八年级上学期期末数学试题 (89)

这是一份八年级上学期期末数学试题 (89)，共22页。
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念对每一项分析判断即可得到正确选项．
【详解】解：A，B，C选项中的方块字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的方块字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，寻找对称轴是解题的关键．
2. 使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
3. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接运用幂的乘方、积的乘方计算即可．
【详解】解：.
故答案为B．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方的运算，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键．
4. 新型冠状病毒的形状一般为球形，直径大约为．数用科学记数法表示为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定a的值以及n的值．
5. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. a(x－y)＝ax－ayB. (x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3
C. x2＋2x＋1＝(x－1)2D. x3－4x＝x(x＋2)(x－2)
【答案】D
【解析】
【分析】利用因式分解的定义：将多项式转化为整式乘积的形式，进行判定即可．
【详解】解：A．a(x－y)＝ax－ay，并非将多项式转化为整式乘积的形式，不符合题意；
B．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3，并非将多项式转化为整式乘积的形式，不符合题意；
C．x2＋2x＋1＝(x－1)2，非恒等变形，等式不成立，不符合题意；
D．x3－4x＝x(x＋2)(x－2)，符合因式分解的定义，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是因式分解的定义，利用因式分解的定义进行判定是解题的关键，需要注意的是等式变形需要符合恒等变形．
6. 如图，是上一点，交于点，，．与的数量关系是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】先利用可得，再结合已知，对顶角，利用可证≌，那么就有．
【详解】∵，
∴，
又∵，，
∴≌（），
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，充分利用平行线的性质得到角相等是解答本题的关键．
7. 如图所示，在中，是的垂直平分线，，的周长为13cm，则的周长为（ ）
A. 16cmB. 19cmC. 21cmD. 25cm
【答案】C
【解析】
【分析】由是的垂直平分线，可得，即可求得的周长，进而求得周长．
【详解】解：是的垂直平分线，
，，
的周长，
的周长，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
8. 某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有三种方案：（1）第一次提价，第二次提价；（2）第一次提价，第二次提价；（3）第一，二次提价均为，其中p、q是不相等的正数，三种方案中提价最多的是（ ）
A. 方案1B. 方案2
C. 方案3D. 三种方案一样多
【答案】C
【解析】
【分析】设产品的原价为元，先分别求出三种方案在提价后的价格，再利用整式的乘法与完全平方公式进行化简，比较大小即可得．
【详解】设产品原价为元，
当是不相等的正数时，
方案1：提价后的价格为，
方案2：提价后的价格为，
方案3：提价后的价格为，
∵
，
∴，
∴方案3提价最多，
故选C．
【点睛】本题考查了整式乘法和完全平方公式的应用，熟练掌握整式的运算法则和公式是解题关键．
9. 如图，在中，，，，点O为的中点，点M为内一动点且，点N为的中点，当最小时，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取的中点D，连接，证明可得，从而可判断当点D，M，C共线时最短，然后证明是等腰直角三角形即可．
【详解】如图1，取的中点D，连接．
∵，点O为的中点，
∴，
∵，
∴．
∵D是的中点，点N为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当点D，M，C共线时最短．
如图2，
∵，
∴，
∵
∴．
∵，
∴等腰直角三角形，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
10. 计算：的值（ ）
A. 2021B. 2022C. 2023D. 2024
【答案】C
【解析】
【分析】可设，，用含x或y数分别表示出相应的数，再进行求解即可．
【详解】解：设，，
∴，
∴
，
故选：C．
【点睛】本题考查数字的变化规律，根据所给的式子，找到式子的规律，再利用整体思想解题是关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置．
11. 正五边形每个内角的度数为 _____．
【答案】##108度
【解析】
【分析】方法一：先根据多边形内角和公式求出内角和，然后除以5即可；
方法二：先根据正多边形的每一个外角等于外角和除以边数，再根据每一个内角与相邻的外角是邻补角列式计算即可得解．
【详解】解：方法一：，
；
方法二：，
，
所以，正五边形每个内角的度数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形的内角与外角的关系，注意两种方法的使用，通常利用外角和与每一个外角的关系先求外角的度数更简单一些．
12. 已知，，则的值是___________．
【答案】25
【解析】
【分析】根据完全平方公式解答即可．
【详解】解：∵a2+b2＝17，ab＝4，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝17+2×4＝25，
故（a+b）2的值为25，
故答案为25．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．
13. 计算：的结果是__．
【答案】##
【解析】
【分析】根据异分母分式减法法则进行计算即可求解．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．
14. 若等腰三角形的一个内角为36°，则这个等腰三角形顶角的度数为_____________．
【答案】36°或108°
【解析】
【分析】等腰三角形的一个内角是36°，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意分情况讨论．
【详解】解：分两种情况：
当36°的角是底角时，则顶角度数为180°−36°×2＝108°；
当36°的角是顶角时，则顶角为36°．
故答案为：36°或108°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，也是解答问题的关键．
15. 已知关于x的多项式，下列四个结论：
①当时，，则；
②若，则多项式有一个因式是；
③若，则多项式的最小值是0；
④若，则．
其中正确的是___________（填写序号）．
【答案】①②④
【解析】
【分析】①将代入，即可判断；②当时，，即可判断；③，根据平方的非负性，即可判断；④当时，；时，，则，即可判断．
【详解】①将代入，得，所以①正确；
②若，则当时，，则多项式有一个因式是；所以②正确
③，
时，
时，
∴若，则多项式最值是0，
所以③错误；
④
∴当时，
当时，
∴
∴
所以④正确
故答案为：①②④
【点睛】本题考查多项式求值、平方的非负性，因式分解的应用，解题的关键是明确．
16. 如图，在中，，D、E为边上两点，F为边上的一点，连接，，，，．则_____．
【答案】22
【解析】
【分析】如图，在右侧作，交延长线于点K，过点D作，交于G，交于L，过L分别作、、的高，分别相交于H、I、J，由根据平行线和角的数量关系得到，，从而得到：，将转到，利用角的关系和角平分线的性质可再证明，然后利用线段的关系计算从而得出结果．
【详解】解：如图，在右侧作，交延长线于点K，过点D作，交于G，交于L，过L分别作、、的高，分别相交于H、I、J，
，，
∴是的平分线；
又，
在与中，
，，，
，
．
又∵角平分线、交于L，
，，，
，
在与中，，，
，
在与中，
，，，
，
，
故答案为：22．
【点睛】本题主要考查了与三角形有关的角的计算、角平分线的性质、三角形全等的判定和性质，重点是利用三角形全等，对线段进行转换，从而进行求解，难点是通过辅助线构造全等三角形．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据整式混合运算法则进行计算即可；
（2）根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题主要考查了整式混合运算，平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式．
18. 分解因式
（1）
（2）
【答案】（1）（4x2+1）（2x+1）（2x﹣1）；（2）（2a+b）2．
【解析】
【分析】（1）利用平方差公式进行二次因式分解即可；
（2）先利用完全平方公式展开，整理后再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）16x4﹣1
=（4x2）2﹣1
=（4x2+1）（4x2﹣1）
=（4x2+1）（2x+1）（2x﹣1）；
（2）（2a﹣b）2+8ab
=4a2﹣4ab+b2+8ab
=4a2+4ab+b2
=（2a+b）2．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，（2）类型的题目通常先利用多项式的乘法运算整理成多项式的一般形式再进行因式分解．
19. 解方程：．
【答案】x=-
【解析】
【详解】试题分析：首先对方程左右两边的分式的分母进行因式分解，方程左右两边同时乘以6x（x+1），将分式方程化为整式方程，解出x并验证是否为增根.
试题解析：=，
=，
6（2x+1）=5x，
12x+6=5x，
x=－.
经检验x=－为分式方程的解.
点睛：解分式方程时先将分式方程化为整式方程即可解出未知数，解出未知数后一定要验证是否为增根.
20. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算的顺序，化简分式，再代入x值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，先化简后代入计算，是解题的关键．
21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，先在边上画点，使．再画点，使；
（2）在图（2）中，先画点，使，两点关于直线对称，再在边上画点，使．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）取格点，，连接，交线段于点D，取格点，满足，连接,取的中点，连接，取与格线的交点，连接，延长交于；
（2）由勾股定理可得，找到格点，使得，，即可求解，由（1）点是垂直平分线与的交点，即可求解．
【小问1详解】
解：点即为所求的点；
【小问2详解】
如图，点即为所求的点；
【点睛】此题考查了复杂作图，涉及了垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．
22. 一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1．5倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地，设前一个小时的行驶速度为
（1）直接用的式子表示提速后走完剩余路程的时间为
（2）求汽车实际走完全程所花的时间．
（3）若汽车按原路返回，司机准备一半路程以的速度行驶，另一半路程以的速度行驶()，朋友提醒他一半时间以的速度行驶,另一半时间以的速度行驶更快，你觉得谁的方案更快？请说明理由．
【答案】（1）；（2）小时；（3）故朋友方案会先到达
【解析】
【分析】（1）根据题意即可用的式子表示提速后走完剩余路程的时间；
（2）根据题意可以列出相应的分式方程，求出x，即可求出汽车实际走完全程所花的时间；
（3）设出总路程和两种方案所用时间，作比后利用不等式的性质比较两种方案所用时间的大小．
【详解】（1）用的式子表示提速后走完剩余路程的时间为
故答案为；
（2）由题意可得，+1+=，
解得，x＝60
经检验x＝60时，1.5x≠0，
∴x＝60是原分式方程的解，
即原计划行驶的速度为60km/h．
∴汽车实际走完全程所花的时间为+1=小时；
（3）设总路程s，司机自己的方案时间为t1，朋友方案时间t2，
则t1=
∴t2= ，
∴
因为m≠n，
所以，（m＋n）2＞4mn，
所以＞1，
所以，＞1．
t1＞t2．
故朋友方案会先到达．
【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，注意要验根．
23. 如图（1），在和中，，，，点E在内部，直线与交于点F，线段之间存在怎样的数量关系？
（1）先将问题特殊化．如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示之间的数量关系；
（2）再探究一般情形．如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．
（3）如图（3），在和中，，，，点E在内部，直线与交于点F，直线与交于点G，点H为线段上一点，，与交于点I，若，，
则 （用含m，n的式子表示）．
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）．
【解析】
【分析】（1）如图2，由，得，易证，利用全等三角形的性质等量代换即可求解；
（2）成立，如图，将绕点C旋转交于点M，
得，求得，结合（1）易证，利用全等三角形的性质等量代换即可求解；
（3）如图，将绕点C旋转交的延长线于点N，连接，可知，得，，结合（1）易证，得，，结合，，易证，得，利用等量代换即可求解．
【小问1详解】
解：如图2，在和中，
∵，，，
∴和是等边三角形，
∴，
即，
∵，
∴ ，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
即，，
即；
【小问2详解】
解：结论：成立，
理由：如图，将绕点C旋转交于点M，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
又∵，是等边三角形，
∴，
∴，
即；
【小问3详解】
解：如图，将绕点C旋转交的延长线于点N，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴ ，
∴，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的证明和性质；解题的关键是作辅助线构造全等属于中考常考题型．
24. 在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，，且．
（1）如图（1），，点C在第三象限，请直接写出点C的坐标；
（2）如图（2），与x轴交于点D，与y轴交于点E，若点D为的中点，求证：；
（3）如图（3），，M在延长线上，过点作轴于N，探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）
（2）见解析 （3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）过C作轴于R，证明，由全等三角形的性质得出，，则可得出答案；
（2）作平分交于F点，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出；
（3）在上取一点H，使，连接并延长交AB的延长线于G，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论．
【小问1详解】
过C作轴于R，如图1所示：
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
作平分交于F点，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
【小问3详解】
．
在上取一点H，使，连接HM并延长交的延长线于G，如图3所示：
∵，
∴，
∵轴于G，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．