江苏省徐州市铜山区2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份江苏省徐州市铜山区2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的，把所选答案填涂在答题卡相应位置上）
1．某校九年级8个班级向“希望工程”捐献图书，捐书情况如下：
则这组数据的众数是（ ）
A．90B．100C．120D．500
2．一元二次方程的解是（ ）
A．B．C．0，4D．无实数根
3．已知点A在半径为r的⊙O内，点A与点O的距离为6，则r的取值范围是 （ ）
A．r ＜ 6B．r ＞ 6C．r ≥ 6D．r ≤ 6
4．为选拔一名选手参加全国中学生游泳锦标赛自由泳比赛，我市四名中学生参加了男子100米自由泳训练，他们成绩的平均数及其方差如下表所示：
如果选拔一名学生去参赛，应派（ ）去
A．甲B．乙C．丙D．丁
5．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为（ ）

A．35°B．45°C．55°D．75°
6．关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．顶点坐标B．对称轴是直线
C．时随的增大而减小D．开口向上
7．如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（ ）
A．12B．16C．20D．24
8．对于一个函数，自变量取时，函数值等于0，则称为这个函数的零点．若关于的二次函数有两个不相等的零点，关于的方程有两个不相等的非零实数根，则下列关系式一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；请将正确答案填在答题卡相应的位置上）
9．小丽某周每天的睡眠时间如下（单位：）：8，9，7，9，7，8，8．则小丽该周每天的平均睡眠时间是 ．
10．若一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
11．一只袋子里有3个白球和7个红球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是 ．
12．某射击小组有20人，某次射击的成绩如下：
这组数据的中位数是 ．
13．二次函数顶点坐标为 ．
14．某商店6月份的利润是元，要使8月份的利润达到元，设平均每月利润增长的百分率为，则可列方程为 ．
15．已知一个扇形的半径为60cm，圆心角为150°，用它围成一个圆锥的侧面，那么圆锥的底面半径为 cm．
16．点在以轴为对称轴的二次函数的图象上，则的最大值等于 ．
17．如图点在上，且是延长线上一点，且是中点，若，则．
18．如图，已知直线与轴交于两点，的半径为1，为上一动点，切于点．线段长度的最小值是 ．
三、解答题（本大题共8题，共76分；解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．解下列方程：
(1)；
(2)．
20．在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．
（1）本次调查的样本容量是________，这组数据的众数为________元；
（2）求这组数据的平均数；
（3）该校共有学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．
21．某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．
（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为 ；
（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率．
22．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），C（0，3）.
（1）求二次函数的解析式；
（2）在图中，画出二次函数的图象；
（3）根据图象，直接写出当y≤0时，x的取值范围．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)将绕原点顺时针旋转后得到，在所给图形中画出；
(2)请写出、、三点的坐标：
， ， ；
(3)求点旋转到点的弧长为 ．
24．如图，在中，，点在斜边上，以为直径的与相切于点．
(1)求证：平分；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点．、，与y轴交于点C．
（1）________，________；
（2）若点D在该二次函数的图像上，且，求点D的坐标；
（3）若点P是该二次函数图像上位于x轴上方的一点，且，直接写出点P的坐标．
26．已知在平面直角坐标系中，直线分别交轴和轴于点.
(1)如图1，已知经过点，且与直线相切于点，求的直径长；
(2)如图2，已知直线分别交轴和轴于点和点，点是直线上的一个动点，以为圆心，为半径画圆.
①当点与点重合时，求证: 直线与相切；
②设与直线相交于两点， 连结. 问:是否存在这样的点，使得是等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案与解析
1．A
【分析】此题考查的是求一组数据的众数．根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据解答即可．
【详解】解：在数据中，90出现3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是90，
故选：A．
2．B
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.用提公因式法分解因式求解即可.
【详解】∵，
∴或，
∴，.
故选B.
3．B
【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法求解.
【详解】点在半径为的内，
小于，
而，
.
故选.
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.
4．B
【分析】此题主要考查了方差和平均数，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加即可．
【详解】解：∵，
∴从乙和丙中选择一人参加比赛，
∵，
∴选择乙参赛，
故选：B．
5．A
【分析】首先连接AD，由直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB=90°，由直角三角形的性质，求得∠A的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BCD的度数．
【详解】解：连接AD，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=55°，
∴∠A=90°-∠ABD=35°，
∴∠BCD=∠A=35°．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．注意掌握辅助线的作法，注意直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用．
6．C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，
∴时，y随x的增大而减小．
观察四个选项，只有选项C符合题意，
故选：C．
7．D
【分析】本题考查正多边形和圆的计算．根据中心角的度数边数，列式计算分别求出的度数，则，则边数中心角，据此求解即可．
【详解】解：连接，
∵是内接正六边形的一边，
∴
∵是内接正八边形的一边，
∴
∴
∴
故选：D．
8．A
【分析】根据根与系数的关系可以求出，的值，用作差法比较的大小关系，的大小关系，根据可求出m的取值范围，结合的大小关系，的大小关系从而得出选项．
【详解】解：∵是的两个不相等的零点
即是的两个不相等的实数根
∴
∵
解得
∵方程有两个不相等的非零实数根
∴
∵
解得
∴＞0
∴
∵，
∴
∴
∴
而由题意知
解得
当时，，；
当时，，；
当m=-2时，无意义；
当时，，
∴取值范围不确定，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，判别式与根的关系及一元二次方程与二次函数的关系．解题的关键是熟记根与系数的关系，对于方程（a≠0）的两根为，则．
9．8
【分析】本题考查求平均数．利用平均数的定义列式求解即可．
【详解】解：小丽每周的睡眠时间为
故答案为：8．
10．2
【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
由方程有两个相等的实数根可得出，解之即可得出结论．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
故答案为：2．
11．##0.7
【分析】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．根据概率公式计算即可．
【详解】解：摸到红球的概率是．
故答案为：．
12．
【分析】此题考查了中位数．根据中位数的定义先把数据从小到大的顺序排列，找出最中间的数即可得出答案．
【详解】解：因图中是按从小到大的顺序排列的，最中间的环数是7环、8环，则中位数是（环）．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了二次函数的性质．把二次函数一般式化为顶点式，即可得到顶点坐标．
【详解】解：把二次函数化为顶点式为：；
∴顶点坐标为：．
故答案为：．
14．2500（1+x）2=3600
【分析】如果设平均每月利润增长的百分率是x，那么7月份的利润是2500（1+x）元，8月份的利润是2500（1+x）2元，而此时利润是3600元，列出方程即可．
【详解】解：设平均每月利润增长的百分率是x，依题意，得
2500（1+x）2=3600．
故填：2500（1+x）2=3600．
【点睛】本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程-平均增长率问题．解决这类问题所用的等量关系一般是：增长前的量×（1+平均增长率）增长的次数=增长后的量．
15．25
【详解】试题分析：扇形的弧长是：cm，
设底面半径是rcm，则2πr=50π，解得：r=25．
16．
【分析】本题考查二次函数的最值．把代入解析式得，用含m的式子表示出，找到最大值即可．
【详解】解：把代入，则，
∴，
∵
∴当时，有最大值，最大值为，
故答案为：．
17．12
【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，同圆中等弧所对的弦相等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
先判断出是的中位线，得到，再判断出，即可得出结论；
【详解】
解：如图，连接，
∵F是的中点，
，
，
是的中位线，
,
,
,
,
,
,
故答案为：12．
18．
【分析】本题考查切线的性质，勾股定理，垂线段最短，一次函数的性质等，连接，，，由切线的定义可知，由勾股定理得，当，取最小值时，取最小值，利用三角形面积法求出的最小值，即可求解．
【详解】解：直线与轴交于两点，
当时，，解得，
当时，
，，
，，
，
如图，连接，，，
与相切，
，
，
当，取最小值时，取最小值，
当时，，
，
，
即线段长度的最小值是．
故答案为：．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算．
（1）用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）用配方法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
因式分解为：，
或，
解得：；
（2）解：，
移项得：，
配方得：，
，
开平方得：，
解得：．
20．（1），；（2）平均数为12元；（3）学生的捐款总数为7200元.
【分析】（1）由题意得出本次调查的样本容量是，由众数的定义即可得出结果；
（2）由加权平均数公式即可得出结果；
（3）由总人数乘以平均数即可得出答案．
【详解】（1）本次调查的样本容量是，这组数据的众数为元；
故答案为，；
（2）这组数据的平均数为（元）；
（3）估计该校学生的捐款总数为（元）．
【点睛】此题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．本题也考查了平均数、中位数、众数的定义以及利用样本估计总体的思想．
21．（1）；（2）
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案；
（2）分别记小贤、小艺、小志、小晴为，画好树状图，利用概率公式计算即可．
【详解】解：（1）由概率公式得：随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为，
故答案为：
（2）分别记小贤、小艺、小志、小晴为，
画树状图如下：
一共有种等可能的结果，其中两名同学均来自八年级的有种可能，
所以：两名同学均来自八年级的概率
【点睛】本题考查的是简单随机事件的概率，以及利用画树状图求解复杂的随机事件的概率，掌握求概率的基本方法是解题的关键．
22．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）该函数图象如图所示；见解析（3）x的取值范围x≤﹣1或x≥3．
【分析】（1）用待定系数法将A（﹣1，0），C（0，3）坐标代入y＝﹣x2+bx+c，求出b和c即可.
（2）利用五点绘图法分别求出两交点，顶点，以及与y轴的交点和其关于对称轴的对称点，从而绘图即可.
（3）根据A,B,C三点画出函数图像，观察函数图像即可求出x的取值范围.
【详解】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），C（0，3），
∴，得，
即该函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴该函数的顶点坐标是（1，4），开口向上，过点（﹣1，0），（3，0），（0，3），（2，3），
该函数图象如右图所示；
（3）由图象可得，
当y≤0时，x的取值范围x≤﹣1或x≥3．
【点睛】本题考查二次函数综合问题，结合待定系数法求二次函数解析式以及二次函数性质和二次函数图像的性质进行分析.
23．(1)图见解析
(2)；；
(3)
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点，，的对应点分别为点，，即可；
（2）根据图直接得出各点的坐标即可；
（3）以点为圆心，圆心角为，为半径画弧得到点在旋转的过程中所经过的路线，然后根据弧长公式计算它的长度．
【详解】（1）解：如图，为所作；
（2）由图知：，，．
故答案为：；；．
（3）由题意知，点旋转到点的所在的圆的半径为，所对的圆心角为，
∴的长为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查作图—旋转变换，弧长的计算．根据旋转的性质可知，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．理解和掌握旋转的性质及弧长的计算公式是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得，证明得，进而可证平分；
（2）连接，由为直径得，然后由勾股定理求得的长，利用锐角三角函数的知识求出，然后由求得答案．
【详解】（1）证明：连接，则，
．
是的切线，
，
，即，
，
平分；
（2）解：连接，
为直径，
，
，
．
在中，∵，
，
∴，
，
，
．
【点睛】此题考查了切线的性质，勾股定理，角平分线的定义，等腰三角形的性质，解直角三角形以及扇形的面积，正确作出辅助线是解答本题的关键．
25．（1）-2，-3；（2）（，6）或（，6）；（3）（4，5）
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出△ABC的面积，设点D（m，），再根据，得到方程求出m值，即可求出点D的坐标；
（3）分点P在点A左侧和点P在点A右侧，结合平行线之间的距离，分别求解．
【详解】解：（1）∵点A和点B在二次函数图像上，
则，解得：，
故答案为：-2，-3；
（2）连接BC，由题意可得：
A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），，
∴S△ABC==6，
∵S△ABD=2S△ABC，设点D（m，），
∴，即，
解得：x=或，代入，
可得：y值都为6，
∴D（，6）或（，6）；
（3）设P（n，），
∵点P在抛物线位于x轴上方的部分，
∴n＜-1或n＞3，
当点P在点A左侧时，即n＜-1，
可知点C到AP的距离小于点B到AP的距离，
∴，不成立；
当点P在点B右侧时，即n＞3，
∵△APC和△APB都以AP为底，若要面积相等，
则点B和点C到AP的距离相等，即BC∥AP，
设直线BC的解析式为y=kx+p，
则，解得：，
则设直线AP的解析式为y=x+q，将点A（-1，0）代入，
则-1+q=0，解得：q=1，
则直线AP的解析式为y=x+1，将P（n，）代入，
即，
解得：n=4或n=-1（舍），
，
∴点P的坐标为（4，5）．
【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行线之间的距离，一次函数，解题的难点在于将同底的三角形面积转化为点到直线的距离．
26．(1) 的直径长为；(2) ①见解析；②存在这样的点和，使得是等腰直角三角形.
【分析】（1）连接BC，证明△ABC为等腰直角三角形，则⊙P的直径长=BC=AB，即可求解；
（2）过点作于点，证明CE=ACsin45°=4×=2 =圆的半径，即可求解；
（3）假设存在这样的点，使得是等腰直角三角形，分点在线段上时和点在线段的延长线上两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）如图3，连接BC，
∵∠BOC=90°，
∴点P在BC上，
∵⊙P与直线l1相切于点B，
∴∠ABC=90°，而OA=OB，
∴△ABC为等腰直角三角形，
则⊙P的直径长=BC=AB=3
(2)如图4过点作于点，
图4
将代入，得，
∴点的坐标为.
∴，
∵，
∴.
∵点与点重合，
又的半径为，
∴直线与相切.
②假设存在这样的点，使得是等腰直角三角形，
∵直线经过点，
∴的函数解析式为.
记直线与的交点为，
情况一：
如图5，当点在线段上时，
由题意，得.
如图，延长交轴于点，
图5
∵，
∴，
即轴，
∴点与有相同的横坐标，
设，则，
∴.
∵的半径为，
∴，
解得，
∴，
∴的坐标为.
情况二：
当点在线段的延长线上时，同理可得，的坐标为.
∴存在这样的点和，使得是等腰直角三角形.
【点睛】本题为圆的综合运用题，涉及到一次函数、圆的切线性质等知识点，其中（2），关键要确定圆的位置，分类求解，避免遗漏．
班级
一班
二班
三班
四班
五班
六班
七班
八班
册数
50
96
100
90
90
120
500
90
甲
乙
丙
丁
1.1
1.1
1.3
1.6