江苏省扬州市仪征市2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份江苏省扬州市仪征市2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（总分：150分 时间： 120分钟）
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，请将正确选项前的字母填涂在答题卡中相应的位置上．）
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．平行
3．已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P在（ ）
A．外B．内C．上D．无法确定
4．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，6，4B．3，，4C．3，6，D．3，，
5．如图，的半径为，直角三角板的角的顶点落在上，两边与圆交于点、；则弦的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．我校在科技文化节活动中，8位评委给某个节目的评分各不相同，去掉1个最高分和1个最低分，剩下的6个评分与原始的8个评分相比一定不发生变化的是（ ）
A．平均数B．中位数C．方差D．众数
7．关于x的一元二次方程一个实数根为2023，则方程一定有实数根（ ）
A．2023B．C．D．
8．如图，∠1是正九边形两条对角线的夹角，则∠1的度数是（ ）
A．45°B．54°C．60°D．72°
二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分．）
9．一组数据：﹣2，3，2，0，4的极差是 ．
10．若x＝﹣1是方程x2+px+q＝0的解，则p﹣q的值是 ．
11．一个圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积是 ．
12．学校把学生学科的期中、期末两次成绩分别按40%，60%的比例计入学期学科总成绩，小明期中数学成绩是85分，期末数学总成绩是90分，那么他的学期数学成绩 分．
13．关于的方程的两个实数根是，则方程的两个实数根是 ．
14．小明在计算方差时，使用公式，则公式中的 ．
15．如图，是的弦，是的切线．若，则 ．
16．如图，四点都在上．已知，则 ．

17．如图，在扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与相切于点E，F．已知，则的长度为 ．
18．如图，E是的直径上一点，，.过点E作弦，P是上一动点，连接，过点A作，垂足为Q，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共计96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明）
19．解方程：
(1)；
(2)．
20．为积极响应鹤城区教育局创建“书香校园”的号召，某校组织了经典诵读比赛，七（1）班和七（2）班各10人的比赛成绩如下表（10分制）：
(1)七（1）班成绩的中位数是________分，七（2）班成绩的众数是________分；
(2)计算七（2）班的平均成绩和方差；
(3)已知七（1）班成绩的方差是1.4，则成绩较为整齐的是________班．
21．如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都在格点上．
(1)在图上标出的外接圆的圆心O；
(2)的外接圆的半径是 ；
(3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径．
22．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．
（1）求证AC＝BD；
（2）若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长度是 ．
23．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)设是方程的两个实根，是否存在k值使，若存在，求出k值，若不存在，请说明理由．
24．2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．

(1)据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，该工厂连续两个月增加生产量后四月份生产720个“冰墩墩”，求平均每月的增长率是多少？
(2)已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利20元，在每个降价幅度不超过8元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利700元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？
25．如图，△ABC中，⊙O经过A、B两点，且交AC于点D，连接BD，∠DBC＝∠BAC．
（1）证明BC与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为6，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．
26．【经历】（1）如图1所示的正方形网格中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B都是格点，线段交网格线于C，则与的数量关系 ；
（2）如图2所示的正方形网格中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C都是格点，则与的位置关系 ；
【体会】网格背景下的画图，它主要是利用网格自身的位置及数量的特殊性，画图时借助网格中的格点，构造一些几何模型，如全等模型、特殊三角形、特殊四边形等，再借助图形的性质解决问题．
【实践】如图2是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C三个格点都在圆上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（3）画出该圆的圆心O；
（4）画出格点E，使为的一条切线，并画出过点E的另一条切线，切点为F．
27．阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如：求代数式的最小值．
，可知当时，有最小值，最小值是．
再例如：求代数式的最大值．
．可知当时，有最大值．最大值是．
【直接应用】
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ；
(2)代数式的最小值为 ；
【类比应用】
(3)试判断代数式与的大小，并说明理由．
【知识迁移】
(4)如图，学校打算用长16米的篱笆围一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（墙足够长），求围成的生物园的最大面积．

28．【特例感知】
（1）如图1，是的圆周角，为直径，平分交于点D，，若，则 ， ．
【类比迁移】
（2）如图2，是的圆周角，为的弦，平分交于点D，过点D作，垂足为F，探索线段之间的数量关系，并说明理由．
【问题解决】
（3）如图3，是的圆周角，为的弦，平分交于点D，若，，，则的内心与外心之间的距离为______．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程求解即可．
【详解】解：A、是一元一次方程，不是关于x的一元二次方程，不符合题意；
B、中含有两个未知数，不是关于x的一元二次方程，不符合题意；
C、不是整式，不是关于x的一元二次方程，不符合题意；
D、是关于x的一元二次方程，符合题意，
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可得到结论．
【详解】解：图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是相交，
故选：B．
3．C
【分析】根据点与圆的位置关系即可进行解答．
【详解】解：∵的半径为=，点P到圆心O的距离为d=，d=r，
∴点P在上．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握：当点到圆心距离大于半径时，点在圆外；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离小于半径时，点在圆内．
4．D
【分析】根据一元二次方程的一般式可直接进行求解．
【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，，；
故选D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．
5．D
【分析】连接，根据圆周角定理得出，继而得出是等边三角形，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
6．B
【分析】根据平均数、中位数、方差、众数的意义即可求解．
【详解】解：根据题意，从8个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有效评分．6个有效评分与8个原始评分相比，中位数一定不发生变化．而平均数，方差，众数都与去掉的数据相关，会受到影响，所以平均数，众数与方差都可能产生变化．
故选：B．
【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
7．D
【分析】此题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程根的定义：将代入方程中，再两边同时除以，可得结论．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程一个实数根为2023，
，
，
，
是方程的实数根．
故选：D．
8．C
【分析】根据正多边形与圆求出相应的圆心角度数，再根据圆周角定理和三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：如图，设这个正九边形的外接圆为⊙O，
则∠AOB＝＝40°，∠COD＝2∠AOB＝80°，
∴∠ADB＝∠AOB＝20°，∠CBD＝∠COD＝40°，
∴∠1＝∠ADB+∠CBD＝20°+40°＝60°，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，三角形外角的性质，添加辅助线是解题的关键．
9．6
【分析】根据极差就是最大值与最小值的差的定义即可求解．
【详解】解：最大的值是4，最小值是-2，
则极差是：4-（-2）=6．
故答案是：6．
【点睛】本题考查了极差的知识，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
10．1
【分析】把x=﹣1代入方程得到1﹣p+q=0后移项即可求得答案．
【详解】∵x=﹣1是方程x2+px+q=0的解，∴1﹣p+q=0，∴p﹣q=1．
故答案为1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是了解方程的解能使得方程两边相等，难度不大．
11．
【分析】本题考查了圆锥的侧面积．熟练掌握圆锥的侧面积公式，其中为底面圆的半径，为圆锥母线长，是解题的关键．
根据圆锥的侧面积公式，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，圆锥的侧面积为，
故答案为：．
12．88
【分析】根据学期数学成绩=期中数学成绩×所占的百分比+期末数学成绩×所占的百分比即可求得学期总成绩．
【详解】解：小明这学期总评成绩=85×40%+90×60%=88．
故答案为：88．
【点睛】本题考查的是加权平均数的求法．解题的关键是根据期中、期末两次成绩所占的比例，列出算式，是一道基础题．
13．
【分析】设，则方程变为，根据方程的两个实数根是，得或，即可求出方程的两个实数根．
【详解】解：设，则方程变为，
∵方程的两个实数根是，
∴或，
∴或，
∴或，
∴方程的两个实数根是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的定义是关键．
14．4
【分析】根据方差公式，确定这组数据中的每个数据，再求这组数据的平均数即可．
【详解】解：根据方差公式可知，这组数据分别是：2，3，3，8；
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了方差公式的理解和求平均数，解题关键是明确方差公式的意义，确定每个数据，准确进行计算求平均数．
15．
【分析】此题重点考查圆的切线的性质、圆周角定理、多边形的内角和等知识，接、，由切线的性质得，再由圆周角定理求得，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接、，
与相切于点，与相切于点，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
16．##145度
【分析】由圆周角定理可得，由圆内接四边形的性质可得，进行计算即可得到答案．
【详解】解：，
，
四点都在上，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握同弧所对的圆周角等圆圆心角的一半以及圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．
17．
【分析】如图，作，，与交于点，则，由折叠的性质可知，扇形与扇形半径相同，即，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，作，，与交于点，
∴，
由折叠的性质可知，扇形与扇形半径相同，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，折叠的性质，四边形内角和，弧长等知识．熟练掌握折叠的性质，弧长公式是解题的关键．
18．
【分析】如图所示，连接，取中点M，连接，先证明点Q在以为直径的圆上，则当三点共线时，有最小值，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，取中点M，连接，
∵，
∴点Q在以为直径的圆上，
∴当三点共线时，有最小值，
∵，，，
∴，，
∴由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，90度的圆周角所对的弦是直径，正确确定点Q在以为直径的圆上是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了公式法、因式分解法解一元二次方程．熟练掌握公式法、因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
∴，
解得，；
（2）解：，
，
∴，，
解得，．
20．(1)9.5；10
(2)1
(3)七（2）
【分析】（1）根据中位数的定义及求法；根据众数的定义及求法，结合题中数据即可得到答案；
（2）由平均数的公式及方差公式，将数据代入即可得到答案；
（3）根据方差的意义，由（2）中七（2）班的方差与七（1）班成绩的方差是1.4即可得到答案．
【详解】（1）解：将七（1）班成绩由小到大排列如下：7，7，8，9，9，10，10，10，10，10，由中位数定义及求法可得七（1）班成绩的中位数是；
将七（2）班成绩由小到大排列如下：7，8，8，9，9，9，10，10，10，10，由众数定义及求法可得七（2）班成绩的众数是；
故答案为：9.5；10；
（2）解：由题中数据，结合公式可得：
；
；
（3）解：由（2）知七（2）班的方差是；且七（1）班成绩的方差是1.4，
，
成绩较为整齐的是七（2）班，
故答案为：七（2）．
【点睛】本题考查统计综合，涉及求中位数、众数、平均数、方差及利用方差判断稳定性，熟记相关统计量的定义及求法是解决问题的关键．
21．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，以及圆锥的有关计算，关键是掌握三角形外心的定义．
（1）作出线段中垂线，交点即为的外接圆的圆心；
（2）由勾股定理求出的长，即可得到外接圆半径的长；
（3）先求出的长，再根据弧长即是圆锥的底面周长求解即可．
【详解】（1）如图，线段中垂线的交点O是外接圆的圆心；
（2）由勾股定理得：，
∴外接圆的半径是．
故答案为：．
（3）连接，
∵，，
∴，
∴，
∴的长，
∴该圆锥底面半径．
22．（1）见解析；（2）
【分析】（1）作CH⊥CD于H，如图，根据垂径定理得到CH=DH，AH=BH，利用等量减等量差相等可得到结论；
（2）连接OC，如图，设CH=x，利用勾股定理得到OH2=OC2﹣CH2=42﹣x2，OH2=OA2﹣AH2=62﹣（3+x）2，则42﹣x2=62﹣（3+x）2，然后解方程求出x即可得到CD的长．
【详解】（1）作CH⊥CD于H，如图，∵OH⊥CD，∴CH=DH，AH=BH，∴AH﹣CH=BH﹣DH，∴AC=BD；
（2）连接OC，如图，设CH=x．在Rt△OCH中，OH2=OC2﹣CH2=42﹣x2．在Rt△OAH中，OH2=OA2﹣AH2=62﹣（3+x）2，∴42﹣x2=62﹣（3+x）2，解得：x=，∴CD=2CH=．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
23．(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式与根与系数的关系．
（1）根据一元二次方程的判别式，然后解不等式即可；
（2）假设存在，代入两根和，两根积，求出k，再作出判断．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，即k的取值范围为；
（2）解：是方程的两个实根，
，
，
，
解得，
∵方程有实根时k的取值为，
∴不存在k值使得．
24．(1)
(2)6元
【分析】（1）设该工厂平均每月生产量增长率为x，利用该工厂四月份生产“冰墩墩”的数量该工厂二月份生产“冰墩墩”的数量（该工厂平均每月生产量的增长率）的平方，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每个“冰墩墩”降价y元，则每个盈利元，平均每天可售出个，利用该商店每天销售“冰墩墩”获得的利润每个的销售利润平均每天的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】（1）解：设平均每月的增长率是，
（个），
解得，（舍）
答：平均每月的增长率是．
（2）设每个“冰墩墩”降价元，则每个盈利元，平均每天可售出个，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去）
答：每个“冰墩墩”应降价6元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（1）证明见解析；（2）6π－9.
【分析】（1）连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE．由圆周角定理得出∠BDE=90°，再求出∠EBD+∠DBC=90°，根据切线的判定定理即可得出BC是⊙O的切线；
（2）分别求出等边三角形DOB的面积和扇形DOB的面积，即可求出答案．
【详解】（1）证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE,
∵BE是直径，∴∠EDB＝90°，
∴∠E＋∠EBD＝90°
∵＝，∴∠E＝∠A
又∵∠DBC＝∠BAC，∴∠DBC＝∠E
∴∠DBC＋∠EBD＝90°，∴∠EBC＝90°，∴BC⊥EB.
又∵OB是半径（B在⊙O上），∴BC与⊙O相切.
（2）∵＝，∴∠BOD＝2∠A＝60°
S阴影＝ S扇形OBD－S△OBD＝π36×－9＝6π－9.
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形面积，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出∠EBD+∠DBC=90°和分别求出扇形DOB和三角形DOB的面积．
26．（1）；（2）；（3）见解析；（4）见解析
【分析】本题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，切线的判定和性质等知识．
（1）可证得，得出，从而得出结果；
（2）可证得，得出，则，可得，从而得出结果；
（3）如图3，连接，由的圆周角所对的弦是直径可得是直径，两直径的交点即该圆的圆心O；
（4）根据全等三角形的性质作出，再过点E画出过点E的另一条切线即可．
【详解】解：（1）如图1，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）如图2，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）如图3，取格点D，连接交于点O，
，
是直径，
∴两直径的交点即该圆的圆心O；
（4）如图4，
由图可得，
，，
，
，
，
为的一条切线；
取格点P，Q交网格线与点J，连接交于点F，点F与点A关于对称，即为的另一条切线．
27．(1)4；
(2)；
(3)，理由见解析；
(4)
【分析】（1）根据完全平方公式的特征添加即可得解；
（2） 配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可；
（3）利用配方法把原式进行变形，再根据偶次方的非负性解答即可；
（4）设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，利用矩形的面积公式可得，再利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：4；
（2）解：，
当时，代数式有最小值，最小值为，
故答案为：；
（3）解：
，
∵，
∴，
∴；
（4）解：设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，
根据题意得：，
当时，有最大值，最大值是，
围成的菜地的最大面积是．
【点睛】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键．
28．（1）3，；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）作于点F，求得，，利用勾股定理和面积法即可求解；
（2）结论：．只要证明，推出，，推出即可解决问题；
（3）过点D作，交的延长线于点F，，交于点E，连接，作的内切圆，圆心为M，N为切点，连接．由（1）（2）可知，四边形是正方形，是对角线．由切线长定理可知：，推出，由面积法可知内切圆半径为2，在中，理由勾股定理即可解决问题；
【详解】解；（1）作于点F，
∵平分，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
故答案为：3，；
（2）如图，结论：．
理由：作于，连接，．
平分，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
∴，
，
．
（3）如图，过点D作，交的延长线于点F，，交于点E，连接，作的内切圆，圆心为M，N为切点，连接．由（1）（2）可知，四边形是正方形，是对角线．
，
正方形的边长为，
由（2）可知：，
，
由切线长定理可知：，
，
设内切圆的半径为，
则
解得，
即，
在中，．
故答案为：．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
七（1）
7
8
9
7
10
10
9
10
10
10
七（2）
10
8
7
9
8
10
10
9
10
9