江苏省南京市玄武区2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份江苏省南京市玄武区2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．平面内，已知的半径是，线段，则点P（ ）
A．在外B．在上C．在内D．不能确定
2．一元二次方程 配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
3．一组数据6，8，10，x的中位数与平均数相等，则x的值不可能是（ ）
A．4B．6C．8D．12
4．如图，为的直径，C为上一点，平分，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A． B．C． D．
6．如图，经过菱形的顶点A，B，C，顶点D在内，延长，与分别交于点E，F，连接，，下列结论：①；②；③，其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．方程的解是 ．
8．请填写一个常数，使得关于x的方程 =0有两个不相等的实数根．
9．我市2015年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2017年底增加到363公顷，则绿化面积平均每年的增长率为 ．
10．用一个圆心角为的扇形围成一个圆锥，其底面圆半径为4，则圆锥的侧面积为 ．
11．如图，在的内接四边形中，，点E在上，则 ．
12．如图，在中，，是的内切圆，与边分别相切于点D，E，与的延长线交于点F，则 ．
13．不透明的盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，取得黑棋的概率是；放回后，往盒中再放进10枚黑棋，搅匀后从盒中随机取出一枚棋子，取得黑棋的概率为，则 ， ．
14．《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是的弦，N是的中点，，垂足为N，“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式：，当，时，则l的值为 ．
15．如图，与正八边形相切于点A，E，若正八边形的边长为2，则的长为 ．

16．如图，是的高，以O为圆心的两个同心圆，小圆经过点A，D，大圆经过点B，C，若小圆半径为6，大圆半径为10，则 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解下列方程：
(1)；
(2)．
18．小南家到学校有A，B两条公交线路，为了解两条线路的乘车所用时间，小南做了试验，第一周（5个工作日）选择A线路，第二周（5个工作日）选择B线路，每天在固定时间段内乘车1次并分别记录所用时间（单位：min），数据如下：
A，B线路所用时间统计表
(1)填表：
(2)计算A，B两条线路所用时间的方差；结合数据你认为小南选择哪一条乘车路线更好？并说明理由．
19．甲、乙两人分别从A、B、C三个景点中随机选择一个景点游览．
(1)甲选择A景点的概率为______；
(2)求甲、乙两人至少有一人选择A景点的概率．
20．如图，公园原有一块长方形空地，长是宽的2倍，从这块空地上划出“”型区域栽种鲜花，原空地的宽减少了，长减少了，剩余空地的面积是原空地面积的一半，求原空地的长和宽．

21．如图，在中，为直径，为弦，且，垂足为C．
(1)若，求的长度；
(2)若，则______°．
22．已知关于x的一元二次方程（k为常数）．
(1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程有两个实数根，，且，求k的值．
23．如图，在中，，以为直径的交于点D，过D作的切线，与交于点E，与的延长线交于点F．
(1)求证：；
(2)若B是的中点，，则图中阴影部分的面积为______．
24．已知P为外一点，用直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
(1)如图①，在上求作一个点M，使；
(2)如图②，在上求作一个点N，使．
25．某农业合作社投资64000元共收获80吨的农产品，目前，该农产品可以以1200元/吨售出，如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，且同时每星期每吨价格将上涨200元．问储藏多少星期出售这批农产品可获利122000元？
26．如图，在四边形中，相交于点E，且，经过A，C，D三点的交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：是的切线．
27．“等弧”的探究．
【初步研究】
（1）如图①，，分别是，的弦，，，求证：．
【深入研究】
（2）如图②，在中，，是以A为圆心且与相切的弧，在的内部（包含边界）存在，使，且点M，分别在边，上．
①在图②中，用直尺和圆规作出一条（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
②若，，则满足条件的所在圆的圆心轨迹的长度为_____．
【解决问题】
（3）如图③，折扇完全打开后，、的夹角为，长为，为了装饰折扇，现需从四边形丝绸材料中剪出，使，且为了节约材料，与边，均相切，已知，，，请在图中用直尺和圆规作出满足条件的．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系的判定方法对点P与的位置关系进行判断．
【详解】解：∵的半径为，线段，
∴点P到圆心的距离大于圆的半径，
∴点P在外．
故选：A．
2．C
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先移项，再利用完全平方公式配方即可．
【详解】解：，
移项，得，
配方，得，
即，
故选：C．
3．B
【分析】本题结合平均数考查了确定一组数据的中位数的能力．涉及到分类讨论思想，根据中位数的值与大小排列顺序有关，而此题中x的大小位置未定，故应该分类讨论x所处的所有位置情况：从小到大（或从大到小）排列在中间（在第二位或第三位结果不影响）；结尾；开始的位置．
【详解】解：（1）将这组数据从大到小的顺序排列为10，8，x，6，
处于中间位置的数是8，x，
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是，
平均数为，
∵数据10，8，x，6，的中位数与平均数相等，
∴，
解得，大小位置与8对调，不影响结果，符合题意；
（2）将这组数据从大到小的顺序排列后10，8，6，x，
中位数是，
此时平均数是，
解得，符合排列顺序；
（3）将这组数据从大到小的顺序排列后x，10，8，6，
中位数是，
平均数，
解得，符合排列顺序．
∴x的值为4、8或12，不可能是6．
故选：B．
4．D
【分析】此题考查了圆周角定理，连接，根据圆周角定理得出，，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵为的直径，
∴，
，
，
，
∵平分，
，
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，先根据根的判别式的意义得到，再把代入得，所以，则或，从而可对各选项进行判断．
【详解】解：根据题意得，
，
，
∴，
∴，
∴，
，
，
∴或，
故选：C．
6．B
【分析】①根据菱形的性质得出，根据相同的圆周角所对的弦相等，得出，即可判断①正确；
②根据菱形的性质得出，，，根据平行线的性质得出，，从而得出，，但不能确定，判断②错误；
③先证明，根据平行线的性质得出，根据，得出，求出，根据即可判断③正确．
【详解】解：①∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴，故①正确；
②∵四边形为菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
不能确定，故②错误；
③∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，故③正确；
综上分析可知，①③正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，圆周角定理，圆周角和弦的关系，解题的关键是熟练掌握圆的基本性质和菱形的性质．
7．，
【分析】本题主要考查解一元二次方程，方程直接开方，得一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：，
开方得，，
即或，
解得，，，
故答案为：，．
8．1（答案不唯一）
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的不等式，求解即可得出答案．
【详解】解：，，设常数为，
故答案为：1（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
9．10%
【分析】根据增长率问题的公式“一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）”，设绿化面积平均每年的增长率为x，根据“2017年底增加到363公顷．”可得出方程，解方程即可求解．
【详解】设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意得，
300（1+x）2=363．
解得x1=0.1=10%，x2=-2.1（舍去），
∴绿化面积平均每年的增长率为10%.
故答案为10%.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用——增长率问题．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
10．
【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．根据底面圆的周长等于扇形的弧长，可得弧长为，根据弧长公式求出扇形的半径是，再根据圆锥的侧面积为扇形的面积，即可求出答案．
【详解】解：∵底面圆半径为4，
∴底面圆的周长为，即扇形的弧长为，
设扇形的半径是r，则，
，
∴扇形的面积为，
∴圆锥的侧面积为．
故答案为：．
11．126
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．等腰三角形的性质和三角形内角和定理．先根据圆内接四边形的性质计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，然后再根据圆内接四边形的性质可得的度数．
【详解】解：连接，
在的内接四边形中，，
，
，
，
，
，
∵四边形为圆的内接四边形，
，
．
故答案为：126．
12．##40度
【分析】本题考查三角形内切圆、切线长定理，根据内切圆的定义和切线长定理，可以计算出的度数和的度数，然后即可计算出的度数．
【详解】解：连接交于点G，
，
，
∵点O为的内切圆的圆心，
，
，
，
垂直平分，
，
，
故答案为：．
13． 15 25
【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．根据盒中有x枚黑棋和y枚白棋，得出袋中共有个棋，再根据概率公式列出关系式，求出x，y的值即可．
【详解】解：∵盒中有x枚黑棋和y枚白棋，
∴袋中共有个棋，
∵黑棋的概率是，
∴可得关系式，
如果往口袋中再放进10个黑球，则取得黑棋的概率变为，
又可得；
联立求解可得，整理得，
解得：，
故答案为：①15，②25．
14．####
【分析】本题考查弧长的计算，垂径定理和勾股定理，连接，根据垂径定理，知，M，N，O共线，设圆的半径为r，根据勾股定理求出，计算求出答案．
【详解】解：连接，如图：
∵N是的中点，，
，
∴M，N，O共线，
，
，
设圆的半径为r，则，
在中，根据勾股定理，得，
即，
解得，
，
．
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了正八边形的性质，弧长公式的运用，连接，利用正八边形的性质计算出半径和圆心角即可．
【详解】解：连接，

∵与正八边形相切于点A，E，
，
∵六边长的内角和为，
，
，
∴点A、O、D共线，
，
，
，
的长为，
故答案为：．
16．672
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理的运用，过O作，根据垂径定理和勾股定理，用表示出即可得解．
【详解】解：小圆与交于点E，连接，过点O作交于F，如图：
，
∴是小圆的直径，即过点O，由垂径定理可知，，
，
设，
，，
，，，
，
，，
．
故答案为：672．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的求解．
（1）根据配方法进行求解即可；
（2）用因式分解法进行求解即可．
【详解】（1）解：
解得：；
（2）解：
或
解得：．
18．(1)17，22，23
(2)A、B两条线路所用时间的方差分别为、；小南选择B条乘车路线更好，理由见解析．
【分析】本题考查统计图、平均数、中位数、众数，以及方差．
（1）根据平均数，中位数，众数的定义计算即可；
（2）根据方差公式求出方差，再根据方差的意义分析即可．
【详解】（1）解：①A线路所用时间从小到大顺序为：15，15，17，31，32，共有5个数，中位数是第3个数，
中位数为17，
②B线路所用时间的平均数为，
③B线路所用时间中23最多，
众数为23；
故答案为：①17，②22，③23；
（2）解：A条线路所用时间的方差为
，
B条线路所用时间的方差，
小南选择B条乘车路线更好，
理由：两条线路平均数为22，而方差，B路线的波动性更小，所以选择B条乘车路线更好．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查树状图法或列表法求概率：
（1）利用概率公式直接求解即可；
（2）根据树状图或列表表示出所有等可能的情况和甲、乙两人至少有一人选择A景点的情况数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：甲从A、B、C三个景点中随机选择一个景点游览，选择A景点的概率为，
故答案为：．
（2）解：画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人至少有一人选择A景点的情况有5种，
故甲、乙两人至少有一人选择A景点的概率为．
20．原空地的长为，宽为
【分析】本题考查了解一元二次方程的实际问题，设原空地的宽为，则长为，根据题意得出方程，求出x的值，再求出答案即可．
【详解】解：设原空地的宽为，则长为，
根据题意得：，整理得：，
解得：或6，
当时，，（不符合题意，舍去），
当时，，
答：原空地的长为，宽为．
21．(1)
(2)54
【分析】本题考查圆周角定理、勾股定理、垂径定理．
（1）根据垂径定理和勾股定理可以得到和的长，然后再根据勾股定理即可求得的长度；
（2）根据垂径定理和圆周角定理，以及直角三角形的两个锐角互余，可以求得的度数．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即长度为；
（2）连接，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
故答案为：54．
22．(1)见解析
(2)，
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系，解一元二次方程；
（1）求出即可证明；
（2）根据根与系数的关系得出，，结合已知等式得出关于k的一元二次方程，解方程可得答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程有两个实数根，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
解得：，．
23．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质、平行线的判定、含30°角的直角三角形的性质以及三角形和扇形面积的计算．
（1）先证明，再由切线的性质得出，即可得出结论；
（2）连接，证明是等边三角形，求出和，进而用梯形的面积-扇形的面积，即可得出阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
，
，
，
，
又是的切线，
，
；
（2）解：连接，
，B是的中点，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，，
∵点B是的中点，，
，，
∴阴影的面积为：，
故答案为：．
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理等知识．
（1）连接，以为直径作交于点M，连接，点M即为所求；
（2）作等边三角形，作的外接圆交于点N，连接，点N即为所求．
【详解】（1）解：如图①中，点M即为所求；
（2）解：如图②中，点N即为所求．
25．储藏15星期出售这批农产品可获利122000元．
【分析】设储藏x星期出售这批农产品可获利122000元，则需要支付费用1600x元，损失2x吨，价格为（1200+200x）元，根据获利122000元，列方程求解．
【详解】解：设储藏x星期出售这批农产品可获利122000元，
由题意得（1200+200x）×（80﹣2x）﹣1600x﹣64000=122000，
解得：解得：x1=x2=15．
答：储藏15星期出售这批农产品可获利122000元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
26．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查圆周角的性质、直角三角形的性质、切线的判定定理．
（1）根据，可得，两式相减即得，结论得证；
（2）连接并延长交于G点，再连接，可得，再根据已知证明，进而得，从而得即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
又，
，
，即：，
；
（2）证明：连接并延长交于G点，再连接，
为O直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
27．（1）见详解；（2）①见详解，②4；（3）见详解
【分析】（1）根据题意得，则有，得即可证明结论成立；
（2）①在任取一点M，以长为半径画弧，画出，再以为半径作弧即可，②设与相切于点F，连接，有，则，当点M在如图所示位置时，连接，，，交于点H，有，可得，由对应边得，得到，判定，即可找到点M在运动过程中，所在圆的圆心在直线上运动，极限位置可求得轨迹的长度；
（3）作的角平分线，过点C作与交于点O，再过点O作，垂足为H，此时，以O为圆心，为半径，与和分别交于点P、Q即为所求．
【详解】证明：（1）根据圆的性质得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，即．
（2）解：①首先，在任取一点M，以M为圆心，长为半径画弧，与交于点，连接；其次，分别以M、为圆心，长为半径作弧，交于点O；最后，以O为圆心，为半径作弧，则即为所求．
②如图，设与相切于点F，连接，
则，
∵，，，
∴，，，
∴，
当点M在如图所示位置时，连接，，，交于点H，
由作图可知，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即点M在运动过程中，所在圆的圆心在直线上运动，
当点N在点A处，即在图中点处时，
，
当点M在点A处，即在图中点处时，
，
综上，满足条件的所在圆的圆心轨迹的长度为．
（3）如图，
Ⅰ．作的角平分线；
Ⅱ．过点C作，与交于点O；
Ⅲ．过点O作，垂足为H；
Ⅳ．以O为圆心，为半径，与、分别交于点P、Q，则出即为所求．
【点睛】本题考查了作垂线、作角平分线、等腰三角形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定和定理，熟练掌握弧与圆心角的关系、找点的运动轨迹和采取极限位置求距离是解题的关键．
周一
周二
周三
周四
周五
A线路所用时间
15
32
15
17
31
B线路所用时间
20
23
19
23
25
平均数
中位数
众数
A线路所用时间
22
①______
15
B线路所用时间
②______
23
③______