【学考复习】2024年高中数学学业水平（新教材专用） 03第三章 函数的概念与性质-讲义

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc6399" \l "_Tc147996536" 知识梳理 PAGEREF _Tc147996536 \h 错误！未定义书签。
\l "_Tc16471" 考点精讲精练 PAGEREF _Tc16471 \h 4
\l "_Tc3652" 考点一：函数的概念 PAGEREF _Tc3652 \h 4
\l "_Tc31178" 考点二：函数的表示 PAGEREF _Tc31178 \h 5
\l "_Tc5059" 考点三：函数的单调性与最大（小）值 PAGEREF _Tc5059 \h 7
\l "_Tc23271" 考点四：函数的奇偶性 PAGEREF _Tc23271 \h 8
\l "_Tc1598" 考点五：幂函数 PAGEREF _Tc1598 \h 10
\l "_Tc547" 考点六：函数的应用（一） PAGEREF _Tc547 \h 10
\l "_Tc3751" 函数的概念与性质实战训练 PAGEREF _Tc3751 \h 12
1、函数的概念
设、是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合到集合的一个函数，记作，.
其中：叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域
与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
2、同一（相等）函数
函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
3、函数的表示
函数的三种表示法
4、函数的单调性
（1）单调性的定义
一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，；
①当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数
②当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数
（2）单调性简图：

（3）单调区间（注意先求定义域）
若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．
5、函数的最值
（1）设函数的定义域为，如果存在实数满足
①对于任意的，都有；
②存在，使得
则为最大值
（2）设函数的定义域为，如果存在实数满足
①对于任意的，都有；
②存在，使得
则为最小值
6、函数的奇偶性
7、函数对称性
（1）轴对称：若函数关于直线对称，则
①；
②；
③
（2）点对称：若函数关于直线对称，则
①
②
③
（2）点对称：若函数关于直线对称，则
①
②
③
8、幂函数定义
一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数．
9、五种常见幂函数
10、常见几类函数模型
考点一：函数的概念
真题讲解
例题1．（2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试）函数的定义域为（ ）
A．且B．C．D．且
例题2．（2023·北京·高三统考学业考试）已知函数．若的图象经过原点，则的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2023秋·广东·高三统考学业考试）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
例题4．（2023·河北·高三学业考试）已知，则的最大值是（ ）
A．8B．2C．1D．0
真题演练
1．（2023春·天津河北·高二学业考试）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河北·高二统考学业考试）函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023秋·广东·高三统考学业考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·河北·高三学业考试）函数的定义域为，则实数的值为 ．
5．（2023·山西太原·高二太原师范学院附属中学校考学业考试）函数，的值域是 .
考点二：函数的表示
真题讲解
例题1．（2023·广东·高二统考学业考试）已知 则的值等于（ ）
A．-2B．4C．2D．-4
例题2．（2023春·宁夏银川·高二统考学业考试）某同学离家去学校，为了锻炼身体，开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，图中d轴表示该学生离学校的距离，t轴表示所用的时间，则符合学生走法的只可能是（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2023·河北·高三学业考试）设函数f(x)满足f ＝1＋x，则f(x)的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
例题4．（2023·广东·高三统考学业考试）设函数，若，则实数a的值为（ ）
A．±2或±4B．±2或－4C．2或4D．2或－4
真题演练
1．（2023·山西运城·高三校考学业考试）已知函数，若，则（ ）
A．0B．2C．D．2或3
2．（2023秋·广东·高三统考学业考试）已知函数，则（ ）
A．2B．C．D．
3．（2023春·河北·高三统考学业考试）已知函数，则的值为（ ）.
A．－2B．6C．1D．0
4．（2023·河北·高三学业考试）已知，则 ．
5．（2023·上海·高三统考学业考试）已知函数，则实数a=
考点三：函数的单调性与最大（小）值
真题讲解
例题1．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）下列函数中，对任意且，同时满足性质：（1）；（2）的函数是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）已知函数，则函数的图像是（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2023·上海·高三统考学业考试）已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题4．（2023·河北·高三学业考试）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题5．（2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试）若二次函数的图象的对称轴为，最小值为，且．
(1)求的解析式；
(2)若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围．
真题演练
1．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）已知函数，则在上的最大值为（ ）
A．9B．8C．3D．
2．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）已知函数满足对任意，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·广东佛山·高三统考学业考试）函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·河北·高三学业考试）若函数满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是 .
5．（2023·河北·高三学业考试）已知函数f(x)＝.
（1）证明：函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数；
（2）求函数f(x)在区间[1,17]上的最大值和最小值．
考点四：函数的奇偶性
真题讲解
例题1．（2023·山西运城·高三校考学业考试）已知偶函数，当时，，则（ ）
A．3B．C．D．5
例题2．（2023·河北·高三学业考试）若函数是奇函数，则实数（ ）
A．B．C．1D．
例题3．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）是定义在上单调递增的奇函数，则 ；若，则x的取值范围为 .
例题4．（2023·山西·高二统考学业考试）已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的m，，，都有．
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围．
真题演练
1．（2023·广东·高三学业考试）函数是定义在上的偶函数，当时，，则 .
2．（2023·广东·高三学业考试）函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ＝ ；
3．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数为偶函数，则的值是
4．（2023·湖南衡阳·高二统考学业考试）已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用单调性定义证明；
(3)解不等式.
考点五：幂函数
真题讲解
例题1．（2023·广东·高三学业考试）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．B．
C．2D．3
例题2．（2023·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考学业考试）当时，幂函数为减函数，则 ．
例题3．（2023·全国·高一学业考试）已知幂函数的图象经过点，则 ，若，则实数的取值范围是 ．
真题演练
1．（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则该函数的解析式是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．9
3．（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则 ．
考点六：函数的应用（一）
真题讲解
例题1．（2022·湖南娄底·高二统考学业考试）一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为（ ）（默认y>x）
A．y＝10－x(0