【学考复习】2024年高中数学学业水平考试（江苏专用）05第五章 三角函数-讲义

这是一份【学考复习】2024年高中数学学业水平考试（江苏专用）05第五章 三角函数-讲义，文件包含学考复习2024年高中数学学业水平考试江苏专用05第五章三角函数原卷版docx、学考复习2024年高中数学学业水平考试江苏专用05第五章三角函数解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角,和轴线角.))
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
3．任意角的三角函数
(1)设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sinα＝y，csα＝x，tanα＝eq \f (y,x)(x≠0)．
(2)任意角的三角函数的定义(推广)
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝eq \f (y,r)，csα＝eq \f (x,r)，tanα＝eq \f (y,x)(x≠0)．
(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
4．常用结论
（1）角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．
（2）象限角
（3）轴线角
5．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系：eq \f (sinα,csα)＝tanαeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f (π,2)＋kπ，k∈Z)).
6．三角函数的诱导公式
7．常用结论
（1）同角三角函数的基本关系的常见变形
sin2α＝1－cs2α＝(1＋csα)(1－csα)；cs2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±csα)2＝1±2sinαcsα.
（2）诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq \f (π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．
（3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
8．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sinαcsβ±csαsinβ.
cs(α∓β)＝csαcsβ±sinαsinβ.
tan(α±β)＝eq \f (tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).
9．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2α＝2sinαcsα.
cs2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
tan2α＝eq \f (2tanα,1－tan2α).
10．辅助角公式
asinα＋bcsα＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中sinφ＝eq \f (b,\r(a2＋b2))，csφ＝eq \f (a,\r(a2＋b2)).
11．两角和与差的正切公式的变形
(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)．
(2)tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．
12．倍角公式的变形
(1)降幂公式：sinαcsα＝eq \f (1,2)sin2α；sin2α＝eq \f (1－cs2α,2)；cs2α＝eq \f (1＋cs2α,2).
(2)升幂公式：1±sin2α＝(sinα±csα)2；1＋cs2α＝2cs2α；1－cs2α＝2sin2α.
13．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (3π,2)，－1))，(2π，0)．
余弦函数y＝csx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (3π,2)，0))，(2π，1)．
14．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质(下表中k∈Z)
考点一 象限角与终边相同的角
【例1】若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－eq \r(3)x上，则角α的取值集合是( )
A．{αeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝2kπ－\f (π,3)，k∈Z))
B．{αeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝2kπ＋\f (2π,3)，k∈Z))
C．{αeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝kπ－\f (2π,3)，k∈Z))
D．{αeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝kπ－\f (π,3)，k∈Z))
归纳点拨
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
(2)确定kα，eq \f (α,k)(k∈N*)的终边位置的方法先写出kα或eq \f (α,k)的范围，然后根据k的可能取值确定kα或eq \f (α,k)的终边所在的位置．
对点训练
1．集合{αeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f (π,4)≤α≤kπ＋\f (π,2)，k∈Z))中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
2．若角α是第二象限角，则eq \f (α,2)是第________象限角．
考点二 弧度制及其应用
【例2】 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝eq \f (π,3)，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
(3)若α＝eq \f (π,3)，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．
归纳点拨
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
对点训练
1．若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )
A．eq \f (π,6) B．eq \f (π,3) C．3 D．eq \r(3)
2．已知扇形的周长为8 cm，则该扇形面积的最大值为__________cm2.
考点三 三角函数的定义
【例3】(1)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且csα＝－eq \f (4,5)，则m的值为( )
A．－eq \f (1,2)B．－eq \f (\r(3),2)
C．eq \f (1,2) D．eq \f (\r(3),2)
(2)已知角α的终边上一点P(－eq \r(3)，m)(m≠0)，且sinα＝eq \f (\r(2)m,4)，则csα＝__________，tanα＝__________.
归纳点拨
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值．
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值．
对点训练
1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sinα＋eq \f (1,csα)等于( )
A．－eq \f (1,5) B．eq \f (37,15) C．eq \f (37,20) D．eq \f (13,15)
考点四 三角函数值符号的判定
【例4】(1)设θ是第三象限角，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f (θ,2)))＝－cseq \f (θ,2)，则eq \f (θ,2)是( )
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
(2)sin2·cs3·tan4的值( )
A．小于0B．大于0
C．等于0D．不存在
归纳点拨
要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解．
对点训练
1．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若点P(sinα，tanα)在第四象限，则角α的终边在( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
考点五 同角三角函数“知一求二”问题
【例5】(1)已知α∈(0，π)，csα＝－eq \f (3,5)，则tanα＝( )
A．eq \f (3,4)B．－eq \f (3,4)
C．eq \f (4,3)D．－eq \f (4,3)
(2)已知α是三角形的内角，且tanα＝－eq \f (1,3)，则sinα＋csα的值为__________．
归纳点拨
利用同角基本关系“知一求二”的方法
对点训练
1． (多选)已知θ∈(0，π)，sinθ＋csθ＝eq \f (1,5)，则下列结论正确的是( )
A．sinθ＝eq \f (4,5)B．csθ＝－eq \f (3,5)
C．tanθ＝－eq \f (3,4)D．sinθ－csθ＝eq \f (7,5)
考点六 同角三角函数“弦切互化”问题
【例6】 (1)已知P(－1,3)为角α终边上的一点，则eq \f (sinα－2csα,3sinα＋csα)＝__________.
(2)(2022·吉林长春高三一模)已知sinα＝3csα，则sin2α－2cs2α＝__________.
归纳点拨
利用“弦切互化”求齐次式值的方法
(1)若齐次式为分式，可将分子与分母同除以csα的n次幂，将分式的分子与分母化为关于tanα的式子，代入tanα的值即可求解．
(2)若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母1用sin2α＋cs2α替换，再将分子与分母同除以cs2α，化为只含有tanα的式子，代入tanα的值即可求解.
对点训练
1．已知eq \f (sinα＋3csα,3csα－sinα)＝5，则eq \f (2,sinαcsα)的值为________．
考点八 同角三角函数“和积转换”问题
【例8】(1)已知sinαcsα＝eq \f (1,8)，且eq \f (5π,4)a
C．c>a>bD．c>b>a
(2)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则csC＝__________.
归纳点拨
运用和、差、倍角公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
对点训练
1．已知sinα＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,3)))＋eq \f (1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))的值为( )
A．eq \f (1,3)B．－eq \f (1,3)
C．eq \f (2\r(3),3)D．－eq \f (2\r(3),3)
考点十三 辅助角公式的运用
【例13】 化简：(1)sineq \f (π,12)－eq \r(3)cseq \f (π,12)；
(2)cs15°＋sin15°；
(3)eq \f (1,sin10°)－eq \f (\r(3),sin80°)；
(4)3eq \r(15)sinx＋3eq \r(5)csx.
归纳点拨
对asinx＋bcsx化简时，注意辅助角φ的值的确定和函数名的对应．
对点训练
1．若eq \r(3)sinx＋csx＝eq \f (2,3)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f (7π,6)))＝__________.
考点十四 角的变换
【例14】 (1)已知锐角α，β满足csα＝eq \f (2\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq \f (3,5)，则sinβ的值为( )
A．eq \f (2\r(5),5) B．eq \f (\r(5),5) C．eq \f (2\r(5),25) D．eq \f (\r(5),25)
(2)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)－α))＝eq \f (\r(3),3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (5π,6)－2α))的值为________．
[思路引导] (1)用α、α－β表示β→求α、α－β的三角函数值→代入公式求解．
(2)用eq \f (π,6)－α表示eq \f (5π,6)－2α→利用二倍角公式求值．
归纳点拨
利用角的变换求三角函数值的策略
(1)当“已知角”有两个时：一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时：此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
对点训练
1．已知tan(α＋β)＝1，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f (π,3)))＝eq \f (1,3)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f (π,3)))的值为( )
A．eq \f (2,3) B．eq \f (1,2) C．eq \f (3,4) D．eq \f (4,5)
2．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)－α))＝eq \f (1,4)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)＋2α))＝( )
A．－eq \f (7,8)B．－eq \f (1,4)
C．eq \f (1,4) D．eq \f (7,8)
考点十五 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
【例15】(1) (多选)下列四个函数中，以π为周期且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,2)))上单调递增的偶函数为( )
A．y＝cs|2x|B．y＝|tanx|
C．y＝sin|x|D．y＝lg|sinx|
(2)函数f (x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f (π,3)＋φ))＋1，φ∈(0，π)，且f (x)为偶函数，则φ＝__________，f (x)图象的对称中心为__________．
归纳点拨
(1)三角函数周期的一般求法
①公式法．
②不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期．
(2)对于可化为f (x)＝Asin(ωx＋φ)(或f (x)＝Acs(ωx＋φ))形式的函数，如果求f (x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝eq \f (π,2)＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f (x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或令ωx＋φ＝\f (π,2)＋kπk∈Z))，求x即可．
(3)对于可化为f (x) ＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f (x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝eq \f (kπ,2)(k∈Z)，求x即可．
(4)三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y＝Asin(ωx＋φ)中代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数．若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝eq \f (π,2)＋kπ(k∈Z)．
对点训练
1．已知函数f (x)＝eq \r(3)sin(2x＋φ)＋cs(2x＋φ)为奇函数，且存在x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,3)))，使得f (x0)＝2，则φ的一个可能取值为( )
A．eq \f (5π,6) B．eq \f (π,3) C．－eq \f (π,6) D．－eq \f (2π,3)
2． (多选)已知函数f (x)＝sinxcsx＋eq \f (\r(3),2)(1－2sin2x)，则有关函数f (x)的说法正确的是( )
A．f (x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)，0))对称
B．f (x)的最小正周期为π
C．f (x)的图象关于直线x＝eq \f (π,6)对称
D．f (x)的最大值为eq \r(3)
考点十六 求三角函数的单调区间
【例16】 (1)已知函数f (x)＝cs2x－sin2x，则( )
A．f (x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (π,2)，－\f (π,6)))上单调递减
B．f (x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (π,4)，\f (π,12)))上单调递增
C．f (x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,3)))上单调递减
D．f (x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,4)，\f (7π,12)))上单调递增
(2)函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)－\f (1,2)x))，x∈[－2π，2π]的单调递减区间是__________．
归纳点拨
求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．
对点训练
1．设函数f (x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)－2x))，则f (x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f (π,2)))上的单调递减区间是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f (π,6))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f (π,3)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (π,3)，\f (π,2))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (π,6)，\f (π,2)))
2．已知f (x)＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f (π,3)))－1(ω>0)，若f (x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f (π,6)，\f (π,4)))上单调递增，则ω的取值范围为__________．
一、选择题
1．设集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f (k,2)·180°＋45°，k∈Z))))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f (k,4)·180°＋45°，k∈Z))))，那么( )
A．M＝NB．M⊆N
C．N⊆MD．M∩N＝∅
2．已知角α的终边与单位圆的交点为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (1,2)，y))，则sinα·tanα等于( )
A．－eq \f (\r(3),3)B．±eq \f (\r(3),3)
C．－eq \f (3,2)D．±eq \f (3,2)
3．知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角α的弧度数是( )
A．1B．4
C．1或4D．2或4
4．已知角α与角β的顶点都为坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，若角α的终边与角β的终边关于x轴对称，则下列式子一定成立的是( )
A．sinα＝sinβB．sinα＝csβ
C．csα＝csβD．csα＝sinβ
5．已知角α的终边过点P(sin1180°，cs1180°)，则cs(3α＋60°)＝( )
A．eq \f (\r(3),2) B．eq \f (1,2)
C．1D．0
6．下列结论中错误的是( )
A．若0