内蒙古自治区赤峰市松山区2023-2024学年八年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份内蒙古自治区赤峰市松山区2023-2024学年八年级上册期中数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题（每小题3分，计36分）
1．1971年，被考古界誉为红山文化象征的“中华第一龙”——红山碧玉龙在赤峰市翁牛特旗赛沁塔拉嘎查出土，赤峰也因此被誉为“中华玉龙之乡”．红山碧玉龙的发现，不仅让中国人找到了龙的源头，也充分印证了中国龙文化的源远流长．除此之外，还有许多关于龙的图案，下列标志图案中属于轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，是三角形的三边长，化简：的值为（ ）
A．B．C．D．
3．下列四组三角形中一定是全等三角形的是（ ）
A．两条边对应相等的两个锐角三角形B．面积相等的两个钝角三角形
C．周长相等的两个等边三角形D．斜边相等的两个直角三角形
4．一个多边形的内角和是外角和的2倍．这个多边形的边数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．三角形是一种基本的几何图形，从古埃及的金字塔到现代的建筑物，从巨大的钢架桥到微小的分子结构，到处都有三角形的形象．在工程建筑、机械制造中经常采用三角形的结构，这样做应用的数学原理是（ ）
A．四边形的不稳定性B．三角形的稳定性
C．三角形内角和等于D．全等三角形的性质
6．如图，已知，在不添加辅助线的情况下，若再添一个条件就可以证明，下列条件中符合要求的有（ ）个
① ② ③ ④
A．1B．2C．3D．4
7．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是( )
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
8．如图，在中，，是边的高，于点E，于点F，下列结论：①；②：③：④．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
9．分别剪一些边长相同的①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，如果用其中一种正多边形镶嵌，可以镶嵌成一个平面图案的有（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④都可以
10．如图的三角形纸片中，，，，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在边上的点E处，折痕为．则的周长是（ ）
A．B．C．D．
11．如图，点D和点E分别是边和上一点，，，连接交于点F，若的面积为9，则与的面积之差为（ ）
A．1B．1.5C．1.75D．2
12．如图，四边形，，若点D在的垂直平分线上，则为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．已知等腰三角形的两边分别为4cm和7cm，则这个三角形的周长为 ．
14．已知：平面直角坐标系内的两点与关于x轴对称，则
15．已知四边形是长方形，点、分别为线段，上的两点，将四边形沿折叠得到四边形，若，则等于

16．如图，等腰三角形的面积为12，其中，底边，腰的垂直平分线分别交边、于E、F两点，点M为线段上一动点，点D为的中点，连接、．在点M的运动过程中，的周长的最小值为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共52分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．如图的直线是篮球场地的边线，两个篮球队员在教练指导下在场地内练习传球，A、B是两名队员所在位置．
(1)当教练员站在边线的哪个位置时，到两名队员的距离相等？用尺规作图（不写作法）在图（1）中标示出来；
(2)当教练员站在边线的哪个位置时，到两名队员的距离和最小？用尺规作图（不写作法）在图（2）中标示出来；
18．在三角形中，，点D是中点，E是边上的一点，且若，求的度数．

19．八年级教材上册21页：
(1)要用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于，只要将四边形分成几个三角形即可．
如图1，连接对角线，则四边形被分成，两个三角形．由此可得：
，
这个问题运用的数学思想是：
(2)继续推导五边形和六边形的内角和各是多少？从五边形、六边形其中一个顶点出发可以把多边形分成若干个三角形，从而得到各自的内角和，这里运用的数学思想是
(3)如图2，从五边形一个顶点出发，可以作2条对角线；它们将五边形分成3个三角形，五边形内角和等于；从六边形一个顶点出发，可以作3条对角线：它们将六边形分成4个三角形，六边形内角和等于；那么从n边形一个顶点出发，可以作（ ）条对角线：它们将n边形分成（ ）个三角形，n边形内角和等于（ ）；这里运用的数学思想是
20．如图，两车从路段的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C，D两地，C，D两地到路段的距离相等吗？为什么？
21．如图，把三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，则与和之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个结论，并证明．

22．如图，已知和均是等边三角形，点、、在同一条直线上，与交于点，与交于点，与交于点，连接、．
求证：①；②；③；
23．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点作x轴的垂线l，点A与点B关于直线l对称；
(1)点B的坐标为________；
(2)点C的坐标为，顺次连接，若在四边形内部有一个点P，满足，且，求点P的坐标；
(3)在四边形外部是否存在点Q，满足，且，若存在，直接写出Q点坐标，若不存在请说明理由．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题主要考查了轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的定义．
【详解】解：根据轴对称图形的定义：“将图形沿着某条直线对折，若直线两侧的图形能够完全重合，那么这个图形称为轴对称图形，这条直线叫对称轴”．
可知C选项符合题意．
故选：C．
2．D
【分析】本题考查三角形三边关系和绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得到，，再根据绝对值的性质进行化简计算．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得到，，
．
故选：D．
3．C
【分析】由全等三角形的概念可判断A，B，D，由三边对应相等的两个三角形全等可判断C，从而可得答案．
【详解】解：两条边对应相等的两个锐角三角形不一定全等，故A不符合题意；
面积相等的两个钝角三角形不一定全等，故B不符合题意；
周长相等的两个等边三角形满足三边对应相等，所以一定全等，故C符合题意；
斜边相等的两个直角三角形不一定全等，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，熟练的利用全等三角形的判定方法判断两个三角形全等是解本题的关键．
4．B
【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360=720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）×180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值．
【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
（n﹣2）×180°=2×360，
解得：n=6．
即这个多边形为六边形．
故选B．
5．B
【分析】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．根据三角形的稳定性可进行求解．
【详解】解：由题意得：其中运用的数学原理是三角形的稳定性；
故选B．
6．B
【分析】根据全等三角形的判定定理依次分析判断．
【详解】解：由题意知AB=CD，AC=CA，
①，可依据SSS证明；
②∵，∴∠DAC=∠ACB，不能证明；
③，不能证明；
④∵，∴∠BAC=∠ACD，利用SAS证明；
故选：B．
【点睛】此题考查了添加一个条件证明三角形全等，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
7．A
【分析】过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得CE=CF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB
【详解】如图所示：过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴CE=CF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选A．
【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．
8．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，先根据等腰三角形的“三线合一”证明以及角平分线的性质，证明①是正确的；再通过证明，则②③是正确的，再结合三角形内角和，即可作答④．
【详解】解：∵，是边的高，
∴，是的平分线，
∵于点E，于点F，
∴，故①是正确的；
∵是的平分线，
∴
∵于点E，于点F，
∴
∵
∴
则，故②是正确的；
∵
∴
∵是边的高，
∴
即，故③是正确的；
∵是边的高，
∴
∵，
即，故④是正确的；
故选：D
9．C
【分析】根据密铺的条件可知，正三角形能密铺；正方形4个能密铺；正五边形不能密铺；正六边形能密铺．
【详解】解：①、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；
②、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；
③、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；
④、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺．
正确的为①②④．
故选C．
【点睛】本题考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．
10．D
【分析】本题考查折叠性质，根据折叠性质得到，可求解．
【详解】解：∵沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在边上的点E处，，
∴，，
∵，，
∴，
∴的周长是
，
故选：D．
11．B
【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解答本题的关键．三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分．由，，的面积为9得，，进而可求出与的面积之差．
【详解】解：∵，，的面积为9，
∴，，
∴，
∴．
故选B．
12．D
【分析】本题考查了四边形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质的应用，连接，根据线段的垂直平分线性质得出，推出，，求出，即可求出答案．
【详解】解：连接，
∵点D在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
13．15cm或18cm
【分析】根据等腰三角形的定义及三角形的三边关系得出这个等腰三角形的第三边长，再根据三角形的周长公式即可得．
【详解】∵等腰三角形的两边分别为4cm和7cm，
∴有以下两种情况：
①当边长为4cm的边为腰时，三角形的三边长分别为：4cm、4cm、7cm，
∵4+4＞7，
∴符合三角形的三边关系，
∴这个三角形的周长为4+4+7=15（cm），
②当边长为4cm的边为底边时，三角形的三边长分别为：4cm、7cm、7cm，
∵4+7＞7，
∴符合三角形的三边关系，
∴这个三角形的周长为4+7+7=18（cm），
故答案为：15cm或18cm
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义及三角形的三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；熟练掌握三角形三边关系并灵活运用分类讨论的思想是解题关键．
14．
【分析】本题考查坐标轴上点的坐标的规律及幂的乘方，熟练掌握关于x轴对称的两个点的坐标横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键．根据点和关于x轴对称，可得，，求得a、b的值，再代入求解即可．
【详解】解：∵点和关于x轴对称，
∴，，
解得，
∴，
故答案为：．
15．##度
【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
由折叠的性质可知，，由，可得，根据，即，计算求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可知，，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，，
故答案为：．
16．7
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解题关键．连接，，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，得出 ，推出，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接，，
∵是等腰三角形，点D是边的中点，
∴，，
∴，
解得，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴的长为的最小值，
∴的周长最短为：，
故答案为：7．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作垂线，轴对称的性质，两点之间线段最短．熟练掌握作垂线，轴对称的性质是解题的关键．
（1）由到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，连接，作线段的垂直平分线，与边线的交点即为所求，如图1，点即为所求；
（2）以为圆心，适当长为半径画弧交边线于，以为圆心，长为半径画弧，交点为，垂直平分，则为关于边线的对称点，连接交边线于，此时，三点共线，和最小，点即为所求；
【详解】（1）解：如图1，点即为所求；
（2）解：由轴对称的性质作图，如图2，点即为所求；
18．的度数为
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，本题先证明，再求解，再结合等边对等角可得答案.
【详解】解：，是中点，
，
∵，
，
，
，
的度数为.
19．(1)转化思想
(2)类比思想
(3)；；：从特殊到一般
【分析】本题主要考查应用三角形的内角和定理求解多边形内角和，数学思想的运用，理解题意、掌握数学思想的运用是解题的关键．
（1）根据题干中的证明方法求解即可；
（2）类比求四边形内角和的方法即可求出五边形和六边形的内角和，可得到运用的是类比思想；
（3）根据题意可得到运用的方法是从特殊到一般．
【详解】（1）根据题意可得，
∵题干中把求四边形内角和转化成三角形内角和，
∴这个问题运用的数学思想是：转化思想；
（2）∵五边形可以分割成3个三角形
∴五边形的内角和为；
∵六边形可以分割成4个三角形
∴六边形的内角和为；
∵求五边形和六边形的方法和求四边形的方法一样，
∴从五边形、六边形其中一个顶点出发可以把多边形分成若干个三角形，从而得到各自的内角和，这里运用的数学思想是类比思想；
（3）从五边形一个顶点出发，可以作2条对角线；它们将五边形分成3个三角形，五边形内角和等于；
从六边形一个顶点出发，可以作3条对角线：它们将六边形分成4个三角形，六边形内角和等于；
那么从n边形一个顶点出发，可以作条对角线：它们将n边形分成个三角形，n边形内角和等于；这里运用的数学思想是从特殊到一般．
20．相等，理由见解析．
【分析】要判断C，D两地到路段AB的距离是否相等，可以由条件证明△AEC≌△BFD，再根据全等三角形的性质就可以的得出结论．
【详解】解：C，D两地到路段AB的距离相等．
证明：由题意知AC=BD，
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠BFD=∠AEC=90°．
∵AC∥BD，
∴∠A=∠B．
在△AEC和△BFD中．
，
∴△AEC≌△BFD，
∴CE=DF．
∴C，D两地到路段AB的距离相等．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，点到直线的距离的理解，在解答时弄清判断三角形全等的条件是关键．
21．结论：，证明见解析
【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及外角的性质，翻折变换，解题的关键是得出折叠前后不变的角．根据折叠的性质可得，再由三角形内角和定理以及外角的性质，即可求解．
【详解】解：结论：，理由如下：
如图，

∵是沿折叠得到，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
∴；
22．①见解析；②见解析；③见解析
【分析】首先根据等边三角形的性质，得到＝，＝，＝＝，然后由判定，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；又由全等三角形的对应角相等，得到＝，根据，证得，即可得到②正确，同理证得＝，得到是等边三角形，得，易得③正确．
【详解】证明：①和均是等边三角形，
，，，
，，
∴,
∴，
②

，
，，
③连接

同理：，
，
是等边三角形，
【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，平行线的判定，邻补角，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
23．(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根据对称性可知到的距离相等，且纵坐标相等，据此即可求解；
（2）根据对称性可知点与点关于对称，则点在上，设点，根据三角形的面积公式求解即可求解；
（3）方法同（2）即可求解．
【详解】（1）点A的坐标为，过点作x轴的垂线l，
到的距离为,
则
故答案为：
（2）如图，,，
点与点关于对称，
在四边形内部有一个点P，满足，
则点在上，设点，
，
即
解得或
在四边形内部
（3）存在，由（2）可知时，在四边形外部
故
【点睛】本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，点到坐标轴的距离，数形结合是解题的关键．