河南省驻马店市新蔡县2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份河南省驻马店市新蔡县2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．若关于x的方程是一元二次方程，则实数m的值为（ ）
A．B．1C．D．2
3．的平方根是（ ）
A．±4B．±2C．-2D．2
4．关于x的一元二次方程 根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
5．用配方法解方程，配方后的方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为( )
A．2B．3C．4D．5
7．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，是三个正方形拼成的一个长方形，则∠1+∠2+∠3=（ ）
A．60°B．75°C．90°D．105°
9．如图，平行四边形ABCD中，对角线为AC，且AC⊥CD，以点B为圆心，以适当长度为半径作弧，交AB、BC于点M、N两点，再分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP分别交AC、AD于QE，若AB＝1，BC＝，则AQ的长度为（ ）
A．2B．C．D．
10．如图，在等边三角形中，，点D是边上一点，且，点P是边上一动点（D、P两点均不与端点重合），作，交边于点E．若，当满足条件的点P有且只有一个时，则a的值为（ ）
A．2B．C．3D．4
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11．若，则 ．
12．观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ．
13．在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，则方程的解为 ．
14．等腰三角形一边长是3，另两边长是关于x的方程的两个根，则k的值为 ．
15．如图，在中，分别为上的点，沿直线将折叠，使点B恰好落在上的D处，当恰好为直角三角形时，的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（1）计算：
（2）解方程：
17．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣3x+2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此时方程的根．
18．如图，已知直线分别截直线于点，截直线于点，且．
(1)如果，求的长；
(2)如果，求的长．
19．如图，折叠矩形的一边，使点落在边上的点处，已知折痕，且．
(1)求证：；
(2)求矩形的周长．
20．如图，已知，为了求边的长，小亮想出了一个好办法：将边反向延长至点，使，连接，从而小亮发现图中存在一对相似三角形，问题便迎刃而解了！
(1)请你找出这对相似三角形，并进行证明；
(2)求边的长．
21．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
(1)设每件童装降价x元时，每天可销售_______________件，每件盈利____________元；（用x的代数式表示）
(2)每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．
(3)要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．
22．如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs．

(1)当时，求x的值．
(2)△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．
23．（）问题发现
如图（），在和中，，，，连接交于点．填空：
的值为______；的度数为______．
（）类比探究
如图（），在和中，，，连接，交的延长线于点．请求出的值及的度数，并说明理由．

参考答案与解析
1．C
【分析】根据二次根式的定义：形如的式子逐项判断即可．
【详解】解：A、缺少条件，不一定是二次根式，本选项不符合题意；
B、为三次根式，不符合二次根式的定义，本选项不符合题意；
C、，是二次根式，本选项符合题意；
D、，缺少条件，不一定是二次根式，本选项符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟知二次根式的概念是关键．
2．C
【分析】根据二次项系数不为零，最高次项的次数为2，求解即可．
【详解】∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，
∴，且，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．
3．B
【分析】先化简，再根据平方根的概念求解即可．
【详解】， ，
∴的平方根是±2，
故选：B．
【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，这个题很基础但是个易错题，要特别注意．
4．B
【分析】求出一元二次方程根的判别式△=b2-4ac，根据平方数的非负性确定△==>0，即可得出根的情况．
【详解】解：△===，
∵≥0，
∴>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：B．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与根个数的关系，解答此题的关键是掌握当b2-4ac>0,方程有两个不相等的实数根；b2-4ac=0,方程有两个相等的实数根；b2-4ac