广西壮族自治区贺州市富川瑶族自治县教学研究室2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份广西壮族自治区贺州市富川瑶族自治县教学研究室2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟，满分：120分）
一、选择题：（每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
意的，请将符合题意的序号填在答题卡对应的位置上，在试卷上作答无效．）
1．下列函数中，是二次函数的是（）
A．B．C．D．
2．下列抛物线中，顶点坐标为的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知反比例函数＝，当＜0时，随的增大而增大，则的值可能是（ ）
A．－1B．2C．3D．5
4．已知，则等于（ ）
A．B．C．2D．3
5．将某二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的二次函数的图象，则原二次函数的表达式是（）
A．B．
C．D．
6．已知（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（ ）
A．B．2a=3bC．D．3a=2b
7．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是【 】
A．B．C．且D．x＜－1或x＞5
9．如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
10．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y=（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2
11．如图，在中，D是的边上的中点，，的延长线交于点E，则的的值为（）

A．B．C．D．
12．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：（每小题2分，共12分，请将答案填在答题卡对应的位置上，在试卷上作答无效．）
13．抛物线的对称轴为直线 ．
14．已知线段b是线段a、c的比例中项，且，那么 ．
15．当 时，函数的图象与轴有交点．
16．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于两点，若，则的取值范围是 ．
17．如图，反比例函数y=的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k= ．
18．如图，在中，，点P从点A开始沿向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动．如果P，Q分别同时出发，当的面积最大时，运动时间t为 s．
三、解答题：（本大题共8小题，共计72分，在答题卡对应的位置上作答，解答应写出文字说明过程或演算步骤．）
19．若且x＋y＋z＝18，分别求x、y、z的值．
20．已知二次函数，当时，函数有最大值4，且函数经过点．求二次函数的解析式．
21．如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于点．
（1）求的值;
（2）求的面积．
22．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点F、E在边AC上，DE∥BC，DF∥BE，求证：．
23．某科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的泥地，他们沿着前进路线铺了若干块木板，构成一条临时近道，木板对地面的压强p(Pa)是木板面积S(m2)的反比例函数，其图象如图所示．
(1)写出这一函数的关系式和自变量的取值范围．
(2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？
(3)如果要求压强不超过6000Pa，那么木板的面积至少为多少？
24．随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心米.
（1）请你建立适当的直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；
（2）求出水柱的最大高度是多少？
25．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

26．如图，二次函数的图像与x轴交于和两点，交y轴于点，点C、D是二次函数图像上的一对对称点，一次函数的图像过点B、D．
(1)请直接写出D点的坐标；
(2)求二次函数的解析式；
(3)在x轴上是否存在一点P，使得以P，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点P的坐标．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键；根据二次函数的定义求解即可．
【详解】A．不是二次函数，故A不符合题意；
B．时不是二次函数，故B不符合题意；
C．是二次函数，故C符合题意；
D．等式的右边不是整式，故D不符合题意；
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
【详解】解：A、顶点坐标是，故符合题意，
B、顶点坐标是，故不符合题意，
C、顶点坐标是，故不符合题意，
D、顶点坐标是，故不符合题意，
故选：A．
3．D
【分析】反比例函数，当k＜0，＜0时，随的增大而增大，得到4-m＜0，解不等式然后逐一判断即可
【详解】当k＜0，＜0时，随的增大而增大，得到4-m＜0，即m＞4，选项中只有D符合要求，故选D
【点睛】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键
4．A
【分析】由题干可得y＝2x，代入计算即可求解．
【详解】∵，
∴y＝2x，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．即若，则ad＝bc，比较简单．
5．D
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了平移的规律，平移的规律是：左加右减，上加下减．
根据二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，即得图象的函数表达式．
【详解】解：二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位后所得原二次函数的表达式是：，
故选：D．
6．B
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：由得，3a=2b，
A、由比例的基本性质得： 3a=2b，正确，不符合题意；
B、由比例的基本性质得3a=2b，错误，符合题意；
C、由比例的基本性质得：3a=2b，正确，不符合题意；
D、由比例的基本性质得：3a=2b，正确，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．
7．D
【分析】可先根据二次函数的图象判断a、b的符号，再判断一次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【详解】由二次函数图象，得出a＜0，，b＜0，
A、一次函数图象，得a＞0，b＞0，故A错误；
B、一次函数图象，得a＜0，b＞0，故B错误；
C、一次函数图象，得a＞0，b＜0，故C错误；
D、一次函数图象，得a＜0，b＜0，故D正确；
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
8．D
【详解】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出的解集：
由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）．
由图象可知：的解集即是y＜0的解集，
∴x＜－1或x＞5．故选D．
9．C
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由DE∥BC得，然后利用比例性质求EC和AE的值即可
【详解】∵，
∴，即，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】此题考查平行线分线段成比例，解题关键在于求出AE
10．D
【分析】直接利用反比例函数的性质分析得出答案．
【详解】∵点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y=（k＜0）上，
∴（﹣2，y1），（﹣1，y2）分布在第二象限，（3，y3）在第四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，
∴y3＜y1＜y2．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键．
11．C
【分析】此题考查的是相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解题的关键．
如图，过点作交于点．得出利用相似三角形性质即可求解．
【详解】解：如图，过点作交于点．

∵，点是的中点，
∴
则，
∴，
故答案为：C．
12．B
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴对称轴为x＝＞0，
∵a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故①错误；
②∵对称轴为x＝＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，
故②错误；
③由图象的对称性可知：当x＝3时，y＜0，
∴9a＋3b+c＜0，
故③错误；
④由图象可知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；
故④正确；
⑤由图象可知当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴，
故⑤正确．
综上所述，正确的结论是：④⑤．
故选：B．
【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，利用对称轴的范围求a与b的关系、熟练掌握二次函数与方程之间的转换是基础，数形结合的方法是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了抛物线的对称轴；
根据抛物线的对称轴公式列式计算即可．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
故答案为：．
14．6
【分析】根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即．即可求解．
【详解】解：若b是a、c的比例中项，
即．则．
故答案为：6
【点睛】本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．
15．
【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的联系，掌握二次函数与x轴有交点，则是解题的关键．
【详解】解：∵函数的图象与轴有交点，
∴，
解得：，
故答案为：．
16．或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，当一次函数的值大于反比例函数的值时，直线在双曲线的上方，直接根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的取值范围即可，理解函数图象与函数值之间的关系是解题的关键．
【详解】解：根据函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数图像的上方， 即时，
∴的取值范围为：或，
故答案为：或．
17．-3
【详解】分析：由平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，在得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可．
详解：过点P做PE⊥y轴于点E，
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB=CD
又∵BD⊥x轴
∴ABDO为矩形
∴AB=DO
∴S矩形ABDO=S▱ABCD=6
∵P为对角线交点，PE⊥y轴
∴四边形PDOE为矩形面积为3
即DO•EO=3
∴设P点坐标为（x，y）
k=xy=﹣3
故答案为﹣3
点睛：本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义以及平行四边形的性质．
18．2
【分析】求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数的绝对值是较小的整数时，用配方法较好．
本题考查二次函数最大(小)值的求法．先用含的代数式表示出、再根据三角形的面积公式计算．
【详解】解：根据题意得，
三角形面积为：
∴当时，的面积最大为，
故答案为：2．
19．x＝4，y＝6，z＝8
【分析】设，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，代入x＋y＋z＝18即可求解；
【详解】解：设，
则x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∵x+y+z＝18，
∴2k+3k+4k＝18，
解得：k＝2，
∴x＝2k＝4，y＝3k＝6，z＝4k=8．
【点睛】本题主要考查比例的性质，正确计算是解本题的关键．
20．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解。一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解，当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解；
根据题意得到抛物线的顶点坐标为，于是可设顶点式，然后把代入求出a的值即可．
【详解】解：∵当时，函数有最大值4，
∴二次函数的顶点坐标为．
∴设二次函数的表达式为，
把代入函数表达式，
解得．
∴该二次函数的表达．
21．（1）；（2）．
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式中，即可求出，然后将点B的坐标代入反比例函数解析式中即可求出m的值，最后将点A和点B的坐标代入一次函数解析式中即可求出；
（2）先求出一次函数与y轴的交点坐标，过点A作AD⊥y轴于D，过点B作BE⊥y轴于E，易知AD=1，BE=4，然后根据即可求出结论．
【详解】解：（1）∵反比例函数与一次函数的图象交于点
∴，，
得，
得
综上所述，；
（2）由（1）知一次函数的图象轴的交点坐标为，设点C（0,6），过点A作AD⊥y轴于D，过点B作BE⊥y轴于E，易知AD=1，BE=4
∴；
【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合大题，掌握利用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式和三角形的面积公式是解决此题的关键．
22．见解析.
【分析】利用平行线分线段成比例定理即可证明；
【详解】证明：∵DE∥BC，
∴=，
∵DF∥BE，
∴=，
∴=．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
23．（1）(S＞0)；（2）3000Pa；（3）0.1m2．
【分析】（1）由图可知1.5×400=600为定值，即k=600，易求出解析式．
（2）在（1）的基础上可求出函数值p．
（3）压强不超过6000Pa，即p≤6000时，求相对应的自变量的范围．
【详解】(1)设所求p与S之间的函数关系式为(k≠0)．
∵A(1.5，400)在该函数的图像上，
∴，
解得k＝600．
∴p与S之间的函数关系式为(S＞0)．
(2)当S＝0.2时，，
故当木板面积为0.2m2时，压强是3000Pa．
(3)由题意知，，解得S≥0.1，
故木板的面积至少为0.1m2．
【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，构建反比例函数模型是解答本题的关键.
24．（1）y=（0≤x≤3）；（2）抛物线水柱的最大高度为米.
【分析】试题分析：（1）以水管和地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴适当的直角坐标系，利用顶点式y=a(x-1)2+k，求解析式
(2)利用顶点式y=- (x-1)2+ (0≤x≤3)，知顶点坐标（1，），从而求出水柱的最大高度是米．
【详解】试题解析：（1）如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.
由题意可设抛物线的函数解析式为y=a(x-1)2+h(0≤x≤3)
抛物线过点（0，2）和（3，0），代入抛物线解析式得：
解得：
所以，抛物线的解析式为：y=- (x-1)2+ (0≤x≤3)，
化为一般形式为：y=-（0≤x≤3）
（2）由（1）知抛物线的解析式为y=- (x-1)2+ (0≤x≤3)，
当x=1时，y=,
所以，抛物线水柱的最大高度为m.
考点：平面直角坐标系，求二次函数解析式及二次函数的最值问题
25．（1） （2），，144元
【分析】（1）利用待定系数法求解可得关于的函数解析式；
（2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
【详解】（1）设与的函数解析式为，
将、代入，得：，
解得：，
所以与的函数解析式为；
（2）根据题意知，
，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，取得最大值，最大值为144，
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．
26．(1)
(2)
(3)存在，P的坐标为或
【分析】（1）根据二次函数的图像与x轴交于和两点可确定抛物线对称轴为，然后再运用抛物线的对称性即可解答；
（2）直接运用待定系数法即可；
（3）设P的坐标为，然后求得的长，然后根据平行四边形的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于和两点，
∴抛物线对称轴为，
∵点C、D是二次函数图像上的一对对称点，
∴．
（2）解：设抛物线的解析式为，
则有：，解得：，
∴二次函数的解析式．
（3）解：∵点C、D是二次函数图像上的一对对称点，、
∴轴，且,
∵以P，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，
∴,
设P的坐标为，则，
∴，
解得：或．
∴P的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像的性质、求二次函数解析式、平行四边形的判定、绝对值方程等知识点，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．