专题09分组分解法重难点专练-2023-2024学年七年级数学专题复习训练（沪教版）

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一、单选题
1．观察等式：；；…已知按一定规律排列的一组数：、、、…、、．若，用含的式子表示这组数的和是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据已知条件和2100=m，逆用同底数幂的乘法变形，结合所给规律即可用含m的式子表示这组数据的和．
【详解】
解：∵2100=m，
∴2100+2101+2102+…+2199+2200
=2100+2100×21+2100×22+…+2100×299+2100×2100
=m+2m+22m+…+299m+2100m
=m(1+2+22+…+299+2100)
=m(1+2100-2+2100)
=m(2m-1)
=2m2-m．
故选：D．
【点睛】
本题考查了规律型-数字的变化类、同底数幂的乘法、因式分解的应用，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律．
2．多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（ ）
A．x+2y+1B．x+2y﹣1C．x﹣2y+1D．x﹣2y﹣1
【答案】C
【分析】
首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案．
【详解】
解：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2
＝（x2﹣4xy+4y2）+（x﹣2y）
＝（x﹣2y）2+（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x﹣2y+1）．
故选：C．
【点睛】
此题考察多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式（x-2y），将其当成整体提出，进而得到答案.
3．若（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），则b+c的值是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【答案】D
【分析】
先将等式的右边展开并移项到左边,然后再根据完全平方公式可以分解因式，即可得到b+c的值．
【详解】
解：∵（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），
∴b2﹣2bc+c2＝4c﹣4﹣4bc+4b，
∴（b2+2bc+c2）﹣4（b+c）+4＝0，
∴（b+c）2﹣4（b+c）+4＝0，
∴（b+c﹣2）2＝0，
∴b+c＝2，
故选：D．
【点睛】
本题考查因式分解的应用，掌握运用完全平方公式进行因式分解是解答本题的关键.
二、填空题
4．二次三项式在实数范围内分解因式的结果是______．
【答案】
【分析】
先提出负号，把括号内多项式分两组4y2-8xy两项一组，x2单独一组，
把两项一组配方4y2-8xy +4x2-4x2=4（y-x）2-4x2，把-4x2与x2合并得-3x2，括号内变为
，再因式分解即可．
【详解】
，
，
，
，
．
故答案为：
【点睛】
本题考查在实数范围内因式分解问题，掌握两数和与差完全平方公式与平方差公式，会灵活运用公式解决问题，特别是三项式因式分解，一般要考虑用两数和与差完全平方公式，而且先配方，在因式分解是解题关键．
5．分解因式：________________．
【答案】
【分析】
首先将前三项分组进而利用完全平方公式和平方差公式分解因式得出即可．
【详解】
解：
故答案为：．
【点睛】
本题考查了分组分解法分解因式，分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组目的是分组后能出现公因式或能应用公式．
6．方程组的解为________．
【答案】
【分析】
先求出，再利用加减消元法进行求解x,y即可．
【详解】
解：
由①得：③
将②代入③得：④
②+④得：，则
将代入④得，
所以
故答案为．
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
7．因式分解：=_______.
【答案】（x+y﹣1）（x﹣y﹣1）．
【分析】
当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中有x的二次项，x的一次项，有常数项．所以要考虑后三项x2﹣2x+1为一组．
【详解】
原式= （x2﹣2x+1）﹣y2= （x﹣1）2﹣y2=（x+y﹣1）（x﹣y﹣1）．
故答案为：（x+y﹣1）（x﹣y﹣1）．
【点睛】
本题考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组．比如本题有x的二次项，x的一次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组．
8．如果，那么______.
【答案】18
【分析】
运用因式分解将x4+7x3+8x2-13x+15转化为x2（x2+2x）+5X3+8x2-13x+15，将x2+2x做为整体代入上式，这样就降低了x的次数，并进一步转化为5x（x2+2x）+x2-13x+15，再将x2+2x做为整体代入5x（x2+2x）+x2-13x+15式，此时原式转化为x2+2x+15，又出现x2+2x，再代入求解即可．
【详解】
解：∵x2+2x=3
∴x4+7x3+8x2-13x+15=x2（x2+2x）+5x3+8x2-13x+15
=x2×3+5x3+8x2-13x+15
=5x3+11x2-13x+15
=5x（x2+2x）+x2-13x+15
=15x+x2-13x+15
=x2+2x+15
=3+15
=18
故答案为18.
.
【点睛】
本题考查因式分解．本题解决的关键是将x2+2x整体逐级代入x4+7x3+8x2-13x+15变化后的式子，降低了x的次数，使问题最终得以解决．
9．已知(2019－a)(2017－a) ＝1000，请猜想(2019－a)2＋(2017－a)2＝______
【答案】2004
【分析】
根据已知，将(2019－a)2＋(2017－a)2进行配方，配方后，将已知代入便可求解.
【详解】
解: (2019－a)2＋(2017－a)2
=
=
=2004
【点睛】
本题考查公式的灵活运用，将求得适当配方，便可找到答案了，熟悉公式的应用是解题关键.
10．若a, b, c 满足，则________
【答案】
【分析】
关键整式的乘法法则运算，并整体代入变形即可.
【详解】
因为
所以 ，即
因为
所以
因为
所以
因为
所以
即


因为
即


故答案为：
【点睛】
本题考查的是整式的乘法，熟练掌握乘法法则并会对算式进行变形是关键.
11．在实数范围内因式分解：__________．
【答案】
【分析】
将原多项式提取9，然后拆项分组为 ，利用完全平方公式将前一组分解后，再利用平方差公式继续在实数范围内分解.
【详解】
解：


故答案为：
【点睛】
本题考查在实数范围内因式分解，利用分组分解法将原多项式“三一”分组后采用公式法因式分解，注意在实数范围内因式分解是指系数可以是根式.
12．如果关于的二次三项式在实数范围内不能因式分解，那么的值可以是_________.（填出符合条件的一个值）
【答案】5
【分析】
根据前两项，此多项式如用十字相乘方法分解，m应是3或-5；若用完全平方公式分解，m应是4，若用提公因式法分解，m的值应是0，排除3、-5、4、0的数即可.
【详解】
当m=5时，原式为，不能因式分解，
故答案为：5.
【点睛】
此题考查多项式的因式分解方法，熟记每种分解的因式的特点及所用因式分解的方法，掌握技巧才能熟练运用解题.
13．工人师傅按照“最优化处理”打包多个同一款式长方体纸盒，其“最优化处理”是指：每相邻的两个纸盒必须以完全一样的面对接，最后打包成一个表面积最小的长方体，已知长方体纸盒的长xcm、宽ycm、高zcm都为整数，且x＞y＞z＞1，x+z＝2y，x+y+z+xy+xz+yz+xyz＝439，若将六个此款式纸盒按“最优化处理”打包，其表面积为_____cm2．
【答案】956
【分析】
根据x+y+z+xy+xz+yz+xyz＝439可得（x+1）（y+1）（z+1）＝440，再根据题意可得（x+1）+（z+1）＝2（y+1），进一步得到x+1＝11，y+1＝8，z+1＝5，解方程求得x，y，z，再根据最优化处理时，最大的表面被重叠，依此可求表面积．
【详解】
∵ x+y+z+xy+xz+yz+xyz＝439，
∴ x+y+z+xy+xz+yz+xyz+1＝440，
∴（x+1）（y+1）（z+1）＝440，
∵ x+z＝2y，
∴（x+1）+（z+1）＝2（y+1），
∵ z+1≥3，y+1≥4，x+1≥5，
其中5+11＝2×8，
∴ x+1＝11，y+1＝8，z+1＝5，
解得x＝10，y＝7，z＝4，
最优化处理时，最大的表面被重叠，
表面积为（7×10×2+4×7×12+4×10×12＝956（cm2）．
故答案为：956．
【点睛】
本题考查因式分解的应用，解答的关键是认真分析已知，利用因式分解对方程变形，根据已知要求解决实际问题．
14．阅读下面材料：
一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a+b+c，abc，a2+b2，…
含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是a+b和ab，像a2+b2，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b，ab表示，例如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．请根据以上材料解决下列问题：
（1）式子①a2b2②a2﹣b2③中，属于对称式的是_______（填序号）；
（2）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n．
①若，求对称式的值；
②若n＝﹣4，直接写出对称式的最小值．
【答案】（1）①③；（2）①＝6；②的最小值为．
【分析】
（1）根据对称式的定义进行判断；
（2）①先得到a+b＝﹣2，ab＝，再变形得到＝＝，然后利用整体代入的方法计算；
②根据分式的性质变形得到＝，再利用完全平方公式变形得到（a+b）2﹣2ab+，所以原式=m2+，然后根据非负数的性质可确定的最小值．
【详解】
解：（1）式子①a2b2②a2﹣b2③中，属于对称式的是 ①③．
故答案为①③；
（2）∵x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+n
∴a+b＝m，ab＝n．
①a+b＝﹣2，ab＝，
＝＝＝＝6；
②＝
＝（a+b）2﹣2ab+
＝m2+8+
＝m2+，
∵m2≥0，
∴的最小值为．
【点睛】
本题主要考查完全平方公式，关键是根据题目所给的定义及完全平方公式进行求解即可．
15．若一个自然数t能写成t＝x2﹣y2（x，y均为正整数，且x≠y），则称t为“万象数”，x，y为t的一个万象分解，在t的所有万象分解中，若最小，则称x，y为t的绝对万象分解，此时F（t）＝．例如：32＝92﹣72＝62﹣22，因为＝，＝，．所以9和7为32的绝对万象分解，则F（32）＝．若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“博雅数”．例如2112，4554均为“博雅数”．若一个四位正整数m是“万象数”且能被13整除，“博雅数”n的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是m的一个万象分解，则所有满足条件的数m中F（m）的最大值为______．
【答案】
【分析】
设n的个位数字是a，十位数字是b，由“博雅数”和万象分解的定义，可以得到m=99(a+b)(a-b)，再由a与b的取值范围，m同时能被13整除，可以确定m的所有取值可能为1287，3861，6435；再将这三个数进行万象分解，确定F(m)．
【详解】
设n的个位数字是a，十位数字是b，
∵n是“博雅数”，
∵n的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是m的一个万象分解，
∴m＝（10a+b）2﹣（10b﹣a）2＝99（a+b）（a﹣b），
∵m能被13整除，
∴（a+b）（a﹣b）是13的倍数，
∵1≤a≤9，0≤b≤9，
∴a+b＝13，
∴a＝6，b＝7；a＝7，b＝6；a＝5，b＝8；a＝8，b＝5；a＝9，b＝4；a＝4，b＝9；
∴m的值所有情况为：
1287＝99×13×1＝762﹣672＝362﹣32；
3861＝99×13×3＝852﹣582＝752﹣422＝692﹣482；
6435＝99×13×5＝942﹣492＝1022﹣632＝1142﹣332＝3622﹣3532；
∵F（1287）＝；F（3861）＝；F（6435）＝；
∴F（m）的最大值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考査因式分解的应用；能够通过定义，结合数整除的性质，借助因式分解准确找到符合条件的三个数的所有万象分解是解题的关键．
16．若a-b=1，则的值为____________．
【答案】1
【分析】
先局部因式分解，然后再将a-b=1代入，最后在进行计算即可.
【详解】
解：
=（a+b）（a-b）-2b
=a+b-2b
=a-b
=1
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，弄清题意、并根据灵活进行局部因式分解是解答本题的关键.
三、解答题
17．先分解因式，再求值：，其中，．
【答案】，．
【分析】
先利用分组分解法、公式法、提公因式法进行因式分解，再将a、b的值代入求值即可得．
【详解】
原式，
，
，
当，时，原式，
，
．
【点睛】
本题考查了利用分组分解法、公式法、提公因式法进行因式分解，因式分解的主要方法包括：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握各方法是解题关键．
18．已知，且，都是正整数，试求，的值．
【答案】x=3，y=2．
【分析】
运用十字相乘法对等式的左边进行因式分解，再根据，的值均是正整数进行讨论即可得出答案．
【详解】
∵，且，都是正整数
∴是正整数，是整数，
又∵，7是正整数，
∴，均是正整数，
又∵7=7×1，
∴或，
解得，
解得（不符合题意，舍去）
所以x=3，y=2．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，熟练掌握十字相乘法分解因式并确定出关于x、y的方程组是解题的关键．
19．
【答案】
【分析】
首先把一二项分为一组、三四五项分为一组，然后再利用公式法和提公因式法分解．
【详解】
解：原式
【点睛】
本题考查因式分解，综合利用分组分解、公式法和提公因式法分解是解题关键．
20．
【答案】．
【分析】
综合利用分组分解法、公式法、提公因式法进行因式分解即可得．
【详解】
原式，
，
．
【点睛】
本题考查了综合利用分组分解法、公式法、提公因式法进行因式分解，因式分解的主要方法包括：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握各方法是解题关键．
21．因式分解：
【答案】
【分析】
将分组为，然后利用完全平方公式及平方差公式进行分解即可．
【详解】
=
=
．
【点睛】
本题考查了利用分组分解法分解因式，涉及了完全平方公式、平方差公式，正确进行分组是解题的关键．
22．
【答案】
【分析】
观察原式特点，先给原式后三项添括号，利用完全平方公式化为，再利用平方差公式分解因式即可解答．
【详解】
解：原式
．
【点睛】
本题考查了分组分解法、公式法分解因式，熟记完全平方公式和平方差公式，能正确的将多项式分组是解答的关键．
23．当时，多项式的值为0，求的值，并将该多项式进行因式分解．
【答案】，．
【分析】
先将x的值代入，解关于k的一元一次方程求出k的值，再综合利用分组分解法、提公因式法、公式法进行因式分解即可得．
【详解】
当时，多项式的值为0，
即，
解得；
则原多项式为，
因式分解得：原式，
，
，
．
【点睛】
本题考查了综合利用分组分解法、提公因式法、公式法进行因式分解，解一元一次方程，熟练掌握因式分解的各方法是解题关键．
24．完全平方公式是初中数学的重要公式之一：，完全平方公式既可以用来进行整式计算又可以用来进行分解因式，
发现：
应用：
(1)写出一个能用上面方法进行因式分解的式子，并进行因式分解；
(2)若，请用m，n表示a、b；
拓展：如图在直角三角形ABC中，BC=1，，延长CA至D，使AD=AB，求BD的长（参考上面提供的方法把结果进行化简）
【答案】（1）见解析；（2）a=m2+2n2，b=2mn；拓展：BD=（+）．
【分析】
（1）依照样例进行解答即可；
（2）把等式右边按照完全平方公式进行计算，然后再根据无理数相等的性质进行解答即可；
拓展：先根据勾股定理求得AB长，继而利用勾股定理求出BD2，再结合上面的方法进行因式分解求得BD长即可．
【详解】
（1）4+2=3+2+1=（）2+2+12=（+1）2；
（2）(n+m)2=m2+2mn+2n2=m2+2n2+2mn，
又，
所以a=m2+2n2，b=2mn；
拓展：由勾股定理得AC2+BC2=AB2，BC=1，，
所以AB2=12+（）2=1+3=4，
∴AB=2，
又AB=AD，
所以AD=2，CD=2+，
BD2=BC2+CD2=12+(2+）2=1+4+4+3=8+4；
8+4=6+4+2=（）2+4+（）2=（+）2，
所以BD2=（+）2，
所以BD=±（+），
因为BD为三角形的一边，
所以-（+）不合题意舍去，
所以BD=（+）．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，因式分解的应用，勾股定理等知识，弄清题意，灵活运用相关知识是解题的关键．
25．因式分解：
【答案】
【分析】
先把后三项作为一组，运用完全平方公式分解，再运用平方差公式分解．
【详解】
解：．
【点睛】
本题考查了多项式的因式分解，属于常考题型，正确分组、掌握解答的方法是解题关键．
26．用平方差公式进行因式分解在数的运算中有着广泛的应用，比如，数的整除性探究中的应用．
例：能被2009整除吗？
解:
∵ 中有因数2009，
∴ 一定能被2009整除．
请你试一试：已知数字恰能被两个在60和70之间的整数整除，求出这两个数．
【答案】63和65．
【分析】
根据题目中的运算规律进行因式分解，即可求出答案．
【详解】
解：
=
=；
=；
∴可被63与65整除，
即所求在60和70之间的两个整数是63和65．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，以及平方差公式的运用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法进行解题．
27．因式分解：
【答案】
【分析】
当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中有x的二次项，x的一次项，有常数项．所以要考虑后三项x2-2x+1为一组．
【详解】
解：x2-y2-2x+1，
=-y2+（x2-2x+1），
=-y2+（x-1）2，
=（x+y-1）（x-y-1）．
【点睛】
本题考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组．比如本题有x的二次项，x的一次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组．
28．分解因式：．
【答案】
【分析】
先分组提公因式、然后再用平方差公式因式分解即可．
【详解】
解：原式=
．
【点睛】
本题主要考查了因式分解，掌握分组提公因式和运用平方差公式因式分解是解答本题的关键．
29．分解因式：．
【答案】
【分析】
先分组，再利用提公因式法分解因式．
【详解】
=
=
=．
【点睛】
此题考查分解因式：分组分解法、提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、因式分解法，根据每个多项式的特点选用适合的分解方法是解题的关键．
30．因式分解：．
【答案】
【分析】
原式第一、三项结合，二、四项结合，提取公因式后再提取公因式，利用平方差公式分解即可．
【详解】
解：原式=
=
=
=．
【点睛】
本题考查了因式分解：分组分解法：对于多于三项以上的多项式的因式分解，先进行适当分组，再把每组因式分解，然后利用提公因式法或公式法进行分解．
31．分解因式：
【答案】
【分析】
先将多项式减去再加上，然后利用分组分解法、平方差公式、十字相乘法和提取公因式法因式分解即可．
【详解】
解：
=
=
=
=
=．
【点睛】
此题考查的是因式分解，掌握利用添项法、分组分解法、平方差公式、十字相乘法和提取公因式法因式分解是解题关键．
32．分解因式：.
【答案】
【分析】
首先去括号，再重新分组为m2n2+2mn+1与（n2+m2-2mn），再利用公式法分解因式即可．
【详解】
解：原式=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn
=（m2n2+2mn+1）-（m2-2mn+n2）
=（mn+1）2-（m-n）2
=（mn+m-n+1）（mn-m+n+1）.
【点睛】
此题考查了分组分解法分解因式以及二次三项式的分解因式，本题没有公因式可提取，又不能直接应用公式，因而考虑用拆项法制造分组分解的条件.拆项法是因式分解中一种技巧性较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解，
33．证明：当m，n都是大于1的整数时，是合数．
【答案】见解析
【分析】
先把原式进行因式分解，再证明各式均大于1即可．
【详解】
证明：根据合数的定义可知，只要把n4+4m4化为两个因式积的形式即可，
m4+4n4=m4+（2n2）2+4m2n2-4m2n2，
=（2n2+m2）2-4n2m2，
=（2n2+m2-2nm）（2n2+m2+2nm），
而m2+2mn+2n2＞m2-2mn+2n2，
m2-2mn+2n2=（n-m）2+n2≥n2＞1，
∴2n2+m2-2nm、2n2+m2+2nm均为大于1的整数，
故 n4+4m4是合数．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，熟知质数和合数的概念是解答此题的关键．质数的定义，即在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数叫质数．
34．设x、y为正整数，且，求xy的值.
【答案】36或32
【分析】
由原方程变形为x2+（y+2）2=100，得到y=-2，由于x，y为正整数，则x只能取1～9之间的整数，所以当x=6，y=6；当x=8，y=4，即可得到xy的值．
【详解】
∵x2+y2+4y-96=0，
∴x2+（y+2）2=100，
∴y=-2，
而x，y为正整数，
∴x只能取1～9之间的整数，
∴当x=6，y=6；当x=8，y=4，
∴xy=36或32．
【点睛】
本题考查了方程整数解的求法：把方程进行变形，使方程左边分解为含未知数的两个式子，右边为常数，然后利用整数的整除性求解．
35．（阅读材料）
因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．
再将“”还原，原式．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.
（问题解决）
（1）因式分解：；
（2）因式分解：；
（3）证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方．
【答案】（1）．（2）；（3）见解析.
【分析】
（1）把（x-y）看作一个整体，直接利用十字相乘法因式分解即可；
（2）把a+b看作一个整体，去括号后利用完全平方公式即可将原式因式分解；
（3）将原式转化为，进一步整理为（n2+3n+1）2，根据n为正整数得到n2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方．
【详解】
（1）；
（2）；
（3）原式
．
∵为正整数，
∴为正整数．
∴代数的值一定是某个整数的平方．
【点睛】
本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
36．阅读下列材料，然后解答问题：
问题：分解因式：.
解答：把带入多项式，发现此多项式的值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出，的值.再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”.
（1）求上述式子中，的值；
（2）请你用“试根法”分解因式：.
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）先找出一个x的值，进而找出一个因式，再将多项式设成分解因式的形式，即可得出结论；
（2）先找出x=-1时，得出多项式的值，进而找出一个因式，再将多项式设成分解因式的形式，即可得出结论．
【详解】
解：（1）把带入多项式，发现此多项式的值为0，
∴多项式中有因式，
于是可设，
得出：，
∴，，
∴，，
（2）把代入，多项式的值为0，
∴多项式中有因式，
于是可设，
∴，，
∴，，
∴
【点睛】
此题是分解因式，主要考查了试根法分解因式的理解和掌握，解本题的关键是理解试根法分解因式．
37．阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：
根据以上材料，解答下列问题：
（1）用多项式的配方法将化成的形式；
（2）利用上面阅读材料的方法，把多项式进行因式分解；
（3）求证：，取任何实数时，多项式的值总为正数．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【分析】
（1）根据题意，利用配方法进行解答，即可得到答案；
（2）根据题意，根据材料的方法进行解答，即可得到答案；
（3）利用配方法把代数式进行化简，然后由完全平方的非负性，即可得到结论成立.
【详解】
解：（1）
=
；
（2）
；
（3）证明：
；
∵，，
∴的值总是正数．
即的值总是正数．
【点睛】
此题考查了因式分解的应用，配方法的应用，以及非负数的性质：偶次方，熟练掌握配方法、因式分解的方法是解本题的关键．
38．（1）若、、是三角形的三条边，求证：．
（2）在中，三边分别为、、，且满足，，试探究的形状．
（3）在中，三边分别为、、，且满足，试探究的形状．
【答案】（1）见解析；（2）是等边三角形，见解析；（3）是等腰三角形，见解析
【分析】
（1）用分组分解法进行因式分解，先变形为，再用完全平方公式和平方差公式分解，然后根据三角形三边关系即可证明；
（2）由题意可得．结合可得，故可得到，整理得．用非负性可求得a、b、c的数量关系，于是可作出判断；
（3）对进行因式分解，得到
据此可解．
【详解】
解：（1）∵
∵、、是三角形三边，
∴且．
∴．
即．
（2）是等边三角形，理由如下：
∵，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，，，
∴，，．
∴．
∴是等边三角形．
（3）是等腰三角形，理由如下：
=
=
=
=
=
∵
∴=0
∴或或．
∴是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，灵活运用提公因式法、公式法、分组分解法进行因式分解是解题的关键.
39．请分解下列因式．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）
【分析】
（1）用分组分解法，第一二项一组，第三四项一组，分别提取公因式后，再提公因式即可分解；
（2）用分组分解法，第一二项一组，第三四项一组，分别提取公因式后，再提公因式即可分解；
（3）先分组为，再分别用完全平方公式及提公因式法分解，最后用完全平方公式分解即可；
（4）用分组分解法，前三项一组，后三项一组，第一组提取公因式后，再提公因式即可分解，最后用立方差公式分角即可；
（5）先把第二项乘出来，再分组为，用提公因式法和完全平方公式分解即可；
（6）把k看作常数，用十字相乘法分解即可；
（7）先拆项整理分组为，再用完全平方公式分别分解，最后用平方差公式分解即可；
（8）先拆项整理分组为，再用提公因式分别分解，再提公因式，最后用平方差公式和十字相乘法分解即可.
【详解】
解：（1）
=
=
（2）
=
=
=
=
=
（3）
=
=
=
（4）原式
=
（5）
=
=
=
=
=
（6）原式
（7）原式
=
=
=
（8）原式=
=
=
=
【点睛】
本题考查了因式分解的各种方法，提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，分组分解是难点.注意分解要彻底.
40．已知，，且，求的值．
【答案】0
【分析】
将“a2+b2=1，c2+d2=1“中的“1”代换为等式左边的部分，从而ab+cd=ab×1+cd×1=ab（c2+d2）+cd（a2+b2），最后化为因式分解的形式，再根据ac+bd=0，可得答案．
【详解】
解：
∵，
∴原式=0．
【点睛】
本题考查了因式分解在整式求值中的应用，正确根据已知条件进行因式分解，是解题的关键．
41．（1）分解因式：．
（2）求证：多项式的值一定是非负数．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】
（1）先将（x+1）（x+2）（x+3）（x+6）+x2变形整理为完全平方形式（x2+6）2+12x（x2+6x）+36x2，再运用完全平方公式分解即可；
（2）先把代数式化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案．
【详解】
（1）（x+1）（x+2）（x+3）（x+6）+x2
=[（x+1）（x+6）][（x+2）（x+3）]+x2
=（x2+6+7x）（x2+6+5x）+x2
=（x2+6）2+12x（x2+6）+36x2
=（x2+6x+6）2．
（2）（x2-4）（x2-10x+21）+100
=（x+2）（x-2）（x-3）（x-7）+100
=[（x+2）（x-7）][（x-2）（x-3）]+100
=（x2-5x-14）（x2-5x+6）+100
=（x2-5x）2-8（x2-5x）+16
=（x2-5x-4）2，
因为（x2-5x-4）2是一非负数，
所以多项式（x2-4）（x2-10x+21）+100的值一定是非负数．
【点睛】
本题考查了公式法分解因式及其应用，利用交换律结合律分成两组，使得整式相乘后得到的多项式有两项相同，将多项式相同的部分看作一个整体进行适当的变形是解本题的关键．
42．分解因式：．
【答案】
【分析】
把y看作常数，整理成关于字母x的降幂排列的二次三项式，然后用十字相乘法分解即可.
【详解】
解： 原式
=
=
=
【点睛】
本题考查了含两个字母的多项式的因式分解，把其中一个字母看作常数对多项式进行重新排列是解题的关键.
43．阅读材料：若，求的值．
解：∵，∴，
，∴，，∴．
根据你的观察,探究下面的问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知△ABC的三边长,且满足，求c的取值范围；
（3）已知，，比较的大小．
【答案】（1）xy的值是9；（2）1Q．
【分析】
（1）根据x2-2xy+2y2+6y+9=0，先仿照例子得出（x-y）2+（y+3）2=0，求出x、y的值，从而得出结果；
（2）首先根据a2+b2-10a-12b+61=0，先得出（a-5）2+（b-6）2=0，求出a、b的值，然后根据三角形的三条关系，可求出c的取值范围；
（3）利用作差法，得出P-Q=x2-6x+y2+4y+14=(x-3)2+(y+2)2+1>0，从而可得出结果．
【详解】
解：（1）∵x2-2xy+2y2+6y+9=0，
∴(x2-2xy+y2)+(y2+6y+9)=0，
∴(x-y)2+(y+3)2=0，
∴x-y=0，y+3=0，
∴x=-3，y=-3，
∴xy=(-3)×(-3)=9，
即xy的值是9；
（2）∵a2+b2-10a-12b+61=0，
∴(a2-10a+25)+(b2-12b+36)=0，
∴(a-5)2+(b-6)2=0，
∴a-5=0，b-6=0，
∴a=5，b=6，
根据三角形的三边关系可得，6-5∴1（3）P-Q=x2-6x+y2+4y+14=(x-3)2+(y+2)2+1>0，
∴P>Q．
【点睛】
此题主要考查了因式分解的运用，关键是利用完全平方公式将式子进行配方，然后利用非负数的性质求解，将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
44．利用我们学过的知识，可以导出下面这个等式：
．
该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
（1）请你展开右边检验这个等式的正确性；
（2）利用上面的式子计算：
．
【答案】（1）见解析；（2）3．
【分析】
（1）根据完全平方公式和合并同类项的方法可以将等式右边的式子进行化简，从而可以得出结论；
（2）根据题目中的等式可以求得所求式子的值．
【详解】
解：（1）[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]
=（a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2）
=×（2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac）
=a2+b2+c2-ab-bc-ac，
故a2+b2+c2-ab-bc-ac=[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]正确；
（2）20182+20192+20202-2018×2019-2019×2020-2018×2020
=×[（2018-2019）2+（2019-2020）2+（2020-2018）2]
=×（1+1+4）
=×6
=3．
【点睛】
本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，熟练掌握完全平方公式并能灵活运用．
45．利用完全平方公式进行因式分解，解答下列问题:
因式分解: ．
填空: ①当时，代数式_ ．
②当_ 时，代数式．
③代数式的最小值是_ ．
拓展与应用:求代数式的最小值．
【答案】(1)；(2) ①，②3，③4；(3)3
【分析】
（1）符合完全平方公式，用公式进行因式分解即可；
（2）①先将代数式进行因式分解，再代入求值；
②将代数式因式分解成完全平方的形式，观察得出结果；
③先将代数式因式分解为完全平方公式，根据一个数的平方为非负来求解最小值；
（3）先将代数式因式分解为关于a、b的2个完全平方公式，再求最小值
【详解】
（1）根据完全平方公式：；
（2）①，将代入得，结果为：0；
②，化简得：，故x=3；
③
∵为非负，∴当，即x=－4时，有最小值
∴最小值为：4
（3）
根据上一问结论可知，当a=3，b=－4时有最小值，最小值为：3
【点睛】
在求解最小值和最大值的问题中，我们通常会将式子变形成完全平方的形式，另平方部分为0即可
46．阅读以下内容解答下列问题．
七年级我们学习了数学运算里第三级第六种开方运算中的平方根、立方根，也知道了开方运算是乘方的逆运算，实际上乘方运算可以看做是“升次”，而开方运算也可以看做是“降次”，也就是说要“升次”可以用乘方，要“降次”可以用开方，即要根据实际需要采取有效手段“升”或者“降”某字母的次数．本学期我们又学习了整式乘法和因式分解，请回顾学习过程中的法则、公式以及计算，解答下列问题：
（1）对照乘方与开方的关系和作用，你认为因式分解的作用也可以看做是 ．
（2）对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解，这种因式分解的方法叫“试根法”．
①求式子中m、n的值；
②用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．
【答案】（1）降次；（2）①m＝﹣3，n＝﹣5；②（x+1）（x+2）2．
【分析】
（1）根据材料回答即可；
（2）①分别令x=0和x=1即可得到关于m和n的方程，即可求出m和n的值；
②把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得出多项式含有因式（x+1），再利用①中方法解出a和b，即可代入原式进行分解.
【详解】
解：（1）根据因式分解的定义可知：因式分解的作用也可以看做是降次，
故答案为：降次；
（2）①在等式x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n）中，
令x＝0，可得：，解得：n=-5，
令x=1，可得：，
解得：m=﹣3，
故答案为：m＝﹣3，n＝﹣5；
②把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得x3+5x2+8x+4=0，
则多项式x3+5x2+8x+4可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，
同①方法可得：a＝4，b＝4，
所以x3+5x2+8x+4＝（x+1）（x2+4x+4），
＝（x+1）（x+2）2．
【点睛】
本题考查了因式分解，二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂材料中的意思，利用所学知识进行解答.
47．阅读下列材料，解答下列问题：
材料一：一个三位以上的自然数，如果该自然数的末三位表示的数与末三位之前的数字表示的数之差是11的倍数，我们称满足此特征的数叫“网红数”，如：65362，362﹣65＝297＝11×27，称65362是“网红数”．
材料二：对任的自然数p均可分解为P＝100x+10y+z（x≥0，0≤y≤9，0≤z≤9且x、y，z均为整数）如：5278＝52×100+10×7+8，规定：G（P）＝．
（1）求证：任两个“网红数”之和一定能被11整除；
（2）已知：S＝300+10b+a，t＝1000b+100a+1142（1≤a≤7，0≤b≤5，其a、b均为整数），当s+t为“网红数”时，求G（t）的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）39
【分析】
（1）设两个“网红数”为，，（n、b表示末三位表示的数，m、a表示末三位之前的数字），则n﹣m＝11k，b﹣a＝11h，所以+＝1001m+1001a+11（k+h）＝11（91m+91n+h+k），即可证明；
（2）s＝3×100+10b+a，t＝1000（b+1）+100（a+1）+4×10+2，所以s+t＝1000（b+1）+100（a+4）+10（b+4）+a+2；①当1≤a≤5时，s+t＝，则﹣（b+1）能被11整除，即101a+9b+441＝11×9a+2a+11b﹣2b+40×11+1能被11整除，由已知可得﹣7≤2a﹣2b+1≤11，求出a＝5，b＝0；②当6≤a≤7时，s+t＝，则﹣（b+2）能被11整除，所以101a+9b﹣560＝11×9a+2a+11b﹣2b﹣51×11+1能被11整除，可得3≤2a﹣2b+1≤15，求出a＝6，b＝1或a＝7，b＝2，分别求出相应的G（t）值即可．
【详解】
解：（1）设两个“网红数”为，，（n、b表示末三位表示的数，m、a表示末三位之前的数字），
∴n﹣m＝11k，b﹣a＝11h，
∵+＝1001m+1001a+11（k+h）＝11（91m+91n+h+k），
∴m、a、k、h都是整数，
∴91m+91n+h+k为整数，
∴任两个“网红数”之和一定能被11整除；
（2）s＝3×100+10b+a，t＝1000（b+1）+100（a+1）+4×10+2，
∴s+t＝1000（b+1）+100（a+4）+10（b+4）+a+2，
①当1≤a≤5时，s+t＝，
则﹣（b+1）能被11整除，
∴101a+9b+441＝11×9a+2a+11b﹣2b+40×11+1能被11整除，
∴2a﹣2b+1能被11整除，
∵1≤a≤5，0≤b≤5，
∴﹣7≤2a﹣2b+1≤11，
∴2a﹣2b+1＝0或11，
∴a＝5，b＝0，
∴t＝1642，G（1642）＝17.25；
②当6≤a≤7时，s+t＝，
则﹣（b+2）能被11整除，
∴101a+9b﹣560＝11×9a+2a+11b﹣2b﹣51×11+1能被11整除，
∴2a﹣2b+1能被11整除，
∵6≤a≤7，0≤b≤5，
∴3≤2a﹣2b+1≤15，
∴2a﹣2b+1＝11，
∴a＝6，b＝1或a＝7，b＝2，
∴t＝2742或3842，
∴G（2742）＝28或G（3842）＝39，
∴G（t）的最大值39．
【点睛】
此题主要考查新定义运算的应用，解题的关键根据题意理解“网红数”的定义及因式分解的应用．
48．教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
原式=x2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)；
例如：求代数式2x2+4x-6的最小值．
原式=2x2+4x-6=2(x2+2x-3)=2(x+1)2-8．可知当x=-1时，2x2+4x-6有最小值，最小值是-8．
（1）分解因式：=______．
（2）试说明：x、y取任何实数时，多项式的值总为正数．
（3）当m，n为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）当，时，多项式有最小值，最小值为5．
【分析】
（1）仿样例对含字母的项进行配方化成完全平方式，再运用平方差公式进行分解因式；
（2）先用配方法把原式化成完全平方式与常数的和的形式，再利用非负数的性质进行解答；
（3）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质进一步得最小值．
【详解】
（1）
；
（2）
，
∵，
∴，
∴原式的值总为正数；
（3）
，
当，即，时，原式取最小值5．
∴当，时，多项式有最小值5．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
49．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．例如：．
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如：
③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
观察得出：两个因式分别为与
例如：
分析：
解：原式
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）
②（拆项法）
③________．
（2）已知：、、为的三条边，，求的周长．
【答案】（1）①，②，③；（2）7
【分析】
（1）①将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；③直接利用十字相乘法分解即可；
（2）先利用完全平方公式对等式的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出，，的值，然后求和即可得出答案．
【详解】
解：（1）①
；
②
；
③；
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴．
∴的周长为7．
【点睛】
本题考查因式分解的方法及其在几何图形问题中的应用，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键．
50．若一个正整数a可以表示为，其中b为大于2的正整数，则称a为“十字数”，b为a的“十字点”．例如．
（1）“十字点”为7的“十字数”为 ；130的“十字点”为 ；
（2）若b是a的“十字点”，且a能被整除，其中b为大于2的正整数，求a的值；
（3）m的“十字点”为p，n的“十字点”为q，当时，求的值．
【答案】（1）40，12；（2）4；（3）10
【分析】
（1）根据十字点的定义计算即可；
（2）先根据得出，再根据a能被整除，得出b的值，即可求出a的值；
（3）根据已知得出（p＞2且为正整数），（q＞2且为正整数），再根据得出，从而得出 或，解之即可得出a、b，继而得出答案．
【详解】
解：（1）“十字点”为7的“十字数”，
∵，∴130的“十字点”为12；
（2）∵b是a的“十字点”，
∴（b＞2且为正整数），
∴，
∵a能被整除，
∴能整除2，
∴b-1=1或b-1=2，
∵b＞2，
∴b=3，
∴；
（3）∵m的“十字点”为p，
∴（p＞2且为正整数），
∵n的“十字点”为q，
∴（q＞2且为正整数），
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，p＞2，q＞2且p、q为正整数；
∴p＞q，p+q＞4；
∴p+q-1＞3；
∵18=3×6=2×9，
∴ 或；
解得：（不合题意舍去），；
∴
【点睛】
本题考查因式分解的应用；能够理解题意，根据题中所给条件将数进行正确的拆解是解题的关键．