼➻树状图或列表法计算概率【例5】（2022·山西大同·校联考一模）2021年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》（简称“双减”政策），某校为了落实“双减”政策，安排教师参与课后服务工作，在某个星期内，统计他们参与课后服务的次数，并将结果绘制成两幅不完整的统计图．请你根据统计信息解答下列问题：   （1）参与课后服务的教师共有___________人；并补全条形统计图．（2）学校准备从两名男教师，三名女教师共5名辅导教师中，随机调查两名教师课后服务效果，（分别用A、B表示两名男教师，用C、D、E表示三名女教师）．请用列树形图或列表的方法，求恰好选中一男一女的概率是多少？（3）学校积极响应“双减”，并为加强学生体育锻炼，现决定购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？【答案】（1）参与课后服务的教师共有40人，补全图形见分析；（2）；（3）购买一个品牌足球需要50元，购买一个品牌足球需要80元．【分析】（1）由课后服务4次的人数16人除以占比，可得总人数，再求解参加课后服务3次的人数，再补全图形即可；（2）先列表求解所有等可能的结果数，再得到符合条件的情况数，结合概率公式可得答案；（3）设购买一个A品牌足球需要元，则购买一个品牌足球需要元，利用数量总价单价，结合购买A品牌足球数量是购买品牌足球数量的2倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出A品牌足球的单价，再将其代入中即可求出品牌足球的单价．（1）解：；∴参与课后服务的教师共有40人，∴，补全统计图如下：   ．（2）列表如下：∴随机调查两名教师课后服务所有的等可能的结果数有20种；恰好选中一男一女的情况数有12种，∴恰好选中一男一女的概率是；（3）解：设购买一个A品牌足球需要元，则购买一个品牌足球需要元，依题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，．答：购买一个A品牌足球需要50元，购买一个品牌足球需要80元．【点拨】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用画树状图或列表的方法求解概率，分式方程的应用，掌握以上基础知识是解本题的关键．【举一反三】【变式1】（2023秋·山西晋中·九年级校考阶段练习）如图所示的两张图片形状大小完全相同，把两张图片全部从中间剪断，再把四张形状大小相同的小图片混合在一起．从四张图片中随机摸取一张，不放回，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是（    ）   A． B． C． D．【答案】B【分析】四张形状相同的小图片分别为A、a、B、b表示，其中A和a合成一张完整图片，B和b合成一张完整图片，用列表法或画树状图可展示所有12种等可能的结果，再找出两张小图片恰好合成一张完整图片的结果数，然后利用概率公式计算即可．解：四张形状相同的小图片分别为A、a、B、b表示，其中A和a合成一张完整图片，B和b合成一张完整图片，画树状图如下：  共有12种等可能的结果，其中两张小图片恰好合成一张完整图片的结果数为4，∴两张小图片恰好合成一张完整图片的概率为，故选：B．【点拨】本题考查用列表法或画树状图求概率、概率公式，掌握列表法或画树状图求等可能事件概率的方法是解题的关键．【变式2】（2023·浙江·模拟预测）如图，把一个转盘分成四等份，依次标上数字1，2，3，4，若连续自由转动转盘两次，指针指向的数字分别记作，把作为点的横、纵坐标．则点在函数的图象上的概率为 ．  【答案】【分析】先求出，再画出树状图，从而可得连续自由转动转盘两次，指针指向的数字的所有等可能的结果，然后找出满足的结果，利用概率公式求解即可得．解：∵在函数的图象上，，由题意，画出树状图如下：4  由图可知，连续自由转动转盘两次，指针指向的数字的所有等可能的结果共有16种，其中，使得点在函数的图象上的结果有2种，则点在函数的图象上的概率为，故答案为：．【点拨】本题考查了一次函数的应用、利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．【考点六】等可能条件下的概率➼➻游戏的公平性【例6】（2020秋·福建厦门·九年级厦门市湖滨中学校考阶段练习）4月23日，为迎接“世界读书日”，某书城开展购书有奖活动，顾客每购书海100元可获得一次摸奖机会，规则为：一个不透明的袋子中装有4个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4，它们除所标数字外完全相同，摇匀后同时从中随机摸出两个小球，则两球所标数字之和与奖励的购书券金额的对应关系如下：（1）通过列表或画树状图的方法计算摸奖一次获得90元购书券的概率；（2）书城规定，如果顾客不愿意参加摸奖，那么可以直接获得30元的购书券.在“参加摸奖”和“直接获得购书券”两种方式中，你认为哪种方式对顾客更合算？请说明理由．【答案】（1）；（2）选择“参加摸球”对顾客更合算【分析】（1）首先通过列表或画树状图的方法求出两球所标数字之和为7的数目，进而可求出摸奖一次获得90元购书券的概率；（2）由（1）中表格可知，两球数字之和的各种情况对应的概率，进而可求出在“参加摸球”和“直接获得购书券”两种方式中，对顾客更合算．解：（1）列表如下：由上表可知，共有12种等可能的结果．其中“两球数字之和等于7”有2种，（获得90元购书券）；（2）由（1）中表格可知，两球数字之和的各种情况对应的概率如下：摸球一次平均获得购书券金额为，，在“参加摸球”和“直接获得购书券”两种方式中，我认为选择“参加摸球”对顾客更合算．【点拨】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．【举一反三】【变式1】（2023秋·全国·九年级专题练习）甲、乙两人一起玩如图4的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指针指向的数的和为正数，甲胜，否则乙胜，这个游戏（  ）A．公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．公平性不可预测【答案】A【分析】采用列表法列举分别求出指针指向的数的和为正数的概率和为非正数的概率，比较二者概率即可作答．解：列表如下：总的情况数为8种，为正数的情况有4种，为非正数的情况有4种，指针指向的数的和为正数的概率为：；指针指向的数的和为非正数的概率为：；∵，概率相同，∴甲、乙获胜的概率相同，即游戏对二人公平，故选：A．【点拨】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．【变式2】（2022秋·贵州六盘水·九年级统考期中）小李和小王在拼图游戏中，从如图三张纸片中任取两张，如拼成房子，则小李赢；否则，小王赢．你认为这个游戏公平吗？ （填“公平”或“不公平”）．【答案】不公平【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与拼成房子的情况，再利用概率公式求解即可求得小李赢与小王赢的概率，比较概率大小，即可知这个游戏是否公平．解：设三张纸片分别用A，B，C表示画树状图得： 共有6种等可能的结果，能拼成房子的有4种情况， 这个游戏不公平故答案为：不公平【点拨】本题考查的是游戏公平性的判断，解题关键是掌握判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．ABCDEABCDE两球所标数字之和34567奖励的购书券金额（元）00306090第1球第2球12341234数字之和34567获奖金额（元00306090相应的概率