陕西省渭南市澄城县2022-2023学年“梦启航”联盟九年级上册期末数学试题（含解析）

这是一份陕西省渭南市澄城县2022-2023学年“梦启航”联盟九年级上册期末数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12题，共48分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．若是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．B．C．D．且
3．若m是一元二次方程的根，则代数式的值为（ ）
A．1B．-1C．2D．-22
4．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．要得到抛物线，可以将抛物线：（ ）
A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度D．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
6．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为．下列结论中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
9．如图， 是 的直径，，，，则阴影部分的面积为 （ ）
A．B．C．D．
10．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（ ）
A．0.620B．0.618C．0.610D．1000
11．如图，AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,点F是CD上一点,且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E． 连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S△DEF=4 其中正确的是（ ）
A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④
12．二次函数的部分图像如图所示，图像过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点，点、点在该函数图像上，则；（5）若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（共5题，共20分）
13．设、是方程的两个实数根，则的值为 ．
14．如图，在△BDE中，∠BDE＝90°，BD＝4，点D的坐标是(6,0)，∠BDO＝15°，将△BDE旋转到△ABC的位置，点C在BD上，则旋转中心的坐标为 ．
15．在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中白球大约有 个．
16．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC=6，BD=5，则BC的长为 ．

17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是 ．
三、解答题（共4题，共52分）
18．为进一步提高全民“节约用水”意识，某学校组织学生进行家庭月用水量情况调查活动，小莹随机抽查了所住小区n户家庭的月用水量，绘制了下面不完整的统计图．
（1）求n并补全条形统计图；
（2）求这n户家庭的月平均用水量；并估计小莹所住小区420户家庭中月用水量低于月平均用水量的家庭户数；
（3）从月用水量为5m3和和9m3的家庭中任选两户进行用水情况问卷调查，求选出的两户中月用水量为5m3和9m3恰好各有一户家庭的概率．
19．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE=ED；
（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．
20．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
21．如图1,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,抛物线的顶点为轴于点．将抛物线平移后得到顶点为且对称轴为直的抛物线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2,在直线上是否存在点,使是等腰三角形?若存在,请求出所有点的坐标:若不存在,请说明理由；
(3)点为抛物线上一动点,过点作轴的平行线交抛物线于点，点关于直线的对称点为，若以为顶点的三角形与全等,求直线的解析式．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的识别，掌握“中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合”是解题的关键．
【详解】解：A、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、此图形是轴对称图形，是中心对称图形，故D符合题意；
故答案为：D．
2．A
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．
【详解】解答：
由题意得：a−1≠0，
解得a≠1.
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，特别要注意a−1≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．
3．B
【分析】由m是一元二次方程的根可得关于m的方程，结合所求、变形方程即得答案.
【详解】解：∵m是一元二次方程的根，
∴，
∴.
故选：B.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念和整体代入的求值方法，属于常考题型，熟练掌握一元二次方程的解的定义和整体的数学思想是解题的关键.
4．B
【分析】设该组共有x名同学，依题意，每位同学送出本书，进而列出方程，即可求解．
【详解】设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
5．D
【分析】根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，进行判断即可；
【详解】解：将抛物线先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，即可得到抛物线；
故选D．
【点睛】本题考查抛物线的平移．熟练掌握抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，是解题的关键．
6．C
【分析】本题可先由一次函数图象与二次函数的图象分别求出对应的a，b的范围，再相比较看是否一致即可．
【详解】解：观察一次函数的图象得：，由次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意；
B、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意；
C、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，有可能，故本选项符合题意；
D、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
7．D
【分析】由抛物线开口方向得到a>0，由对称轴得到b=a>0，由抛物线与y轴的交点得到c<0，则abc<0；a+b>0；当x=1时，y<0，则a+b+c<0，把a=b代入得2b+c<0；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点的横坐标小于-2，则x=-2时，y<0，所以4a-2b+c<0，即4ab+c<2b．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴，∵对称轴是直线，代入对称轴公式得：，所以，抛物线与轴交点在负半轴上，故，∴abc＜0；a+b＞0；
由此可知A项和B项错误；
观察图形，当时，对应点的纵坐标为负，代入函数得，，即，知C项错误；
观察图形，横轴上的数字1所在位置介于对称轴和抛物线与轴的交点之间，根据对称性，横轴上的数字应介于对称轴和抛物线与轴另一交点之间，即当时，函数值为负，代入函数式得，，故D项正确．
故选：D
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数的图象为抛物线，当a>0，抛物线开口向上，对称轴为直线x=-，抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)；当-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点;当-4ac=0,抛物线与x轴有一个交点;当-
4ac<0，抛物线与x轴没有交点．
8．C
【分析】由同弧所对的圆周角相等可知∠B=∠ADC=35°；而由圆周角的推论不难得知∠ACB=90°，则由∠CAB=90°-∠B即可求得.
【详解】解：∵∠ADC=35°，∠ADC与∠B所对的弧相同，
∴∠B=∠ADC=35°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠B=55°，
故选C．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角等知识，解题关键是熟记圆周角定理．
9．A
【分析】连接，相交于E，由垂径定理易证，由易证是等边三角形，在中解三角形可得，最后根据并用扇形面积公式进行计算即可．
【详解】解：如图，连接，相交于E，
是 的直径，，
，
又，
，
，
是等边三角形，
在中，
，，
，
，
，
，
解得，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，含角的直角三角形，扇形面积的计算；解直角三角形求半径是解题的关键．
10．B
【分析】结合给出的图形以及在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，解答即可．
【详解】由图象可知随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．
故选B．
【点睛】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
11．A
【分析】①利用垂径定理可知，然后得到∠ADF＝∠AED，结合公共角可证明△ADF∽△AED；②结合CF＝2，且，可求得DF＝6，且CG＝DG，可求得FG＝2；③在Rt△AGF中可求得AG，在Rt△AGD中可求得tan∠ADG＝，由∠E＝∠ADG，可得tan∠E；④可先求得△ADF与△AED的相似比，再求S△ADF，进而求出S△ADE，然后由S△DEF＝S△AED－S△ADF得出结果.
【详解】解：①∵AB为直径，AB⊥CD，
∴，
∴∠ADF＝∠AED，且∠FAD＝∠DAE，
∴△ADF∽△AED，故①正确；
②∵AB为直径，AB⊥CD，
∴CG＝DG，
∵，且CF＝2，
∴FD＝6，
∴CD＝8，
∴CG＝4，
∴FG＝CG−CF＝4−2＝2，故②正确；
③在Rt△AGF中，AF＝3，FG＝2，
∴AG＝，
∴tan∠ADG＝，
∵∠E＝∠ADG，
∴tan∠E＝，故③错误；
④在Rt△ADG中，AG＝，DG＝4，
∴AD＝，
∴，
∴，
∵，
∴S△AED＝，
∴S△DEF＝S△AED－S△ADF＝－＝，故④错误；
故选A．
【点睛】本题主要考查垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质及三角函数的定义，由垂径定理得到G是CD的中点是解题的关键，判断③时注意利用等角的三角函数值也相等，在判断④时求出相似比是解题的关键．本题所考查知识点较多，综合性较强，解题时注意知识的灵活运用．
12．B
【分析】①正确，根据对称轴公式计算即可．②错误，利用x=-3时，y<0，即可判断，③正确．由图像可知抛物线经过(-1， 0)和(5， 0)列出方程组求出a、b即可判断．④错误，利用函数图像即可判断．⑤正确，利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．
【详解】①正确：∵ ，
所以4a+b=0．故①正确．
②错误：∵x=-3时， y<0，
∴9a- 3b+c<0，
∴9a+c<3b，故②错误．
③正确，由图像可知抛物线经过(- 1，0)和(5，0) ，
∴ a-b+c= 0
25a + 5b+c= 0
解得b= -4a，c= -5a，
∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，
∵a<0，
∴8a+ 7b+2c>0 ，故③正确．
④错误，∵点A(-3，y1)、点B(-，y2)、点C(，y3)
∵3.5-2= 1.5，2-(-0.5)=2.5 ，
∴1.5< 2.5
点C离对称轴的距离近，
∴y3>y2，
∵a<0 ， -3< -0.5<2，
∴y1∴y1⑤正确．
∵a<0 ，
∴(x+1)(x-5)=- >0 ，
即(x+1)(x-5)>0 ，
故x<-1或x>5 ，故⑤正确．
∴正确的有三个，
故选B．
【点睛】本题考查抛物线和x轴交点的问题以及二次函数与系数关系，灵活掌握二次函数的性质是解决问题的关键，学会利用图像信息解决问题，属于中考常考题型．
13．．
【详解】试题分析：∵方程、是方程的两个实数根，∴，，∴===．故答案为．
考点：根与系数的关系．
14．
【分析】根据旋转的性质，AB与BD的垂直平分线的交点即为旋转中心P，连接PD，过P作PF⊥x轴于F，再根据点C在BD上确定出∠PDB＝45°并求出PD的长，然后求出∠PDO＝60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠DPF＝30°，然后解直角三角形求出点P的坐标．
【详解】如图，AB与BD的垂直平分线的交点即为旋转中心P，连接PD，过P作PF⊥x轴于F，
∵点C在BD上，
∴点P到AB、BD的距离相等，都是BD，即，
∴∠PDB＝45°，，
∵∠BDO＝15°，
∴∠PDO＝45°+15°＝60°，
∴∠DPF＝30°，
∴DF＝PD＝，，
∵点D的坐标是(6,0)，
∴OF＝OD﹣DF＝，
∴旋转中心的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形变化－旋转，解直角三角形，熟练掌握旋转的性质确定出旋转中心的位置是解题的关键．
15．
【分析】由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．
【详解】解：设白球个数为个
∵摸到红球的频率稳定在0.25附近
∴口袋中得到红色球的概率为0.25
∴
解得：
经检验，符合题意
即白球的个数为15个
故答案为：15
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题关键是大量反复试验下频率稳定值即概率．
16．8
【分析】连接AD，根据CD是∠ACB的平分线可知∠ACD=∠BCD=45°，故可得出AD=BD，再由AB是⊙O的直径可知△ABD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出BC的长．
【详解】连接AD，
∵∠ACB=90°，
∴AB是⊙O的直径．
∵∠ACB的角平分线交⊙O于D，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴AD=BD=5．
∵AB是⊙O的直径，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB==10．
∵AC=6，
∴BC==8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
17．﹣2
【详解】分析：根据正方形的性质结合题意，可得出点B的坐标为（-，-），再利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出关于b的方程，解之即可得出结论．
详解：∵四边形ABOC是正方形，
∴点B的坐标为（-，-）．
∵抛物线y=ax2过点B，
∴-=a（-）2，
解得：b1=0（舍去），b2=-2．
故答案为-2．
点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐特征以及正方形的性质，利用正方形的性质结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于b的方程是解题的关键．
18．（1）n=20，补全图形见解析；（2）这20户家庭的月平均用水量为6.95m3，估计小莹所住小区420户家庭中月用水量低于6.95m3的家庭户数为231户；（3）选出的两户中月用水量为5m3和9m3恰好各有一户家庭的概率为．
【详解】分析：（1）根据月用水量为9m3和10m3的户数及其所占百分比可得总户数，再求出5m3和8m3的户数即可补全图形；
（2）根据加权平均数的定义计算可得月平均用水量，再用总户数乘以样本中低于月平均用水量的家庭户数所占比例可得；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到满足条件的结果数，根据概率公式计算可得．
详解：（1）n=（3+2）÷25%=20，
月用水量为8m3的户数为20×55%-7=4户，
月用水量为5m3的户数为20-（2+7+4+3+2）=2户，
补全图形如下：
（2）这20户家庭的月平均用水量为=6.95（m3），
因为月用水量低于6.95m3的有11户，
所以估计小莹所住小区420户家庭中月用水量低于6.95m3的家庭户数为420×=231户；
（3）月用水量为5m3的两户家庭记为a、b，月用水量为9m3的3户家庭记为c、d、e，
列表如下：
由表可知，共有20种等可能结果，其中满足条件的共有12种情况，
所以选出的两户中月用水量为5m3和9m3恰好各有一户家庭的概率为．
点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图和用样本估计总体．
19．（1）证明见解析；（2）
【详解】分析：（1）根据平行线的性质得出∠AEO=90°，再利用垂径定理证明即可；
（2）根据弧长公式解答即可．
详证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，
即OC⊥AD，
∴AE=ED；
（2）∵OC⊥AD，
∴ ，
∴∠ABC=∠CBD=36°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，
∴ =．
点睛：此题考查弧长公式，关键是根据弧长公式和垂径定理解答．
20．(1) ；
(2) 该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元；
(3)该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
【分析】（1）根据销售额=销售量×销售价单x，列出函数关系式．
（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值．
（3）把y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求x的值．
【详解】解：（1）由题意得：，
∴w与x的函数关系式为：．
（2），
∵﹣2＜0，
∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200．
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．
（3）当w=150时，可得方程﹣2（x﹣30）2+200=150，
解得x1=25，x2=35．
∵35＞28，
∴x2=35不符合题意，应舍去．
答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
【点睛】本题考查二次函数的应用.根据题意列出函数是解题的关键.
21．（1）抛物线的解析式为；（2）点的坐标为,,；（3）的解析式为或.
【详解】分析：（1）把和代入求出a、c的值，进而求出y1，再根据平移得出y2即可；
（2）抛物线的对称轴为,设,已知，过点作轴于,分三种情况时行讨论等腰三角形的底和腰，得到关于t的方程，解方程即可；
（3）设,则,根据对称性得,分点在直线的左侧或右侧时,结合以构成的三角形与全等求解即可.
详解:(1)由题意知，
，
解得，
所以,抛物线y的解析式为；
因为抛物线平移后得到抛物线,且顶点为，
所以抛物线的解析式为，
即： ；
(2)抛物线的对称轴为,设,已知，
过点作轴于,
则 ，
，
，
当时，
即，
解得或；
当时,得，无解；
当时,得,解得;
综上可知,在抛物线的对称轴上存在点使是等腰三角形,此时点的坐标为,,.
(3)设,则,
因为关于对称,
所以,
情况一:当点在直线的左侧时,
,
,
又因为以构成的三角形与全等,
当且时,,
可求得,即点与点重合
所以,
设的解析式,
则有
解得,
即的解析式为,
当且时,无解,
情况二:当点在直线右侧时,
,
,
同理可得
的解析式为,
综上所述, 的解析式为或.
点睛：本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的性质等知识，解答（1）问的关键是求出a、c的值，解答（2）、（3）问的关键是正确地作出图形，进行分类讨论解答，此题有一定的难度．
a
b
c
d
e
a
（b，a）
（c，a）
（d，a）
（e，a）
b
（a，b）
（c，b）
（d，b）
（e，b）
c
（a，c）
（b，c）
（d，c）
（e，c）
d
（a，d）
（b，d）
（c，d）
（e，d）
e
（a，e）
（b，e）
（c，e）
（d，e）