山东省淄博市淄川区2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份山东省淄博市淄川区2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．反比例函数y＝（m为常数），在每个象限内，y随x的增大而减小，则m取值范围是（ ）
A．m＞0B．m＞2C．m＜0D．m＜2
2．若csα＝，则锐角α的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
3．已知抛物线，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴的交点坐标为
C．抛物线的顶点坐标为D．当时，y随x的增大而减小
4．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．B．C．D．
5．如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
6．数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（ ）（精确到1m．参考数据：，，，）
A．28mB．34mC．37mD．46m
7．已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝n时，函数值分别是N1和N2，若存在实数n，使得N1+N2＝1，则称函数y1和y2是“和谐函数”．则下列函数y1和y2不是“和谐函数”的是（ ）
A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1B．y1＝和y2＝x+1
C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1D．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1
8．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（ ）

A．B．C．D．
9．如图，在中，为坐标原点，直角顶点在轴的正半轴上，反比例函数在第一象限的图象经过的中点，交于点，连接．若，则直线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2cm，BC＝FG＝8cm．把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，sinα等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 （结果保留）．
12．已知二次函数图象的顶点在坐标原点，且图象经过点．将它向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则平移后对应的二次函数的表达式为 ．
13．如图，已知点A是反比例函数的图象上一点，轴交另一个反比例函数的图象于点B，C为x轴上一点，若，则k的值为 ．

14．在正方形网格中，A，B，C，D，E均为格点，则 ．
15．已知点为抛物线上一动点．当时，的取值范围是，则抛物线的解析式为 ．
三、解答题（共8题，16、17、18、19每题10分，20、21每题12分，22、23每题13分，共90分）
16．
17．在中，，，求这个三角形的周长．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点．
（1）求对应的函数表达式；
（2）过点作轴交轴于点，求的面积；
（3）根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集．
19．二次函数的图象经过点，，试求：
(1)该二次函数的表达式；
(2)求出顶点坐标；
(3)判断点是否在这个函数图象上．
20．两建筑物和的水平距离为，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，求建筑物的高度．（结果保留根号）
21．为了促进旅游经济发展，淄川区某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元．销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
(1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
(2)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？（友情提示：一定注意自变量取值范围）
22．如图，抛物线与双曲线全相交于点A、B，且抛物线经过坐标原点，点的坐标为(一2,2),点B在第四象限内．过点B作直线BC x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点,已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍．记抛物线顶点为E．
（1）求双曲线和抛物线的解析式;
（2）计算与的面积;
（3）在抛物线上是否存在点D，使的面积等于的面积的8倍?若存在，请求出点D的坐标;若不存在，请说明理由.
23．如图，抛物线与坐标轴交于点、、，点P为抛物线上动点，设点的横坐标为t．
(1)若点C与点A关于抛物线的对称轴对称，求C点的坐标及抛物线的解析式；
(2)若点P在第四象限，连接、及，当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
(3)在对称轴上是否存在点Q，使为等腰三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据反比例函数的性质可得m﹣2＞0，进一步即可求出答案．
【详解】解：∵反比例函数y＝（m为常数），在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴m﹣2＞0，解得：m＞2．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握反比例函数的性质是关键．
2．C
【分析】根据csα＝，求出锐角α的度数即可．
【详解】解：∵csα＝，
∴α＝60．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
3．B
【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、交点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：①抛物线中，，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意；
②由解析式得，当时，，因此B选项错误，符合题意；
③由解析式得，当时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为，因此C选项正确，不符合题意；
④因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小，因此D选项正确，不符合题意．
故答案选：B ．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
4．B
【详解】解：结合三个视图发现，应该是由一个正方体在一个角上挖去一个小正方体，且小正方体的位置应该在右上角．
故选B．
考点：由三视图判断几何体．
5．C
【分析】由a＞0，b＜0，c＜0，推出﹣＞0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，由此即可判断．
【详解】解：∵a＞0，b＜0，c＜0，
∴﹣＞0，
∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，
故选C．
【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6．C
【分析】在Rt△ABD中，解直角三角形求出，在Rt△ABC中，解直角三角形可求出AB．
【详解】解：在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，
∴，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，
∴，
解得：m，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切函数的定义是解题的关键．
7．B
【分析】根据题意，令y1+y2＝1，若方程有解，则称函数y1和y2是“和谐函数”，若无解，则称函数y1和y2不是“和谐函数”．
【详解】A、令y1+y2＝1，
则x2+2x﹣x+1＝1，
整理得：x2+x＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1，
∴函数y1和y2是“和谐函数”，故A不符合题意；
B、令y1+y2＝1，
则+x+1＝1，
整理得：x2+1＝0，
此方程无解，
∴函数y1和y2不是“和谐函数”，故B符合题意；
C、令y1+y2＝1，
则﹣﹣x﹣1＝1，
整理得：x2+2x+1＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1，
∴函数y1和y2是“和谐函数”，故C不符合题意；
D、令y1+y2＝1，
则x2+2x﹣x﹣1＝1，
整理得：x2+x﹣2＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣2，
∴函数y1和y2是“和谐函数”，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程、分式方程，根据题意令y1+y2＝1，然后进行求解是解题的关键．
8．B
【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可．
【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示：

当时，则，即，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴点，
∴，
解得：，
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键．
9．C
【分析】本题考查了相似三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，用的长度表示出点B的坐标是解题的关键，也是本题的难点．
设，根据点D在反比例函数图象上表示出，再根据相似三角形对应边成比例列式求出，然后根据中点的定义表示出点B的坐标，再根据点B在反比例函数图象上表示出a、k的关系，然后用a表示出点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答．
【详解】解：设，
∵点D在上，
，
，
，
，
∴点，
∵点B是的中点，
∴点B的坐标为，
∵点B在反比例函数图象上，
，
，
，
解得，，
∴点B的坐标为，
设直线的解析式为，
则，解得，
所以，直线的解析式为．
故答案为：C．
10．B
【分析】由“ASA”可证△CDM≌△HDN，可证MD=DN，即可证四边形DNKM是菱形，当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，可求DM=，即可求的值．
【详解】解：如图，
∵∠ADC=∠HDF=90°
∴∠CDM=∠NDH，且CD=DH，∠H=∠C=90°
∴△CDM≌△HDN（ASA）
∴MD=ND，且四边形DNKM是平行四边形
∴四边形DNKM是菱形
∴KM=DM
∵sinα=sin∠DMC=，
∴当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，
设MD=a=BM，则CM=8-a，
∵MD2=CD2+MC2，
∴a2=4+（8-a）2，
∴a=，
∴DM=，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查了三角函数综合，矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，求DM的长是本题的关键．
11．
【分析】此题考查了由三视图判断几何体，以及求圆柱体的体积， 由三视图易得此几何体为圆柱的一半，圆柱的体积底面积高，把相关数值代入即可求解，解决本题的关键是得到此几何体的形状，易错点是得到计算此几何体所需要的相关数据．
【详解】解：由三视图可知，此几何体为圆柱体的一半，
∴体积为：，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法确定函数解析式，二次函数图象与几何变换．平移的规律：左加右减，上加下减．
首先利用待定系数法求得函数的解析式，然后根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：设抛物线解析式为，
把代入得，
所以这个二次函数解析式为，
把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到新抛物线解析式为：．
故答案为：
13．6
【分析】由点是反比例函数的图象上，可得，根据等底同高的三角形面积相等可得，进而求出，再根据点在反比例函数的图象上，求出，进而求出的值．
【详解】解：延长交轴于点，连接、，
点是反比例函数的图象上，轴，
，，
，
又点在反比例函数的图象上，
，
，（舍去），
故答案为：6．

【点睛】本题考查反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解决问题的关键．
14．1
【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理和特殊角三角函数值，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答．根据题意，连接、，然后利用勾股定理的逆定理，可以判断的形状，从而可以求得的度数，再求出正切值即可．
【详解】解：连接、，
则，
∵，
∴，
设小正方形的边长为1，
则，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即，
∴，
故答案为：1．
15．或
【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解决该题型题目时，分类讨论是关键．
分和两种情况考虑，依据二次函数的性质找出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．
【详解】解：根据题意得：①当时，当时函数有最大值4，时有最小值1，有，
解得：，
此时抛物线的解析式为；
②当时，当时函数有最小值1，时有最大值4，
有，
解得：，
此时抛物线的解析式为．
综上可知：抛物线的解析式为或．
16．
【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值、二次根式的混合运算，正确记忆相关数据是解题关键．
直接利用特殊角的三角函数值分别代入，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】解：原式
17．
【分析】此题主要考查勾股定理、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识点，难度中等．
如图，过A点作，根据等腰三角形的性质，利用三角形内角和定理即可求和的度数，根据勾股定理即可求解．
【详解】如图，过A点作，
∵中，，
∴，
∵，
∴．
则，即，
解得（负值舍去），
这个三角形的周长为．
18．（1），；（2）；（3）或
【分析】（1）由题意先求出，然后得到点B的坐标，进而问题可求解；
（2）由（1）可得以PB为底，点A到PB的距离为高，即为点A、B之间的纵坐标之差的绝对值，进而问题可求解；
（3）根据函数图象可直接进行求解．
【详解】解：（1）把点代入反比例函数解析式得：，
∴，
∵点B在反比例函数图象上，
∴，解得：，
∴，
把点A、B作代入直线解析式得：，解得：，
∴；
（2）由（1）可得：，，
∵轴，
∴，
∴点A到PB的距离为，
∴；
（3）由（1）及图象可得：当时，x的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键．
19．(1)
(2)
(3)不在
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求二次函数的顶点坐标及图象上点的坐标特征．
（1）根据抛物线的顶点坐标设出，抛物线的解析式为：y=a（x-1）2+2，再把（0，-1）代入，求出a的值，即可得出二次函数的解析式．
（2）将求出的二次函数解析式配方得顶点式，即求得顶点坐标．
（3）代入即可判断．
【详解】（1）解：把，两点代入，
得，
解得，；
∴二次函数为，
（2）解：，
顶点坐标为：；
（3）不在二次函数图像上
把代入，得；
∴点P在不在此二次函数的图象上．
20．米
【分析】本题考查了利用三角函数解决有关仰角、俯角的计算问题，关键是作出辅助线，把实际问题转化成解直角三角形问题．
作于E，利用三角函数及直角三角形的性质依次求出的长，再用“等角对等边”即可求出的长．
【详解】解：作于E，
，
∵A点测得D点的俯角为，
∴,,
∴
∵米，
∴米，
在中，,
,
,
∴（米）
答：的高度为米．
21．(1)，
(2)当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元
【分析】本题考查一次函数和二次函数的应用．
（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为，用待定系数法可得；
（2）设每天获利w元，，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【详解】（1）设每天的销售数量（件）与销售单价（元/件）之间的关系式为，
把，代入得：
，
解得，
∴；
（2）（2）设每天获利w元
，
∵，对称轴是直线，
而，
∴时，w取最大值，最大值是（元），
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
22．（1），（2）15， (3) D的坐标为（3，﹣18）或（﹣4，﹣4）
【分析】（1）将点A的坐标代入双曲线方程即可得出k的值，设B点坐标为（m，﹣4m）（m＞0），根据双曲线方程可得出m的值，然后分别得出了A、B、O的坐标，利用待定系数法求解二次函数解析式即可；
（2）根据点B的坐标，结合抛物线方程可求出点C的坐标，从而可得出△ABC的面积．先求出AB的解析式，然后求出点F的坐标，及EF的长，从而根据S△ABE=S△AEF+S△BEF可得△ABE的面积；
（3）先确定符合题意的△ABD的面积，从而可得出当点D与点C重合时，满足条件；当点D与点C不重合时，过点C作AB的平行线CD，则可求出其解析式，求出其与抛物线的交点坐标即可得出点D的坐标．
【详解】解：（1）∵点A（﹣2，2）在双曲线上，
∴k=﹣4
∴双曲线的解析式为
∵BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍，
∴设B点坐标为（m，﹣4m）（m＞0）代入双曲线解析式得m=1
∴抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）过点A（﹣2，2）、B（1，﹣4）、O（0，0）
∴，解得：
∴抛物线的解析式为．
（2）如图，
∵抛物线的解析式为，
∴顶点E（），对称轴为x=
∵B（1，﹣4），∴﹣x2﹣3x=﹣4，解得：x1=1，x2=﹣4
∴C（﹣4，﹣4）
∴S△ABC=×5×6=15，
由A、B两点坐标为（﹣2，2），（1，﹣4）可求得直线AB的解析式为：y=﹣2x﹣2
设抛物线的对称轴与AB交于点F，则F点的坐标为（，1）．
∴EF=．∴S△ABE=S△AEF+S△BEF=××3=．
（3）S△ABE=，∴8S△ABE=15
∴当点D与点C重合时，显然满足条件，
当点D与点C不重合时，过点C作AB的平行线CD，
其直线解析式为y=﹣2x﹣12．
令﹣2x﹣12=﹣x2﹣3x，解得x1=3，x2=﹣4（舍去）
当x=3时，y=﹣18，故存在另一点D（3，﹣18）满足条件
综上所述，可得点D的坐标为（3，﹣18）或（﹣4，﹣4）．
【点睛】本题属于二次函数的综合题目，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、函数图象的交点坐标、三角形的面积公式等，熟练运用上述知识及逐步分析题目是解决此题的关键．
23．(1)，
(2)当时，有最大值
(3)存在，Q点坐标为或或或或
【分析】（1）抛物线经过点，则函数的对称轴为：，即可求解；
（2）的面积，即可求解；
（3）分是底、是腰两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）∵抛物线经过点，，
∴抛物线的对称轴为，
∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称，点
∴，
抛物线表达式为，
故，解得：，
∴抛物线的表达式为．
（2）如图，过点P作y轴的平行线交于点H，
由点A，E的坐标得直线的表达式为，
设点，则点，
∴的面积，
．
，
∴当时，有最大值．
（3）
如图，是底时，
，
作于N，
则，
，即，
，
，
是腰，点A是顶角顶点时，
如下图，
，
，
，
或；
当是腰，点E是顶角顶点时，
如下图，
，
，
或，
综上所述，Q点坐标为或或或或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，考查了待定系数法，一次函数的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，二次函数的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
销售单价x（元/件）
…
35
40
45
…
每天销售数量y（件）
…
90
80
70
…