2024安徽省示范高中培优联盟高一上学期冬季联赛试题数学含解析

这是一份2024安徽省示范高中培优联盟高一上学期冬季联赛试题数学含解析，共12页。试卷主要包含了答第Ⅱ卷时，必须使用0，已知，，，，则，函数的最小值是等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第3页，第Ⅱ卷第4至第6页.全卷满分150分，考试时间120分钟.
考生注意事项：
1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.
4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.若命题：，是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A.B.
C.D.
4.若，：关于的方程有两个不相等的实数根，则是成立的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.已知定义域为的函数和，函数图象关于原点对称，函数满足，若，则与的大小关系为（ ）
A.B.
C.D.不确定
6.已知，，，，则（ ）
A.2B.5C.10D.20
7.已知函数定义域为，若对于，当时，都有成立，则称函数是“共建”函数，则下列四个函数中是“共建”函数的是（ ）
A.B.
C.，D.，
8.函数的最小值是（ ）
A.B.3C.D.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.若实数，满足，则下列说法中正确的是（ ）
A.B.
C.D.
10.若点在幂函数的图象上，则以下关于函数的说法中正确的是（ ）
A.的定义域是B.的值域是
C.是增函数D.
11.若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过，则可以是（ ）
A.B.
C.D.
12.定义在上的函数，当时，，当时，，若关于函数在定义域内有四个零点，则实数的取值可以是（ ）
A.B.C.D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
考生注意事项：
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.已知函数，则的值域为________.
14.已知函数的图象不经过第二、四象限，请写出满足条件的一组的值________.
15.设点，，点是函数图象上一点，则面积的最小值为________.
16.若函数对于都有，则________.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（10分）
某品牌汽车制造厂引进了一条小型家用汽车装配流水线，本年度第一季度统计数据如下表
（1）根据上表数据，从下列三个函数模型中：①，②，③选取一个恰当的函数模型描述这条流水线生产的小型汽车数量（辆）与创造的收益（元）之间的关系，并写出这个函数关系式；
（2）利用上述你选取的函数关系式计算，若这家工厂希望在一周内利用这条流水线创收6020元以上，那么它在一周内大约应生产多少辆小型汽车？
18.（12分）
（1）已知，求证；
（2）利用（1）的结论，证明：（且）.
19.（12分）
我们知道存储温度（单位：℃）会影响着鲜牛奶的保鲜时间（单位：），温度越高，保鲜时间越短.已知与之间的函数关系式为（为自然对数的底数），某款鲜牛奶在5℃的保鲜时间为，在25℃的保鲜时间为.（参考数据：）
（1）求此款鲜牛奶在0℃的保鲜时间约为几小时（结果保留到整数）；
（2）若想要保证此款鲜牛奶的保鲜时间不少于，那么对存储温度有怎样的要求？
20.（12分）
定义在上的函数，满足，对于任意的都有成立，并且，使得.
（1）判断函数的单调性，并证明；
（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
21.（12分）
已知函数
（1）请在网格纸中画出的简图，并写出函数的单调区间（无需证明）；
（2）定义函数在定义域内的，若满足，则称为函数的一阶不动点，简称不动点；若满足，则称为函数的二阶不动点，简称稳定点.
①求函数的不动点；
②求函数的稳定点.
22.（12分）
已知函数，其中.
（1）若存在，使得，求的最小值；
（2）令，若关于的方程有两个根和，求当时，实数的取值范围.
2023冬季联赛高一数学参考答案
一、选择题（本大题共8个题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.【答案】A ，，所以，故选A.
2.【答案】C ，即，故选C.
3.【答案】D ∵，∴，∴，
即，故选D.
4.【答案】A 由解得或，故是成立的充分不必要条件，选A.
5.【答案】A 因为，，，故，即，所以，，计算可得，，故选A.
6.【答案】D ∵，∴，即，由基本不等式可知，又因为，所以，即满足基本不等式取等条件，即，故选D.
7.【答案】B 根据题意，，即，设，即，选项B中，在定义域上是单调递减函数，满足“共建”函数的定义，故选B.
8.【答案】D 设，则，因为，所以，选D.
二、选择题：本大题共4个题，每小题5分，共20分.每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.
9.【答案】BD 当时，，故A错误；因为，根据同向可加性易知，故B正确；因为，所以，，则，故C错误，D正确，故选BD.
10.【答案】BCD 因为为幂函数，所以，则，由点在的图象上得，故.由解得，故A错误；易知函数单调递增，故C正确；当时，求得值域为，故B正确；由，得，则，故选BCD
11.【答案】ABD 计算可得A，B，C，D选项中的零点分别为，1，0，1，根据二分法以及零点存在性定理可求出，，所以的零点所在区间为，故选ABD.
12.【答案】AB 令，则，由题意原函数有4个零点，结合函数图象可知函数有两个不同零点和，不妨设，且，，分析函数的图象可知，，则，解得，故选AB.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 14. 15. 16.
13.【答案】 令，则，，
，易得值域为.
14.【答案】 只要满足，即可
15.【答案】，如图所示，
，因为，所以，当且仅当时取等号，此时面积的最小值为.（另解：利用点到直线距离公式亦可解决）
16.【答案】，因为对于都有，所以函数的对称中心为，又因为，所以，故，即.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.（10分）【答案】
（1）选取②，由题表可知，随着的增大，的值先增大后减小，而函数及均为单调函数，故不符合题意，
所以选取②2分
将，，三点分别代入函数解析式，可得二次函数对称轴为，故可将函数解析式设为，即得到，解出，
∴，
∴，，；5分
（2）设在一周内大约应生产辆小型汽车，根据题意，可得，即，即，6分
因为，所以方程有两个实数根，，由二次函数的图象可知不等式的解为.8分
因为只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的小型汽车数量之间时，这家工厂能够获得6020元以上的收益.10分
18.（12分）【答案】
（1）证明：因为，所以，于是.4分
（2）证明：即证（且）
由（1）式可知，，故
（且）（且）
即（且），原式得证.12分
19.（12分）【答案】
（1）根据题意，将，分别代入得，2分
所以，所以，，
当时，，
此款鲜牛奶在0℃的保鲜时间为254小时.6分
（2）根据题意，即要求，由（1）可知，所以，故，即，即，因为，所以，
所以想要保证此款鲜牛奶的保鲜时间不少于，存储温度要低于15℃12分
20.（12分）【答案】
（1）函数单调递减.，证明如下：
由得，，则，当时
4分
因为，所以，则，故
所以函数单调递减.6分
（2）不等式可等价变形为，
因为，所以，则不等式可变为8分
由（1）知，函数在定义域内单调递减，故，恒成立，
则，解得11分
因此实数的取值范围是.12分
21.（12分）【答案】
（1）
的单增区间为，，的单减区间为5分
（2）易知
①当时，，令得，解得；
当时，，令得，解得（舍）
综上所述：函数的不动点为.8分
②当时，，且，则
令得，，解得或（舍）
当时，，且，则
令得，解得10分
当时，，且，则
令得，解得或（舍）
综上所述：函数的稳定点有3个，分别是，和1.12分
22.（12分）【答案】
（1）因为为单调函数，所以当时，，则当时，有，即，
解得，则2分
当且仅当时，取等号，故的最小值为.5分
（2）由题意，
令，则，，，
若，则，
即，即7分
由和为方程，即方程的两根得
，解得，
且，9分
因为，所以，解得，
所以，月份
1月
2月
3月
小型汽车数量（辆）
30
60
80
创造的收益（元）
4800
6000
4800
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
C
D
A
A
D
B
D
BD
BCD
ABD
AB