浙江省杭州市西湖区杭州外国语学校2022-2023学年八年级下册期中数学试题（含解析）

这是一份浙江省杭州市西湖区杭州外国语学校2022-2023学年八年级下册期中数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.）
1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列算式中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知是方程的一个根，则k的值为（ ）
A．B．3C．4D．
4．一组数据3，5，2，a，2，3的平均数是3，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．3，3B．3，2C．2，3D．3，2.5
5．如图，菱形ABCD中，边CD的中垂线交对角线BD于点E，交CD于点F，连结AE．若∠ABC＝50°，则∠AEB的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
6．如图，四边形中，，是边的中点，如果平分，那么下列结论中不一定成立的是（ ）
A．平分B．C．D．
7．某商品原价为100元，第一次涨价，第二次在第一次的基础上又涨价，设平均每次增长的百分数为x，那么x应满足的方程是（ ）
A． B．
C．D．
8．如图，矩形的对角线相交于点，过点作交于点，若，，则的长为（ ）

A．B．6C．D．5
9．如图，在菱形中，，，，分别是边，上的动点，连接和，，分别为，的中点，连接，则（ ）

A．B．C．D．1
10．如图，正方形边长为4，点在边上运动（不含端点），以为边作等腰直角三角形，，连接，下面四个说法中有正确的有
①当时，；②当时，点，，共线；③当与面积相等时，则；④当平分时，则．

A．①③④B．①②③C．①②④D．②③④
二、填空题：（本大题共6小题，每题3分，满分18分.）
11．二次根式中，字母x的取值范围是 ．
12．若一个正多边形的每一个外角等于与之相邻内角的，则这个多边形的边数为 ．
13．数据3，1，x，，的平均数0，则这组数的方差是 ．
14．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
15．如图，在菱形中，，、分别是边、的中点，于点．则的度数为 ．
16．如图，长方形中，，，点为射线上一动点（不与重合），将沿折叠得到，连接，若为直角三角形，则 ．
三、解答题：（本大题满分52分，要有必要解题过程.）
17．解下列各题：
(1)解方程：；
(2)计算：．
18．已知，．
（1）求的值；
（2）设是小数部分，是整数部分，求代数式的值．
19．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.
(1)求的取值范围;
(2)若该方程的两根分别为，且满足，求的值.
20．中，，为边上的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接，．

(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，，求四边形的周长．
21．为响应“双减”政策，老师们都精心设计每天的作业，兴华学校想调查本校学生每天完成作业所用时间，随机抽取了100名学生，将他们每天完成作业所用时间绘制成如下统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
(1)这100名学生每天完成作业所用时间的众数为 ，中位数为 ；
(2)求这100名学生每天完成作业所用时间的平均数；
(3)若该校共有学生2000人，请估计该校每天完成作业所用时间为1小时的学生人数．
22．如图1，在正方形中，点是边上一点，点在延长线上，且，连接，，．

(1)判断的形状，并证明；
(2)如图2，连接与交于点G．
①求证：；
②若，，求线段的长．
23．某数学兴趣小组对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结论：
如图1，若四边形的对角线与相交于点，且，则四边形的四条边长满足．

(1)简单应用：如图1，四边形中，，，，，则边 ；
(2)发现应用：如图2，若，分别是中，边上的中线．且垂足为，求证：；
(3)拓展应用：如图3，中，点、、分别是，，的中点．若，，．求线段的长．
参考答案与解析
1．B
【详解】解：由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”
根据定义，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形.
故选：B.
2．C
【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：A、，故错误；
B、，故错误；
C、，故正确；
D、，故错误；
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算法则，熟记法则是解题的关键．
3．D
【分析】把代入方程，进行求解即可．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程的解．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．
4．A
【分析】根据平均数的定义计算出a的值，后根据众数、中位数的定义计算即可．
【详解】解：∵这组数据的平均数为3，
∴3＋5＋2＋a＋2＋3＝3×6，
解得a＝3，
∴这组数据为2、2、3、3、3、5，
∴这组数据的众数为3，中位数为＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查了平均数，众数，中位数，活用平均数的计算公式变形计算补充数据，理解众数和中位数的定义计算是解题的关键．
5．C
【分析】连接CE．根据菱形的性质以及平行线的性质可得AB＝BC，∠ABD＝∠DBC，∠BDC＝∠ABD＝25，利用线段中垂线的性质得出EC＝ED，那么∠ECD＝∠EDC＝25，点F垂直平分DC∠BEC＝∠ECD＋∠EDC＝50．利用SAS证明△ABE≌△CBE，即可得出∠AEB＝∠CEB＝50．
【详解】如图，连接CE．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝25，AB∥CD，
∴∠BDC＝∠ABD＝25，
∵点E在线段CD的中垂线上，
∴EC＝ED，
∴∠ECD＝∠EDC＝25，
∴∠BEC＝∠ECD+∠EDC＝50°．
在△ABE与△CBE中，，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴∠AEB＝∠CEB =50．
故选：C．
【点睛】本题主要考查菱形的对角线互相垂直平分，中垂线的性质，关键要灵活运用菱形的性质，中垂线的性质．
6．C
【分析】延长交延长线于，求出，推出，，，即可推出A，B正确，根据梯形中位线与三角形的面积公式即可判断D；根据含30度角的直角三角形的性质判断C选项．
【详解】解：延长交延长线于，
，
，
，
，
，
为中点，
，
，
，
，，
，
，，
；平分；
，
故A，B选项正确，
取中点，连接，
，分别是，的中点，
是梯形是中位线，
，
，
，
，故D选项正确，
当时，，故C选项不一定成立．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判断，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定的应用，梯形的性质，关键是推出是等腰三角形．
7．C
【分析】设平均每次增长的百分数为x，根据“某商品原价为100元，第一次涨价，第二次在第一次的基础上又涨价”，得到商品现在的价格，根据“某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x”，得到商品现在关于x的价格，整理后即可得到答案．
【详解】解：设平均每次增长的百分数为x，
∵某商品原价为100元，第一次涨价，第二次在第一次的基础上又涨价，
∴商品现在的价格为：，
∵某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x，
∴商品现在的价格为：，
∴，
整理得：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
8．C
【分析】根据矩形的性质可得，由可得，设，则，利用勾股定理计算即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，

矩形，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质、线段垂直平分线的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．
9．B
【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，求出的最小值即可解决问题．
【详解】解：连接，如图所示：
四边形是菱形，
，
，分别为，的中点，
是的中位线，
，
当时，最小，得到最小值，
则，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即的最小值为，
故选：B．

【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
10．B
【分析】①由勾股定理求出，再求出即可判断；②过点作，交的延长线于点，利用说明，得，，从而说明，则，即可判断；③根据，与面积相等，可得的长；④在上截取，连接，通过导角可得，则，进而判断结论．
【详解】解：①当时，在中，由勾股定理得，
，
在中，由勾股定理得，，故①正确；
②当时，如图，过点作，交的延长线于点，

是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
当时，点，，共线，故②正确；
③如图，，
，，
，
与面积相等，
，
，
或（舍去），故③正确；
④如图，在上截取，连接，

，，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11．且.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0和分式有意义的条件：分母≠0，列不等式组即可.
【详解】解：由题意得：
解得：且
故答案为且.
【点睛】此题考查的是求x的取值范围，掌握二次根式有意义的条件：被开方数≥0和分式有意义的条件：分母≠0是解决此题的关键.
12．正十边形
【分析】外角等于与它不相邻的内角的四分之一可知该多边形内角为，外角，根据正多边形外角和，利用即可解决问题．
【详解】解：一个正多边形它的一个外角等于与它相邻的内角的，
它的每一个外角，
它的边数．
故答案为：正十边形．
【点睛】本题主要考查了正多边形的内角和外角，解答本题的关键是掌握多边形的外角和等于360度，难度适中．
13．4
【分析】先由平均数的公式计算出x的值，再根据方差的公式计算．
【详解】解：由题意得：x=0-（3+1-1-3）=0
∴数据的方差S2=[（3-0）2+（1-0）2+（0-0）2+（-1-0）2+（-3-0）2]=4
故答案为：4．
【点睛】本题考查方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
14．2027
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到，则原式可表示为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：是一元二次方程的根，
，
，
原式
，
，是一元二次方程的两个实数根，
，
原式
．
故答案为：2027．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
15．
【分析】连接，延长交的延长线于点，根据三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，可以得到四边形是平行四边形，且时的中点，所以是直角三角形，又菱形的对角线平分一组对角，所以，所以．
【详解】解：连接，延长交延长线于点，
、分别是边和的中点，
为中位线，
，，
在菱形中，，平分，
在四边形中，，，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
为的中线，
于点，
，
为直角三角形，
，
为等腰三角形，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理，作辅助线构造出平行四边形和直角三角形是解题的关键，有一定难度．
16．1或9
【分析】分为两种情况，一种是点在线段上，另一种是点在的延长线上，利用勾股定理分别求解即可．
【详解】解：①如图1，当点在线段上时，
，
，，三点共线，
，
，
，
；
②如图2，当点在的延长线上时，
，，，
，
设，则，
，
，
，
解得，
，
综上，的值为1或9．
故答案为：1或9．
【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是正确进行分类讨论．
17．(1)，
(2)
【分析】（1）利用因式分解法求出的值即可．
（2）利用平方差公式、以及分母有理化化简，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【详解】（1）解：整理得：，
，
或，
，；
（2）原式
．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的知识，根据方程的特点选择合适的方法解一元二次方程是解决此类问题的关键．一般解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法；也考查了二次根式的混合运算．
18．（1）；（2）20．
【分析】（1）将a、b分别进行化简，再将化简结果代入计算即可；
（2）根据无理数的估算求出m、n的值再代入求值．
【详解】解：（1），
．
∴，
（2），
，，
，，
∴4m2+4mn+n2=（2m+n）2=（2-4+4）2=20．
【点睛】本题考查无理数的估算，正确地求出m、n的值是正确解答的关键．
19．
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出△＝b2﹣4ac的值大于0，建立关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1，再将它们代入|x1+x2|＝2x1x2，即可求出k的值．
【详解】解：（1）△＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）
＝4k2﹣8k+4﹣4k2+4
＝﹣8k+8．
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴﹣8k+8＞0，
解得 k＜1，
即实数k的取值范围是 k＜1；

（2）由根与系数的关系，x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1，
∵|x1+x2|＝2x1x2，
∴|2（k﹣1）|＝k2﹣1，
化简得k2﹣2k+1＝0，或k2+2k﹣3＝0，
∴k＝1或k＝﹣3，
又∵k＜1，
∴k＝﹣3．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式和根与系数的关系的应用，用到的知识点：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根；（4）x1+x2＝ ；（5）x1•x2＝．
20．(1)证明见解析
(2)8
【分析】（1）证四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得，点是中点，然后证，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，设，则，再由勾股定理求出，则，然后求出，即可解决问题．
【详解】（1）解：证明：，，
四边形是平行四边形，
，为边上的中线，
，点是中点，
，，
，
又点是中点，
，
，
平行四边形是菱形；
（2）由（1）得：四边形是菱形，
，
设，
则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：（不合题意，舍去），，
，
，
四边形的周长．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
21．(1)1.5小时，1.5小时
(2)1.32小时
(3)600
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）利用平均数的定义求解即可；
（3）用总人数乘以样本中每天完成作业所用时间为1小时的学生人数所占比例即可．
【详解】解：（1）由条形统计图可知，抽查学生完成作业所用时间的众数是1.5小时；
中位数为1.5（小时）；
故答案为：1.5小时，1.5小时；
（2）（12×0.5+30×1+40×1.5+18×2）＝1.32（小时），
答：这100名学生每天完成作业所用时间的平均数是1.32小时．
（3）估计该校每天完成作业所用时间为1小时的学生人数为2000600．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、加权平均数、众数等，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．(1)为等腰直角三角形，证明见解析；
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）先根据证明，得到，，再根据同角加等角相等得，以此即可求解；
（2）①过点作，交于点，连接、，根据正方形的性质可得，，进而得到，，由得，于是可根据对边平行且相等的四边为平行四边形证明四边形为平行四边形，再由平行四边的性质即可证明；②由可得，由平行四边形的性质得，于是，，进而求得，再求出、，最后利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：为等腰直角三角形，证明如下：
四边形为正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
为等腰直角三角形；
（2）①证明：过点作，交于点，连接、，如图，

四边形为正方形，
，，
，，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
；
②在等腰中，，，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
在等腰中，，
，，
，
，
，
在中，．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理，正确作出辅助线，进一步证明为的中点是解题关键．
23．(1)
(2)见解析
(3)4
【分析】（1）由勾股定理可得出结论；
（2）连接，由，，同理，则可得出结论；
（3）连接交于，设与的交点为，由点、分别是，的中点，得到是的中位线于是证出，由四边形是平行四边形，得到，根据，分别是，的中点，得到，证出四边形是平行四边形，证得，推出，分别是的中线，由（2）的结论得即可得到结果．
【详解】（1）解：由题意知，
，，，
，
，
故答案为：；
（2）证明：连接，

于，
，
，，，，
，
，．，
，
；
（3）如图3，连接，交于，与交于点，设与的交点为，

点、分别是，的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，分别是，的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
，
，
，分别是的中线，
由（2）的结论得：，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，注意类比思想在本题中的应用．