广西壮族自治区玉林市玉州区2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份广西壮族自治区玉林市玉州区2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟满分：120分）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．下列四个交通标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（ ）
A．B．0C．2D．4
3．下列现象属于旋转的是（ ）
A．电梯的上下移动B．飞机起飞后冲向空中的过程
C．幸运大转盘转动的过程D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车
4．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下B．对称轴为直线
C．该函数有最大值，最大值是0D．当时，随的增大而减小
6．用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．将拋物线的图象先向右平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到的拋物线解析式是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知二次函数与一次函数的图象相交于点（如图所示），则能使成立的的取值范围是（ ）
A．B．或
C．或D．
9．如图，在平面直角坐标系中，绕某点逆时针旋转得到，则旋转中心是点（ ）
A．B．C．D．无法确定
10．抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
则下列说法错误的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线x＝1
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．当x＝4时，y＝－21.5
D．方程的负数解满足
11．如图，在中，，将绕点逆时针旋转后得到，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
12．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点称为极点：从点出发引一条射线称为极轴；线段的长度称为极径．点的极坐标就可以用线段的长度以及从转动到的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，如或或，则点关于点成中心对称的点的极坐标表示不正确的是（ ）
A．B．C．D．
第П卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．请将答案填在答题卡上．）
13．一元二次方程的二次项系数是 ．
14．若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是 ．
15．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交点的坐标为 ．
16．如图，游乐场的大型摩天轮顺时针旋转1周需要（匀速）．启动时，旋转的度数为 ．
17．边长为的正方体，表面积为，则y与x之间的函数关系式为 ．
18．如图，是等边三角形内一点，将绕点顺时针旋转得到，若，则四边形的面积为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：．
20．解方程：．
21．如图，是直角三角形，，将绕点C顺时针旋转．

(1)试作出旋转后的，其中B与D是对应点；
(2)在作出的图形中，已知，求的长．
22．【阅读理解】
【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”．
【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”．
请用以上方法解决下面问题：
(1)写出方程的“对称方程”是______；
(2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值．
23．如图，拋物线与轴交于点（点在点的右侧），与轴交于点．
(1)求点、点的坐标；
(2)求直线的解析式；
(3)如图，点是直线上方的拋物线上的一动点（不与重合），过点作轴交直线于点．求线段的最大值．
24．为促进乡村振兴发展，着力打造乡村旅游重点村，广西某旅游村在今年的国庆节假期间，接待游客达2万人次，预计后年的国庆节假期接待游客有望达到2.88万人次，该旅游村内一家特色粉店希望在国庆节假期间卖粉获得好的收益，经测算可知，该粉的成本价为每份10元，若每份卖15元，平均每天将销售128份，若价格每提高1元，则平均每天少销售8份，每天店内所需其他各种费用为232元．
(1)求预计该景区明、后两年国庆节假期间游客人次的年平均增长率；
(2)为了更好地维护景区形象，物价局规定每份粉售价不得超过20元，当每份粉提高多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润总收入总成本其它各种费用）
25．【综合与实践】
【实践任务】研究小组利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况，在两种不同的场景下做对比实验，并收集该试剂挥发过程中剩余质量随时间变化的数据．
【实验数据】该试剂挥发过程中剩余质量（克）随时间（分钟）变化的数据（），并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示：
场景A 场景B
(1)任务一：求出函数表达式
经过描点构造函数模型来模拟两种场景下y随x变化的函数关系，发现场景A的图象是抛物线的一部分，场景的图像是直线的一部分，分别求出场景A、B相应的函数表达式；
(2)任务二：探究该化学试剂的挥发情况
查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克，在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？
26．【探究与证明】
活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题进行探究．
【问题情境】
如图①，在矩形中，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线于点．
【猜想证明】从特殊到一般
(1)当时，四边形的形状为 ；（直接写出答案）
(2)如图②，当时，连接，求此时的面积；
(3)如图③，连接，请找出其中的全等三角形并证明；
(4)是否存在，使点三点共线？若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键；因此此题可根据“一个图形绕某个点旋转180度之后能够与原图完全重合的”进行求解即可．
【详解】A、不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、是中心对称图形，故符合题意；
D、不是中心对称图形，故不符合题意；
故选C．
2．D
【分析】本题考查了的一元二次方程的解“使一元二次方程两边相等的未知数的值，是一元二次方程的解”， 把代入方程，即可求出m的值．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：．
故选：D．
3．C
【分析】本题主要考查旋转，熟练掌握旋转的定义是解题的关键；因此此题可根据旋转的定义“把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度”进行求解即可．
【详解】解：A、B、D选项都不符合旋转的定义，而C选项符合旋转的定义，故C选项属于旋转现象；
故选C．
4．A
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．据此求解即可．
【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为．
故选A．
5．B
【分析】本题考查的是抛物线的图象和性质，主要考查函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：对于，
∵，故抛物线开口向上，故A错误；
对称轴为直线，故B正确；
该函数有最小值，最小值是0，故C错误；
当时，y随x的增大而增大，故D错误．
故选：B．
6．A
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，利用完全平方公式进行配方即可．
【详解】解：，
配方得，
即，
故选A．
7．B
【分析】主要考查了二次函数图象的平移，根据函数图象平移的法则：左加右减，上加下减，即可得出答案．
【详解】解：∵抛物线先向右平移1个单位，再向上平移4个单位，
∴平移后抛物线的解析式为：．
故选：B．
8．D
【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象下方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：由图可知，时，．
故选D．
9．A
【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转：理解旋转中心为对应点的垂直平分线的交点是解决问题的关键．作和的垂直平分线，它们的交点为O点，从而可判断旋转中心为点O．
【详解】解：如图，绕O点逆时针旋转得到．
故选：A．
10．A
【分析】利用抛物线的对称性，由抛物线经过点（﹣1，﹣1.5）和（2，﹣1.5）得到抛物线的对称轴为直线x＝，则可对A选项进行判断；利用由表中数据可对B选项进行判断；利用抛物线的对称性得到当x＝4和x＝﹣3对应的函数值相等，则可对C选项进行判断；利用抛物线对称性得到当x＝1和x＝0对应的函数值相等，即当x＝0时，y＝2.5，则可判断抛物线与x的一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，则可对D选项进行判断．
【详解】解：A、∵抛物线经过点（﹣1，﹣1.5）和（2，﹣1.5），
∴抛物线的对称轴为直线x＝，所以选项的说法错误，符合题意；
B、由表中数据得x＞1时，y随x的增大而减小，所以选项的说法正确，不符合题意；
C、∵抛物线的对称轴为直线x＝，
∴当x＝4和x＝﹣3对应的函数值相等，
即当x＝4时，y＝﹣21.5，所以选项的说法正确，不符合题意；
D、∵抛物线的对称轴为直线x＝，
∴当x＝1和x＝0对应的函数值相等，
即当x＝0时，y＝2.5，
∴抛物线与x的一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，
∴方程ax2+bx+c＝0的负数解x1满足﹣1＜x1＜0，所以选项的说法正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
11．B
【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转．解题时需要注意旋转的方向、角度以及旋转中心的位置．把绕点O逆时针旋转90°后得到时，根据点的位置得出坐标．
【详解】解：如图，
∵中，，，，绕点O逆时针旋转后得到时，点在第二象限，
∴，，
∴．
故选：B．
12．B
【分析】本题考查了中心对称的性质，根据中心对称的性质解答即可，解题的关键是熟练掌握中心对称的性质．
【详解】解：或或，
点关于点成中心对称的点的极坐标表示为：或或，
故选：B．
13．3
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据定义解答即可．
【详解】解：一元二次方程的二次项系数是3．
故答案为：3．
14．
【分析】根据一元二次方程的定义得到，即可得到m的取值范围．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
15．
【分析】令，求得y值即可求解．
【详解】解：令，则，
∴抛物线与y轴交点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象与坐标轴的交点问题，会求解二次函数的图象与坐标轴的交点坐标是解答的关键．
16．##度
【分析】本题考查了生活中的旋转现象，先计算出分钟旋转的度数，即可求出旋转的度数，掌握旋转的定义是解题的关键．
【详解】解：∵旋转周需要 ，
∴分钟旋转的度数为，
∴旋转的度数为，
故答案为：．
17．
【分析】正方体有6个面，每一个面都是边长为x的正方形，这6个正方形的面积和就是该正方体的表面积．
【详解】解：由题意得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数关系式，理解两个变量之间的关系是得出关系式的关键．
18．
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质以及勾股定理的逆定理，连接，先证是等边三角形，再证，最后利用即可求解．
【详解】解：如图，连接．
∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
19．0
【分析】题目主要考查含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
【详解】解：
．
20．
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．利用公式法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
，
．
21．(1)见解析
(2)7
【分析】（1）根据题意作出旋转图形即可；
（2）由勾股定理得出，再由旋转的性质结合图形求解即可．
【详解】（1）解：如图所示；

（2）解：∵，
∴，
∵由旋转而成，
∴，
∵，
∴B、C、E共线，
∴．
【点睛】题目主要考查旋转图形的作法，勾股定理解三角形，熟练掌握运用这些基础知识点是解题关键．
22．(1)
(2)1
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式、求代数式的值、“对称方程”的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式以及理解“对称方程”的定义．
（1）根据“对称方程”的定义解答即可；
（2）根据“对称方程”的定义可得，求出的值，代入计算即可．
【详解】（1）解：，，
方程的“对称方程”是，
故答案为：；
（2）解：由，移项可得：，
方程与为对称方程，
，
解得：，
．
23．(1)点的坐标为，点的坐标为
(2)
(3)最大值为4
【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式．
（1）令，求得的值，即可求解；
（2）先求得点的坐标，再利用待定系数法即可求解；
（3）设点的坐标为，则点的坐标为，用表示出的长，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
解得：，
∴点的坐标为，点的坐标为；
（2）解：当时，，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
把代入得：，
解得，
∴直线的解析式为；
（3）解：设点的坐标为，则点的坐标为，
，
，
∴当时，最大值为4．
24．(1)预计该景区明、后两年国庆节假期间游客人次的年平均增长率为
(2)每份粉提高3元时，店家能实现每天净利润600元
【分析】本题考查的是一元二次方程的实际应用，理解销售中的数量关系，列出方程是解题的关键．
（1）今年“国庆”假期间接待游客达2万人次，预计后年的“国庆”假期接待游客2.88万人次，根据增长率的计算方法，即可求解；
（2）成本价为每碗10元，若每碗卖15元，平均每天将销售128碗，若价格每提高1元，则平均每天少销售8碗，每天店内所需其他各种费用为232元，根据题意设当每碗面提高a元时，店家才能实现每天净利润600元，由此列出方程即可求解．
【详解】（1）设年平均增长率为，
依题可得，
解得：（舍去），
答：预计该景区明、后两年国庆节假期间游客人次的年平均增长率为．
（2）设当每份粉提高元时，店家才能实现每天净利润600元，
依题可得：，
即，解得：，
当时，售价为，符合题意；
当时，售价为，不符题意，舍去．
答：每份粉提高3元时，店家能实现每天净利润600元．
25．(1)场景A：，场景B：
(2)场景A
【分析】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，正确求得函数解析式是解答关键．
（1）利用待定系数法求两个函数解析式即可；
（2）求得时的x值即可求解．
【详解】（1）解：对于场景A：将、代入中，
得，解得，
∴场景A 对应的函数解析式为；
场景B：将、代入中，
得，解得，
∴场景B对应的函数解析式为；
（2）解：场景A：当时，由得，（舍去），
场景B：当时，由得，
∵，
∴该化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长．
26．(1)正方形
(2)
(3)，理由见解析
(4)存在使点三点共线，此时或8
【分析】（1）可推出，，从而得四边形是正方形；
（2）作于，可推出，从而，根据勾股定理得出，从求得，进一步得出结果；
（3）利用证明即可；
（4）设，则，根据旋转的性质得：，分为：当点E在上时，根据勾股定理可得：，当点在的延长线上时，设，则，可得：，进而可得出答案．
【详解】（1）解：如图①，
∵四边形是矩形，
∴，
∵将边绕点A逆时针旋转 得到线段，过点E作，
∴，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴矩形是正方形，
故答案为：正方形；
（2）如答题图①，作于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3），
证明如下：
由已知可得，
在和中，
，
；
（4）存在使点三点共线，理由如下：
，
，
设，则，
根据旋转的性质得：，
，
，
，
当点在线段上时，如答题图②
答题图②
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
当点在的延长线上时，如答题图③，
答题图③
同理，
设，则，
，
解得：，
综上所述，存在使点三点共线，此时或8．
【点睛】本题考查了矩形、正方形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是分类讨论．
x
…
－3
－2
－1
1
2
3
…
y
…
－21.5
－9.5
－1.5
2.5
－1.5
－9.5
…