江苏省淮安市淮阴区2023-2024学年八年级上册期中数学试题(含解析)
展开一、选择题(每小题3分,共24分)
1.在下面的四个京剧脸谱中,不是轴对称图形的是( )
A.B.
C.D.
2.下列各式中,正确的是( )
A.B.C.D.
3.在实数0,,,,1. 010 010 001中,无理数有 ( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.如图,已知∠ABC=∠DCB,下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是( )
A.∠A=∠DB.AB=DCC.∠ACB=∠DBCD.AC=BD
5.等腰三角形的两边长分别为3cm,6cm,则该三角形的周长为( )
A.12cmB.15cmC.12cm或15cmD.以上都不对
6.下列各组数,可以作为直角三角形的三边长的是( )
A.2,3,4B.7,24,25C.8,12,20D.5,13,15
7.如图,在中,的垂直平分线交于点,那么等于( )
A.B.C.D.
8.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点M为BC的中点,MN⊥AC于点N,则MN等于( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题3分,共24分)
9.计算:= .
10.已知,则的度数为 .
11.已知a,b为两个连续的整数,且a<<b,则a+b= .
12.如图,在中,的垂直平分线交于点,交于点,则的周长为 .
13.已知△ABC中,AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,则△ABC的面积是 cm2.
14.如果,那么的值为 .
15.如图,在的网格中, .
16.如图,是正方形内一点,连接.若,则的长为 .
三、解答题(共72分)
17.(1)计算:
(2)解方程:
18.如图,已知点B、E、C、F在一条直线上,AB=DF,AC=DE,∠A=∠D
(1)求证:AC∥DE;
(2)若BF=13,EC=5,求BC的长.
19.如图,每个正方形网格的边长都是1,试判断的形状,并说明理由.
20.如图,某自动感应门的正上方A处装着一个感应器,离地的高度AB为米,当人体进入感应器的感应范围内时,感应门就会自动打开.一个身高米的学生CD正对门,缓慢走到离门米的地方时(米),感应门自动打开,为多少米?
21.我们知道,长方形的对边平行且相等,四个角都是直角,即长方形中,,.如图,在长方形中,,点为上一点,把沿折叠,点恰好落在的点处,求的长.
22.如图,在Rt中,∠ACB=90°,AC=7cm,BC=5cm,CD为AB边上的高,点E从点B出发,在直线BC上以2cm/s的速度移动,过点E作BC的垂线交直线CD于点F.
(1)求证:∠A=∠BCD
(2)当CF=AB时,点E运动多长时间?并说明理由.
23.如图,在中,,点是的中点.将沿翻折得到,连接.
(1)求证:;
(2)若,求的值.
24.如图1,在长方形中,,有一只蚂蚁从点处开始以每秒1个单位的速度沿边向点爬行,另一只蚂蚁从点以每秒1个单位的速度沿边向点爬行,蚂蚁的大小忽略不计,如果同时出发,设运动时间为秒.
(1)当时,的面积是______;
(2)如图2,当是以为底的等腰三角形时,求的值;
(3)当同时运动3秒时,点停止运动,点立即以原速向点返回,在返回的过程中,是否存在点,使得平分?若存在,求出点运动的时间,若不存在,请说明理由.
参考答案与解析
1.D
【分析】根据定义:如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,那么这样的图形就叫做轴对称图形判断即可.
【详解】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.
A、是轴对称图形,故本选项错误;
B、是轴对称图形,故本选项错误;
C、是轴对称图形,故本选项错误;
D、不是轴对称图形,故本选项正确.
故选:D.
【点睛】根据轴对称图形的定义可知,D选项明显不是轴对称图形,理解轴对称图形的定义是解题的关键.
2.C
【分析】本题考查了求算术平方根、平方根、立方根,根据立方根、平方根和算术平方根的定义,进行计算即可解答,掌握算术平方根、平方根以及立方根的定义是解题的关键.
【详解】解:、,故不正确;
、,故不正确;
、,故正确;
、,故不正确;
故选:.
3.B
【详解】无理数是指无限不循环小数,故 π、是无理数,
故选B.
4.D
【详解】A.添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB,故此选项不合题意;
B.添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB,故此选项不合题意;
C.添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB,故此选项不合题意;
D.添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB,故此选项符合题意.
故选D.
5.B
【分析】分两种情况:底边为3cm,底边为6cm时,结合三角形三边的关系,根据三角形的周长公式,可得答案.
【详解】底边为3cm,腰长为6cm,这个三角形的周长是3+6+6=15cm,
底边为6cm,腰长为3cm,3+3=6,不能以6cm为底构成三角形;
故答案为:B.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,利用了等腰三角形的性质,三角形三边的关系,分类讨论是解题关键.
6.B
【详解】A、∵22+32≠42,∴不能构成直角三角形,不符合题意;
B、∵72+242=252,∴能构成直角三角形,符合题意;
C、∵82+122≠202,∴不能构成直角三角形,不符合题意;
D、∵52+132≠152,∴不能构成直角三角形,不符合题意.
故选:B.
7.C
【分析】本题考查了垂直平分线的性质,等边对等角,三角形的外角的性质;根据垂直平分线的性质可得,根据等边对等角可得,进而根据三角形的外角性质,即可求解.
【详解】解:∵的垂直平分线交于点,那
∴,
∵,
∴,
∴,
故选:C.
8.A
【分析】连接AM,根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC,根据勾股定理求得AM的长,再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长.
【详解】解:连接AM,
∵AB=AC,点M为BC中点,
∴AM⊥CM(三线合一),BM=CM,
∵AB=AC=5,BC=6,
∴BM=CM=3,
在Rt△ABM中,AB=5,BM=3,
∴根据勾股定理得:AM=
=
=4,
又S△AMC=MN•AC=AM•MC,
∴MN=
= .
故选A.
【点睛】综合运用等腰三角形的三线合一,勾股定理.特别注意结论:直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边.
9.2
【分析】根据立方根的定义进行计算.
【详解】解:∵23=8,
∴,
故答案为:2.
10.##度
【分析】本题考查了全等三角形的性质,根据全等三角形的对应角相等,即可求解.
【详解】解:∵,
∴,
故答案为:.
11.11
【详解】【分析】由, a<<b,可推出a和b,再求a+b.
【详解】因为a,b为两个连续的整数,且a<<b,
又因为,
所以,a=5,b=6.
所以,a+b=5+6=11.
故答案为:11
【点睛】本题考核知识点:. 根据题意,由便可推出a和b的值.
12.
【分析】本题考查了垂直平分线的性质;根据垂直平分线的性质可得,进而根据三角形的周长公式,即可求解.
【详解】解:∵垂直平分
∴,
∵
∴的周长为,
故答案为:.
13.24
【分析】由勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形,∠B=90°,△ABC的面职为即可得出结果.
【详解】解:∵AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,
∴AB2+CB2=100=AC2,
∴△ABC是直角三角形,且∠B=90°,
∴△ABC的面积是==24(cm2),
故答案为:24.
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理,直角三角形面积的计算方法,熟练掌握勾股定理的逆定理,并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.
14.
【分析】本题考查了平方数非负数,算术平方根非负数的性质,根据几个非负数的和等于0,则每一个算式都等于0列式是解题的关键.根据非负数的性质列式求出、的值,然后代入代数式进行计算即可得解.
【详解】解:根据题意得,,,
解得,,
.
故答案为:
15.45
【分析】连接,根据网格判定为等腰直角三角形,得出,根据平行线的性质得出,,根据即可求出结果.
【详解】解:连接,如图所示:
∵,,,
∴,,
∴为等腰直角三角形,
∴,
∵,,
∴,,
∴.
故答案为:45.
【点睛】本题主要考查了网格与勾股定理,直角三角形的判定,等腰三角形的性质,平行线的性质,解题的关键是作出辅助线,证明为等腰直角三角形.
16.3
【分析】本题考查旋转的性质,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理.将绕点顺时针旋转,得到,连接,得到为等腰直角三角形,推出为直角三角形,利用勾股定理进行求解即可.解题的关键是利用旋转构造特殊三角形.
【详解】解:将绕点顺时针旋转,得到,连接,如图,
则:,,
∴,,
∴,
∴;
故答案为:3.
17.(1);(2)
【分析】本题考查了实数运算,利用立方根的定义解方程;
(1)根据、二次根式化简、值进行计算即可;
(2)若,则,据此即可求解;
掌握零次幂、绝对值化简,理解立方根的定义是解题的关键.
【详解】(1)解:原式
(2)解:
解得:.
18.(1)证明见解析;(2)9.
【分析】(1)首先证明△ABC≌△DFE可得∠ACE=∠DEF,进而可得AC∥DE;
(2)根据△ABC≌△DFE可得BC=EF,利用等式的性质可得EB=CF,再由BF=13,EC=5进而可得EB的长,然后可得答案.
【详解】解:(1)在△ABC和△DFE中
,
∴△ABC≌△DFE(SAS),
∴∠ACE=∠DEF,
∴AC∥DE;
(2)∵△ABC≌△DFE,
∴BC=EF,
∴CB﹣EC=EF﹣EC,
∴EB=CF,
∵BF=13,EC=5,
∴EB=4,
∴CB=4+5=9.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,解决此题的关键是合理的运用三角形的判定和性质.
19.为直角三角形,理由见解析.
【分析】利用勾股定理算出各边的长度,即可确定△ABC的形状.
【详解】∵AB2=,BC2==52,AC2==65
∴AB2 +BC2 =AC2
∴△ABC是直角三角形.
【点睛】本题考查直角三角形的判定.知道直角三角形的三边长满足勾股定理是解决本题的关键.
20.米
【分析】过点作,构造直角,根据题意得到两个直角边、的长度,再根据勾股定理得即可解答.
【详解】
如图,过点作,垂足为点,
由题意可知,米,米,
则米,
答:为米.
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用,掌握勾股定理是解题关键.
21.1
【分析】本题考查了勾股定理的应用.利用角的关系求得,再在中,由勾股定理求得的长,据此即可求解.
【详解】解:∵折叠,点恰好落在线段上的点处
∴,,,,
∵,
∴,,
在中,由勾股定理得
∴
∴,
∴.
22.(1)见解析;(2)6s或1s,理由见解析.
【分析】(1)根据余角的性质即可证得结论;
(2)如图,当点E在射线BC上移动时,根据AAS可证明△CFE≌△ABC,可得CE=AC,进而可得BE的长,进一步即可求出点E的运动时间;当点E在射线CB上移动时,同样的方法求解即可.
【详解】解:(1)∵∠ACB=90°,CD为AB边上的高,
∴∠BCD+∠ACD=90°,∠A+∠ACD=90°,
∴∠A=∠BCD;
(2)如图,当点E在射线BC上移动时,
∵∠A=∠BCD,∠FCE=∠BCD,
∴∠A=∠FCE,
在△CFE与△ABC中,
,
∴△CFE≌△ABC(AAS),
∴CE=AC=7(cm),
∴BE=BC+CE=5+7=12(cm),
∴点E的运动时间=12÷2=6(s);
当点E在射线CB上移动时,如图,
在△CF′E′与△ABC中,
,
∴△CF′E′≌△ABC(AAS),
∴CE′=AC=7(cm),
∴BE′=7-5=2(cm),
∴点E的运动时间=2÷2=1(s);
综上,当点E运动 6s或1s时,CF=AB.
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质等知识,正确理解题意、熟练掌握全等三角形的判定和性质、善于动中取静是解题的关键.
23.(1)见解析
(2)
【分析】(1)依据直角三角形斜边上中线的性质可知,然后依据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得,由翻折的性质可知,从而可求得的度数,然后依据可求得,从而可证明;
(2)连结,先证明为等边三角形,从而可得到,然后可求得,最后依据勾股定理求解即可.
【详解】(1),点是的中点,
,
,
,
沿翻折得到,
,
,
,
,
;
(2)连接,
,
是等边三角形,
,
,
,
,
由勾股定理得:,
,
【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质,熟练掌握翻折的性质是解题的关键.
24.(1)4
(2)1.5
(3)存在,
【分析】(1)求出、的长,再由三角形面积公式即可求解;
(2)由等腰三角形的性质可得,再由勾股定理得出方程,解方程即可;
(3)过点作于点,证,得,,再证,得,然后由勾股定理求出的长,即可解决问题.
【详解】(1)由题意可知,当时,,,
,
四边形是矩形,
,
,
故答案为:4;
(2)是以为底的等腰三角形
当是以为底的等腰三角形时,
(3)如图,过点作于点,连接
平分
,且,
点运动
,且
Rt
【点睛】本题四边形综合题,考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、角平分线的性质以及勾股定理等知识,本题综合性强,熟练掌握矩形的性质和勾股定理,添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键,属于中考常考题型.
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