【学考复习】2024年高中数学学业水平（新教材专用） 04第四章 指数函数与对数函数-讲义

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc18570" \l "_Tc147996536" 知识梳理 PAGEREF _Tc147996536 \h 错误！未定义书签。
\l "_Tc6915" 考点精讲精练 PAGEREF _Tc6915 \h 5
\l "_Tc25961" 考点一：指数 PAGEREF _Tc25961 \h 5
\l "_Tc5558" 考点二：指数函数的概念 PAGEREF _Tc5558 \h 5
\l "_Tc6019" 考点三：指数函数的图象和性质 PAGEREF _Tc6019 \h 6
\l "_Tc22126" 考点四：对数 PAGEREF _Tc22126 \h 8
\l "_Tc5988" 考点五：对数函数的概念 PAGEREF _Tc5988 \h 9
\l "_Tc15181" 考点六：对数函数的图象和性质 PAGEREF _Tc15181 \h 10
\l "_Tc15203" 考点七：不同函数增长差异 PAGEREF _Tc15203 \h 12
\l "_Tc22303" 考点八：函数的零点与方程的解 PAGEREF _Tc22303 \h 13
\l "_Tc20901" 考点九：用二分法求方程的近似解 PAGEREF _Tc20901 \h 14
\l "_Tc21460" 考点十：函数模型的应用 PAGEREF _Tc21460 \h 15
\l "_Tc20936" 指数函数与对数函数实战训练 PAGEREF _Tc20936 \h 19
1、根式的概念及性质
（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数．
（2）性质：
①(且)；
②当为奇数时，；当为偶数时，
2、分数指数幂
①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)；
②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)；
③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
3、指数幂的运算性质
①；
②；
③.
4、指数函数及其性质
（1）指数函数的概念
函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是．
（2）指数函数的图象和性质
5、对数的概念
（1）对数：一般地，如果，那么数 叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数.
（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数.
（3）对数式与指数式的互化：.
6、对数的性质、运算性质与换底公式
（1）对数的性质
根据对数的概念，知对数具有以下性质：
①负数和零没有对数，即；
②1的对数等于0，即；
③底数的对数等于1，即；
④对数恒等式.
（2）对数的运算性质
如果，那么：
①；
②；
③.
（3）对数的换底公式
对数的换底公式：.
换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以为底的自然对数.
换底公式的变形及推广：
①；
②；
7、对数函数及其性质
（1）对数函数的定义
形如(，且)的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．
（2）对数函数的图象与性质
8、函数的零点
对于一般函数，我们把使成立的实数叫做函数的零点．注
意函数的零点不是点，是一个数.
9、函数的零点与方程的根之间的联系
函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标
即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
10、零点存在性定理
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.
注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.
11、常见函数模型
（1）指数函数模型（且，）
（2）对数函数模型（且，）
12、指数、对数、幂函数模型性质比较
考点一：指数
真题讲解
例题1．（2023春·福建·高二统考学业考试）已知，，则的值为（ ）
A．4B．8C．16D．32
例题2．（2023秋·广东·高三统考学业考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023·山西·高二统考学业考试） ．
真题演练
1．（2023秋·广东·高三统考学业考试）下列运算错误的是（ ）
A．a3+a3=2a6B．a6÷a-3=a9
C．a3·a3=a6D．（-2a2）3=-8a6
2．（2023春·浙江绍兴·高二绍兴一中校考学业考试）计算的结果为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高一学业考试）计算： .
考点二：指数函数的概念
真题讲解
例题1．（2023春·河北·高三统考学业考试）若函数是指数函数，则等于（ ）
A．或B．
C．D．
例题2．（2023·河北·高三学业考试）已知函数 的定义域和值域都是 ，则 .
例题3（2023·全国·高一专题练习）函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是指数函数的是 ．
真题演练
1．（2023·全国·高一专题练习）下列函数：①；②；③；④．其中为指数函数的个数是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高一专题练习）若函数是指数函数，则等于（ ）
A．或B．C．D．
3．（2023春·湖南·高二统考学业考试）已知函数（，且）的图象过点，则 .
考点三：指数函数的图象和性质
真题讲解
例题1．（2023春·浙江金华·高二学业考试）函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（ ）

A．B．
C．D．
例题2．（2023秋·福建·高二统考学业考试）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2023春·海南·高一统考学业考试）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
例题4．（2023·广东·高二统考学业考试）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题5．（2023春·福建·高二统考学业考试）函数，.
(1)求函数的定义域；
(2)若为奇函数，求m的值；
(3)当时，不等在恒成立，求k的取值范围.
真题演练
1．（2023·湖南衡阳·高二统考学业考试）函数在区间上的最大值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2023春·浙江·高二学业考试）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有一物体放在的空气中冷却，物体的温度为， 再过后物体的温度为，则该物体的初始温度约为（ ）（结果精确到个位）
A．B．C．D．
3．（2023·河北·高三学业考试）如图是指数函数①y=；②y=；③y=cx；④y=dx的图象，则，b，c，d与1的大小关系是（ ）
A．a