【学考复习】2024年高中数学学业水平考试（江苏专用）06第六章 平面向量和复数-讲义

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1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
3．向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa．
4．常用结论
（1）一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即eq \(A1A2,\s\up16(→))＋eq \(A2A3,\s\up16(→))＋eq \(A3A4,\s\up16(→))＋…＋An－1An＝eq \(A1An,\s\up16(→))，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
（2）若F 为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则eq \(OF ,\s\up16(→))＝eq \f (1,2)(eq \(OA,\s\up16(→))＋eq \(OB,\s\up16(→)))．
（3）若A，B，C是平面内不共线的三点，则eq \(PA,\s\up16(→))＋eq \(PB,\s\up16(→))＋eq \(PC,\s\up16(→))＝0⇔P为△ABC的重心，eq \(AP,\s\up16(→))＝eq \f (1,3)(eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(AC,\s\up16(→)))．
（4）若eq \(OA,\s\up16(→))＝λeq \(OB,\s\up16(→))＋μeq \(OC,\s\up16(→))(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
（5）对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
5．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝x1e1＋λ2e2.
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
6．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
7．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up15(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up15(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
8．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
9．中点坐标公式
已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).
10．重心坐标公式
已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).
11．平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up15(→))＝a，eq \(OB,\s\up15(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|csθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|csθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)投影向量
如图，在平面内任取一点O，作eq \(OM,\s\up15(→))＝a，eq \(ON,\s\up15(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq \(OM1,\s\up15(→))就是向量a在向量b上的投影向量．
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq \(OM1,\s\up15(→))与e，a，θ之间的关系为eq \(OM1,\s\up15(→))＝|a|csθe.
12．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a||b|csθ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
(3)夹角：csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·eq \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)).
13．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
14．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
15．有关向量夹角的两个结论
已知向量a，b.
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
16．复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是实部，b是虚部，i为虚数单位．
(2)复数的分类：复数z＝a＋bi(a，b∈R)
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(实数b＝0，,虚数b≠0其中，当a＝0时为纯虚数.))
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模：向量eq \(OZ,\s\up15(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)(a，b∈R)．
17．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq \(,\s\up15(一一对应))复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq \(,\s\up15(一一对应))平面向量eq \(OZ,\s\up15(→)).
18．复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
④除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．
(2) 几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即eq \(OZ,\s\up15(→))＝eq \(OZ1,\s\up15(→))＋eq \(OZ2,\s\up15(→))，eq \(Z1Z2,\s\up15(→))＝eq \(OZ2,\s\up15(→))－eq \(OZ1,\s\up15(→)).
19．常用结论
（1）(1±i)2＝±2i；eq \f(1＋i,1－i)＝i；eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
（2）－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．
（3）i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
（4）i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
20．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环．
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
考点一 平面向量的概念
【例1】(2022·江苏南通联考)下列命题中正确的是( )
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．模相等的两个平行向量是相等向量
C．若a和b都是单位向量，则a＝b
D．两个相等向量的模相等
归纳点拨
平面向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆．
(4)非零向量a与eq \f (a,|a|)的关系：eq \f (a,|a|)是与a同方向的单位向量.
对点训练
1．设a，b为非零向量，则“a∥b”是“a与b方向相同”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．若四边形ABCD满足eq \(AD,\s\up16(→))＝eq \f (1,2)eq \(BC,\s\up16(→))且|eq \(AB,\s\up16(→))|＝|eq \(DC,\s\up16(→))|，则四边形ABCD的形状是( )
A．等腰梯形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
考点二 平面向量的线性运算
【例2】 在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记eq \(CA,\s\up16(→))＝m，eq \(CD,\s\up16(→))＝n，则eq \(CB,\s\up16(→))＝( )
A．3m－2nB．－2m＋3n
C．3m＋2nD．2m＋3n
归纳点拨
向量线性运算的解题策略
(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
考点三 根据向量的线性运算求参数
【例3】如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F 为DE的中点，若eq \(AF ,\s\up16(→))＝xeq \(AB,\s\up16(→))＋yeq \(AD,\s\up16(→))，则x，y的值为( )
A．eq \f (3,4)，eq \f (1,4) B．eq \f (2,3)，eq \f (1,3)
C．eq \f (1,2)，eq \f (3,4) D．eq \f (2,3)，eq \f (1,2)
归纳点拨
与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．
对点训练
1．在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且eq \(BD,\s\up16(→))＝2eq \(DC,\s\up16(→))，eq \(CE,\s\up16(→))＝3eq \(EA,\s\up16(→))，若eq \(AB,\s\up16(→))＝a，eq \(AC,\s\up16(→))＝b，则eq \(DE,\s\up16(→))＝( )
A．eq \f (1,3)a＋eq \f (5,12)b B．eq \f (1,3)a－eq \f (13,12)b
C．－eq \f (1,3)a－eq \f (5,12)bD．－eq \f (1,3)a＋eq \f (13,12)b
2.如图，在△ABC中，eq \(AN,\s\up16(→))＝eq \(NC,\s\up16(→))，P是BN上的一点，eq \(BP,\s\up16(→))＝3eq \(PN,\s\up16(→))，若eq \(AP,\s\up16(→))＝eq \f (1,4)eq \(AB,\s\up16(→))＋meq \(AC,\s\up16(→))，则实数m的值为( )
A．eq \f (1,4) B．eq \f (3,8) C．eq \f (3,4) D．eq \f (9,7)
考点四 在给定区间上的恒成立
【例4】若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈(0,1]恒成立，则a的取值范围为________．
归纳点拨
一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解方法
(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或取值范围)．
(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a.
对点训练
1．若对任意的x∈[－1,2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－3] B．(－∞，0]
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
考点五 给定参数范围的恒成立
【例5】设关于x的不等式mx2－2x－m＋1<0对于满足|m|≤2的一切m都成立，则x的取值范围为__________．
归纳点拨
解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．
对点训练
1．已知a∈[－1,1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围是________．
考点六 平面向量基本定理的应用
【例6】 (1)如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且eq \(AN,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)eq \(NC,\s\up15(→))，BN与CM相交于点E，设eq \(AB,\s\up15(→))＝a，eq \(AC,\s\up15(→))＝b，则eq \(AE,\s\up15(→))等于( )
A．eq \f(2,5)a＋eq \f(1,5)b B．eq \f(1,5)a＋eq \f(2,5)b
C．eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b D．eq \f(2,5)a＋eq \f(4,5)b
(2)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若eq \(CG,\s\up15(→))＝λeq \(CD,\s\up15(→))＋μeq \(CB,\s\up15(→))(λ，μ∈R)，则eq \f(λ,μ)＝__________.
归纳点拨
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．
对点训练
1. 如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，eq \(AM,\s\up15(→))＝eq \f(4,5)eq \(AB,\s\up15(→))，eq \(AN,\s\up15(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up15(→))，连接AC，MN交于P点．若eq \(AP,\s\up15(→))＝λeq \(AC,\s\up15(→))，则λ的值为( )
A．eq \f(3,5) B．eq \f(3,7)
C．eq \f(4,11) D．eq \f(4,13)
2. 如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若eq \(AB,\s\up15(→))＝meq \(AM,\s\up15(→))，eq \(AC,\s\up15(→))＝neq \(AN,\s\up15(→))，则m＋n的值为________．
考点七 平面向量的坐标运算
【例7】已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,1)，c＝(5,4)，则以向量a与b为基底表示向量c的结果是( )
A．eq \f(13,5)a－eq \f(6,5)b B．eq \f(13,3)a－eq \f(14,3)b
C．－eq \f(7,2)a－eq \f(9,2)b D．eq \f(14,3)a＋eq \f(13,3)b
归纳点拨
平面向量坐标运算的2个技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
对点训练
1．在平行四边形ABCD中，eq \(AD,\s\up15(→))＝(3,7)，eq \(AB,\s\up15(→))＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则eq \(CO,\s\up15(→))的坐标为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，5)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，5))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－5)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－5))
2．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则eq \f(λ,μ)＝__________.
考点八 利用向量共线求参数
【例8】(1)已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝__________.
(2)已知向量eq \(OA,\s\up15(→))＝(k,12)，eq \(OB,\s\up15(→))＝(4,5)，eq \(OC,\s\up15(→))＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k＝__________.
归纳点拨
利用向量共线的坐标表示求参数的一般步骤
(1)根据已知条件求出相关向量的坐标．
(2)利用向量共线的坐标表示列出有关向量的方程或方程组．
(3)根据方程或方程组求解得到参数的值．
对点训练
1．已知向量m＝(2，λ)，n＝(－1,3)．若(2m＋n)∥(m－n)，则实数λ的值为( )
A．6 B．3
C．－3 D．－6
考点九 利用向量共线求向量或点的坐标
【例9】(1)已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b＝( )
A．(4,8) B．(4，－8)或(－4,8)
C．(－4，－8)或(4,8) D．(－4,8)
(2)已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为__________．
归纳点拨
(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设
所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．求点的坐标时，可设要求点的坐标为(x，y)，根据向量共线的条件列方程(组)，求出x，y的值．
对点训练
1．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(－3,4)．若点C在∠AOB的平分线上，且|eq \(OC,\s\up15(→))|＝3eq \r(10)，则向量eq \(OC,\s\up15(→))的坐标为__________．
考点十 平面向量数量积的基本运算
【例10】 (1)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝eq \r(3)，|a－2b|＝3，则a·b＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
(2)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则eq \(PA,\s\up15(→))·eq \(PB,\s\up15(→))的取值范围是( )
A．[－5,3] B．[－3,5]
C．[－6,4] D．[－4,6]
归纳点拨
平面向量数量积的两种运算方法
(1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题．
(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解．
对点训练
1．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，点D为BC边上一点，且eq \(BD,\s\up15(→))＝2eq \(DC,\s\up15(→))，则eq \(AB,\s\up15(→))·eq \(AD,\s\up15(→))＝( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(2,3)
C．1 D．2
2．已知△ABC是边长为2的正三角形，P为线段AB上一点(包含端点)，则eq \(PB,\s\up15(→))·eq \(PC,\s\up15(→))的取值范围为( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，2)) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，4))
C．[0,2] D．[0,4]
考点十一 平面向量的夹角
【例11】设等边三角形ABC的边长为1，平面内一点M满足eq \(AM,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up15(→))，则向量eq \(AM,\s\up15(→))与eq \(AB,\s\up15(→))夹角的余弦值为( )
A．eq \f(\r(6),3) B．eq \f(\r(3),6)
C．eq \f(\r(19),12) D．eq \f(4\r(19),19)
归纳点拨
求平面向量的夹角的方法
(1)定义法：csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)，θ的取值范围为[0，π]．
(2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则csθ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
(3)解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中．
对点训练
1．已知向量a，b的夹角为eq \f(π,3)，且|a|＝4，|b|＝2，则向量a与向量a＋2b的夹角等于( )
A．eq \f(π,12) B．eq \f(π,6)
C．eq \f(π,3) D．eq \f(π,4)
2．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|，(2a＋3b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3)
C．eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6)
考点十二 平面向量的模
【例12】 (1)若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝__________.
(2)已知在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2CD＝2，AB∥CD，∠ADC＝90°，若点M在线段AC上，则|eq \(MB,\s\up15(→))＋eq \(MD,\s\up15(→))|的取值范围为________．
归纳点拨
求平面向量模的2种方法
(1)公式法：利用|a|＝eq \r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算．
(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．
对点训练
1．已知点G是△ABC内一点，满足eq \(GA,\s\up15(→))＋eq \(GB,\s\up15(→))＋eq \(GC,\s\up15(→))＝0，若∠BAC＝eq \f(π,3)，eq \(AB,\s\up15(→))·eq \(AC,\s\up15(→))＝1，则|eq \(AG,\s\up15(→))|的最小值是( )
A．eq \f(\r(3),3) B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(\r(6),3) D．eq \f(\r(6),2)
考点十三 平面向量的垂直
【例13】 (1)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是( )
A．a＋2b B．2a＋b
C．a－2b D．2a－b
(2)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝__________.
归纳点拨
(1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
若证明两个向量垂直，先根据已知条件(如共线、夹角等)计算出这两个向量的坐标，然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
(2)已知两个向量的垂直关系求解相关参数
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
考点十四 复数的概念
【例14】复数z满足：z(2＋i)＝5(i是虚数单位)，则复数z的虚部为( )
A．－2 B．2
C．－i D．－1
归纳点拨
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部．若z为实数，则虚部b＝0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a＝0且b≠0.
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2).
(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为eq \(z,\s\up15(－))＝a－bi，则z·eq \(z,\s\up15(－))＝|z|2＝|eq \(z,\s\up15(－))|2，即|z|＝|eq \(z,\s\up15(－))|＝eq \r(z·\(z,\s\up15(－)))，若z∈R，则eq \(z,\s\up15(－))＝z.
对点训练
1．已知复数z＝eq \f(2,1－i)，复数eq \(z,\s\up15(－))是复数z的共轭复数，则z·eq \(z,\s\up15(－))＝( )
A．1 B．eq \r(2)
C．2 D．2eq \r(2)
2．已知复数z1＝a－3i，z2＝2＋i(i为虚数单位)．若z1z2是纯虚数，则实数a＝( )
A．－eq \f(3,2) B．eq \f(3,2)
C．－6 D．6
3．若z＝1＋i，则|z2－2z|＝__________.
考点十五 复数的运算
【例15】 (1)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝( )
A．－1－eq \f(3,2)i B．－1＋eq \f(3,2)i
C．－eq \f(3,2)＋i D．－eq \f(3,2)－i
(2)已知复数z＝1＋eq \f(2i,1－i)，则1＋z＋z2＋…＋z2022＝( )
A．1＋i B．1－i
C．i D．0
归纳点拨
复数代数形式运算问题的解题策略
(1)在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可．
(2)复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(3)复数除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式，这里的分母实数化可类比分母含根式的分母有理化．
对点训练
1． (2＋2i)(1－2i)＝( )
A．－2＋4i B．－2－4i
C．6＋2i D．6－2i
2．若复数z满足z(1＋2i)＝2i－(1＋i)3，则eq \(z,\s\up15(－))＝( )
A．eq \f(2,5)＋eq \f(4,5)i B．eq \f(2,5)－eq \f(4,5)i
C．－eq \f(2,5)＋eq \f(4,5)i D．－eq \f(2,5)－eq \f(4,5)i
考点十六 复数的几何意义
【例16】 (1)已知复数z＝eq \f(2－i,1＋i)，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)(多选)已知复数z1＝eq \f(2,－1＋i)(i为虚数单位)，下列说法正确的是( )
A．z1对应的点在第三象限
B．z1的虚部为－1
C．zeq \\al(4,1)＝4
D．满足|z|＝|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上
归纳点拨
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq \(,\s\up15(一一对应))Z(a，b)eq \(,\s\up15(一一对应))eq \(OZ,\s\up15(→))＝(a，b)．
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.
对点训练
1．若复数z＝(2＋ai)(a－i)在复平面内对应的点在第三象限，其中a∈R，i为虚数单位，则实数a的取值范围为( )
A．(－eq \r(2)，eq \r(2)) B．(－eq \r(2)，0)
C．(0，eq \r(2)) D．[0，eq \r(2))
2. 如图，若向量eq \(OZ,\s\up15(→))对应的复数为z，则z＋eq \f(4,z)表示的复数为( )
A．1＋3i
B．－3－i
C．3－i
D．3＋i
一、选择题
1．平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F 是BC的一个三等分点(靠近B)，则eq \(EF ,\s\up16(→))＝( )
A．eq \f (1,2)eq \(AB,\s\up16(→))－eq \f (1,3)eq \(AD,\s\up16(→)) B．eq \f (1,4)eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f (1,2)eq \(AD,\s\up16(→))
C．eq \f (1,3)eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f (1,2)eq \(AD,\s\up16(→)) D．eq \f (1,2)eq \(AB,\s\up16(→))－eq \f (2,3)eq \(AD,\s\up16(→))
2．在△ABC中，D为线段AB上一点，且BD＝3AD，若eq \(CD,\s\up16(→))＝λeq \(CA,\s\up16(→))＋μeq \(CB,\s\up16(→))，则eq \f (λ,μ)＝( )
A．eq \f (1,3)B．3
C．eq \f (1,4)D．4
3．在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up16(→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up16(→))＝－4a－3b，eq \(CD,\s\up16(→))＝－5a－5b，则四边形ABCD的形状是( )
A．矩形B．平行四边形
C．梯形D．以上都不对
4．在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F 是线段DE上的点，且eq \(F C,\s\up16(→))＝eq \f (7,8)eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f (1,4)eq \(AD,\s\up16(→))，则( )
A．eq \(F D,\s\up16(→))＝2eq \(EF ,\s\up16(→)) B．eq \(EF ,\s\up16(→))＝2eq \(F D,\s\up16(→))
C．eq \(F D,\s\up16(→))＝3eq \(EF ,\s\up16(→)) D．eq \(EF ,\s\up16(→))＝3eq \(F D,\s\up16(→))
5．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的( )
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c＝( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,3)，\f(8,3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,3)，－\f(8,3)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,3)，\f(4,3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,3)，－\f(4,3)))
7．已知m＝(5,12)，则与m方向相同的单位向量的坐标是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,13)，\f(12,13))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(4,5)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))
8．如图，在平行四边形ABCD中，F是BC的中点，eq \(CE,\s\up15(→))＝－2eq \(DE,\s\up15(→))，若eq \(EF,\s\up15(→))＝xeq \(AB,\s\up15(→))＋yeq \(AD,\s\up15(→))，则x＋y＝( )
A．1 B．6
C．eq \f(1,6) D．eq \f(1,3)
9．若向量a，b为单位向量，|a－2b|＝eq \r(7)，则向量a与向量b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
10．在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，则向量eq \(BA,\s\up15(→))在向量eq \(BC,\s\up15(→))上的投影向量为( )
A．eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up15(→)) B．eq \f(\r(3),4)eq \(BC,\s\up15(→))
C．－eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up15(→)) D．－eq \f(\r(3),4)eq \(BC,\s\up15(→))
11．已知O是△ABC内部一点，且满足eq \(OA,\s\up15(→))＋eq \(OB,\s\up15(→))＋eq \(OC,\s\up15(→))＝0，又eq \(AB,\s\up15(→))·eq \(AC,\s\up15(→))＝2eq \r(3)，∠BAC＝60°，则△OBC的面积为( )
A．eq \f(\r(3),2) B．3
C．1 D．2
12．在△ABC中，BC＝2，BA＝eq \r(2)，B＝eq \f(π,4)，eq \(CA,\s\up15(→))＝3eq \(DA,\s\up15(→))，且E是BD的中点，则eq \(AE,\s\up15(→))·eq \(EC,\s\up15(→))＝( )
A．－eq \f(2,9) B．eq \f(2,9)
C．－eq \f(2,3) D．eq \f(2,3)
13．已知复数z＝eq \f(i,1＋i)，则|z|＝( )
A．eq \f(\r(2),2) B．eq \r(2)
C．eq \f(1,2) D．1
14．已知i是虚数单位，复数z满足eq \f(z,3－i)＝i，则eq \(z,\s\up15(－))＝( )
A．－1＋3i B．－1－3i
C．1＋3i D．1－3i
15．复数z＝eq \f(1－2i,1＋i3)的共轭复数的虚部为( )
A．－eq \f(1,2)i B．eq \f(1,2)i
C．－eq \f(1,2) D．eq \f(1,2)
16．设eq \(z,\s\up15(－))是复数z的共轭复数．在复平面内，复数z＋2与eq \(z,\s\up15(－))＋2i对应的点关于y轴对称，则eq \f(1,z)＝( )
A．－1＋i B．－eq \f(1,2)－eq \f(i,2)
C．eq \f(1,2)－eq \f(i,2) D．－eq \f(1,2)＋eq \f(i,2)
二、解答题
17．设e1，e2是两个不共线向量，已知eq \(AB,\s\up16(→))＝2e1－8e2，eq \(CB,\s\up16(→))＝e1＋3e2，eq \(CD,\s\up16(→))＝2e1－e2.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)若eq \(BF ,\s\up16(→))＝3e1－ke2，且B，D，F 三点共线，求k的值．
18．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)若eq \(AB,\s\up15(→))＝2a＋3b，eq \(BC,\s\up15(→))＝a＋mb且A、B、C三点共线，求m的值．
19．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(csB，csA)，m·n＝sin2C．
(1)求角C的大小；
(2)若sinA，sinC，sinB成等差数列，且eq \(CA,\s\up15(→))·(eq \(AB,\s\up15(→))－eq \(AC,\s\up15(→)))＝18，求c边的长．
20．(1)已知复数z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(csθ－\f(4,5)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sinθ－\f(3,5)))i是纯虚数(i为虚数单位)，求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))的值．
(2)若复数1＋eq \r(3)i与复数－eq \r(3)＋i在复平面内对应的点分别为A、B，O为坐标原点，求∠AOB的大小．
向量
运算
法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：
a＋b＝b＋a
结合律：
(a＋b)＋c
＝a＋(b＋c)
减法
a－b＝a＋(－b)
数乘
|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；
当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；
当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝
λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb