六年级奥数——“牛吃草”问题(含答案）

这是一份六年级奥数——“牛吃草”问题(含答案），共8页。试卷主要包含了专题引入，知识清单等内容，欢迎下载使用。
明确牛吃草问题中，必须把草的生长与牛吃的草问题，分开来分析解决，避免复杂错乱。
能够了解问题中的基本不变量并会求出，清楚牛吃草中等量的关系，能够利用求出的不变量来求解变化的问题。
知识梳理

一、专题引入
英国物理学家牛顿曾经编了这样一道数学题：牧场上有一片草，每天生长的一样快，这片草可供10头牛吃22天，或者供16头牛吃10天，如果供22头牛可吃几天？这道题就是有名的牛吃草问题，也叫牛顿问题。
解决这一问题的关键是:在牛吃草的同时，草每天也在不断均匀生长，所以草总量也在不断变化。
二、知识清单
1、牛吃草问题中不变基本量：草的原有量、草的生长速度
2、牛吃草问题中可变量:牛的数量、天数
3、等量关系：草的总量与牛吃的草的总量一致
草的总量=原有草量+草的生长速度×天数（或者草的总量=原有草量-草的减少速度×天数），牛吃的草量=牛头数×1×天数（一般设1头牛1天吃“1”份草）。
草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少天数)；
原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数；
典例分析

考点一：求时间
例1：牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供27头牛吃6周，或者可供23头牛吃9周。问：可供21头牛吃几周?
【解析】1、这片草每天以同样的速度生长是分析问题的难点。我们可以设1头牛1周吃草1份，27头牛6
周吃276=162份，23头牛9周吃草239=207份，比较这两个量发现总草量是不一样的，那是为什么呢？思
考后得出，总草量的差实际上是由于草生长了不同的时间所导致的。9周比6周的草多长了（207-162=45份），
所以每周长出的草量为（45÷3=15份），那么原来草量为162-156=72（份）。
2、接下来也是一个难点，我们可以巧妙的处理一下21头牛，我们可以把它分为2部分，15头牛去吃
新草，剩下的6头牛去吃旧草，什么时候将旧草吃完，整个牧场的草也就吃完了。
解：设1头牛1周吃的草为1份
每周长出的草量为：（23×9-27×6）÷（9-6）=15（份）
草场原有的草量为：27×6－15×6 = 72（份）
21头牛可以吃的周数：72÷（21－15）= 12（周）
答：这片草地可供21头牛吃12周。
考点二:求牛数
例1：牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周？
【解析】设1头牛1周的吃草量为“1”，每周草的生长速度为，原有草量为
，可供（头）牛吃18周
考点三：草量匀速减少
例1： 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可以供多少头牛吃10天？
【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天自然减少的草量为：，原有草
量为：；10天吃完需要牛的头数是：(头)．
考点四：牛羊同吃
例1：（年希望杯六年级二试试题）有一片草场，草每天的生长速度相同。若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完(4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量)。那么，17头牛和20只羊多少天可将草吃完?
【解析】“4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量”，所以可以设一只羊一天的食量为1，那么1头牛30天吃了单位草量，而70只羊16天吃了单位草量，所以草场在每天内
增加了草量，原来的草量为草量，所以如果安排17头牛
和20只羊，即每天食草88草量，经过天，可将草吃完。
考点五：牛数变化
例1：有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可以吃完．现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完．问：原来有多少头牛吃草(草均匀生长)？
【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为，原有草量为：．现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完，如果
不卖掉这4头牛，那么原有草量需增加才能恰好供这些牛吃8天，所以这些牛的头数(头)．
考点六：牛吃草问题变化
例1：一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如果5人淘水8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？
【解析】解答这类问题，都有它共同的特点，即总水量随漏水的延长而增加.所以总水量是个变量。而单位时间内漏进船的水的增长量是不变的.船内原有的水量（即发现船漏水时船 内已有的水量）也是不变的量.对于这个问题我们换一个角度进行分析。
每个人每小时的淘水量为“1个单位”.则船内原有水量与3小时内漏水总量之和 等于每人每小时淘水量×时间×人数，即1×3×10＝30.船内原有水量与8小时漏水量之和为1×5×8=40。
每小时的漏水量等于8小时与3小时总水量之差÷时间差，即（40-30）÷（8-3）=2（即每小时漏进水量为2个单位，相当于每小时2人的淘水量）。
船内原有的水量等于10人3小时淘出的总水量-3小时漏进水量.3小时漏进水量相当于3×2=6人1小时淘水量.所以船内原有水量为30-（2×3）=24。如果这些水（24个单位）要2小时淘完，则需24÷2＝12（人），但与此同时，每小时 的漏进水量又要安排2人淘出，因此共需12+2＝14（人）。
实战演练

课堂狙击
1、牧场有一片青草，每天长势一样，已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天把草吃完，则多少头牛96天可以把草吃完．
【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天新生长的草量为，牧场原
有草量为，要吃96天，需要(头)牛．
2、林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果要4周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃？（假定野果生长的速度不变）
【解析】设一只猴子一周吃的野果为“”，则野果的生长速度是，原有的野果
为，如果要4周吃光野果，则需有只猴子一起吃
3、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天？
【解析】设1头牛1天吃的草为“1”。牧场上的草每天自然减少
原来牧场有草
可供10头牛吃的天数是：(天)。
4、一片牧草，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供20头牛吃12天，或可供60只羊吃24天。如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12头牛与88只羊一起吃可以吃几天？
【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，只羊的吃草量等于头牛的吃草量，只羊的吃草量等于头牛的吃草量，所以草的生长速度为，原有草量为，12头牛与88只羊一起吃可以吃（天）
5、牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。供25头牛可吃几天？
【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，10头牛吃20天共吃了份；15头牛吃10天共吃了
份．第一种吃法比第二种吃法多吃了份草，这50份草是牧场的草天生长出来的，
所以每天生长的草量为，那么原有草量为：．
供25头牛吃，若有5头牛去吃每天生长的草，剩下20头牛需要(天)可将原有牧草吃完，
即它可供25头牛吃5天
6、有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃20天？
【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么天生长的草量为，所以每天生
长的草量为；原有草量为：．20天里，草场共提供草， 可以让头牛吃20天．
7、由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少．经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天．那么，可供11头牛吃几天？
【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，天自然减少的草量为，原有草量为： ．
若有11头牛来吃草，每天草减少；所以可供11头牛吃(天)．

8、：一片草地，可供5头牛吃30天，也可供4头牛吃40天，如果4头牛吃30天，又增加了2头牛一起吃，还可以再吃几天？
【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为，原有草量为：．如果4头牛吃30天，那么将会吃去120的草量，此时原有草量还剩，而牛的头数变为6，现在就相当于：“原有草量30，每天生长草量1，那么6头牛吃几天可将它吃完？”易得答案为：(天)．
课后反击
1、一片草地，每天都匀速长出青草。如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天吃完。那么可供19头牛吃几天？
【解析】 6天时共有草：24×6＝144
10天时共有草：20×10＝200
草每天生长的速度为：（200－144）÷（10－6）＝14
原有草量：144－6×14＝60
可供19头牛： 60÷（19－14）＝12（天）
2、旅客在车站候车室等车,并且排队的乘客按一定速度增加,检查速度也一定,当车站放一个检票口,需用半小时把所有乘客解决完毕,当开放2个检票口时,只要10分钟就把所有乘客OK了 。求增加人数的速度还有原来的人数？
【解析】这是一道是比较复杂的牛吃草问题。
把每头牛每天吃的草看作1份。
因为第一块草地5亩面积原有草量＋5亩面积30天长的草＝10×30＝300份
所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份
因为第二块草地15亩面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×45＝1260份
所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15＝84份
所以45－30＝15天，每亩面积长84－60＝24份
所以，每亩面积每天长24÷15＝1.6份
所以，每亩原有草量60－30×1.6＝12份
第三块地面积是24亩，所以每天要长1.6×24＝38.4份，原有草就有24×12＝288份
新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288÷80＝3.6头牛
所以，一共需要38.4＋3.6＝42头牛来吃。
两种解法：
解法一：
设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：10×30/5=60；
每亩45天的总草量为：28×45/15=84那么每亩每天的新生长草量为(84-60)/(45-30)=1.6每亩原有草量为60-1.6×30=12，那么24亩原有草量为12×24=288，24亩80天新长草量为24×1.6×80=3072，24亩80天共有草量3072+288=3360，所有3360/80=42(头)
解法二：
10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩，根据28头牛45天吃15亩，可以推出15亩每天新长草量 (28×45-30×30)/(45-30)=24；15亩原有草量：1260-24×45=180；15亩80天所需牛180/80+24(头)24亩需牛：(180/80+24) ×(24/15)=42头
3、有三块草地，面积分别为5，6，和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草荐地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问第三块草地可供19头牛吃多少天？
【解析】为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。即
[5，6，8]最小公倍数为120
这样，第一块5公顷可供11头牛吃10天，120÷5=24，变为120公顷草地可供11×24=264（头）牛吃10天
第二块6公顷可供12头牛吃14天，120÷6=20，变为120公顷草地可供12×20=240（头）牛吃14天。
120÷8=15。问题变成：120公顷草地可供19×15=285（头）牛吃几天？
因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，原题可变为：
一块草地匀速生长，可供264头牛吃10天或供240头牛吃14天， 那么可供285头牛齿及天？即
每天新长出的草：（240×14-264×10）÷（14-10）=180（份）
草地原有草：（264-180）×10=840（份）
可供285头牛吃的时间：840÷（285-180）=8（天）
答：第三块草地可供19头牛吃8天。
4、一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天那么可供18头牛吃几天？
【解析】设1头牛1天吃的草为1份。
则每天新生的草量是（20×10-24×6）÷(10-6)=14份，
原来的草量是（24-14）×6=60份。
可供18头牛吃60÷（18-14）=15
直击赛场

1、（年希望杯六年级二试试题）有一片草场，草每天的生长速度相同。若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完(4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量)。那么，17头牛和20只羊多少天可将草吃完?
【解析】“4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量”，所以可以设一只羊一天的食量为1，那么1头
牛30天吃了单位草量，而70只羊16天吃了单位草量，所以草场在每天内
增加了草量，原来的草量为草量，所以如果安排17头牛
和20只羊，即每天食草88草量，经过天，可将草吃完。
名师点拨

1、专题特点：关于一块地的牛吃草问题，
2、解题方法：同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：
⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；
⑵草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少天数)；
⑶原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数；
⑷吃的天数原来的草量(牛的头数草的生长速度)；
⑸牛的头数原来的草量吃的天数草的生长速度．
3、注意事项
牛吃草问题是草地的草在不断的增长，时间不同，草地里草的总量也不同。
学霸经验

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