六年级奥数——一般工程问题（含答案）

这是一份六年级奥数——一般工程问题（含答案），共12页。试卷主要包含了一项工程，甲，一项工作，甲，有一项工程，由甲等内容，欢迎下载使用。
了解工作量、工作时间及工作效率的意思；
能够从题目中找出工作量、工作时间及工作效率；
理解三者之间的关系，并用三者关系解题。
知识梳理

工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。然而其内容已不仅是工程方面的，还包括水管注水、行路等许多方面。
工程问题常涉及到工作量、工作效率和工作时间，且这三者之间具有如下关系式：
工作量=工作效率×工作时间
工作时间=工作量÷工作效率
工作效率=工作量÷工作时间
工作量指工作的多少，它可以是全部工作量，一般用单位“1”表示；也可是部分工作量，常用分数表示。例如，工程的一半表示成，工程的三分之一表示成。
工作效率指工作的快慢，也就是单位时间里所干的工作量。工作效率的单位是一个复合单位，用“工作量／天”或“工作量／时”等表示。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。
工程问题可分为两类：一类是已知具体工作量，另一类是未给具体工作量。在解答工程问题时，我们要遵循以下原则：一是工作量没有具体给出的，可设工作量为单位“1”；二是由于工作总量为“1”，那么，参与这项工作的每个人（队）单独做的工作效率可用此人（队）单独做的工作时间的倒数表示。
典例分析

考点一：用“组合法”解工程问题
在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径
例1、一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，只能完成工程的EQ \F(7,30)，乙队单独完成全部工程需要几天？
【解析】此题已知甲、乙两队的工作效率和是EQ \F(1,15)，只要求出甲队或乙队的工作效率，则问题可解，然而这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做5天，乙队独做3天，组合成甲、乙两队合作了3天后，甲队独做2天来考虑，就可以求出甲队2天的工作量EQ \F(7,30)－EQ \F(1,15)×3＝EQ \F(1,30)，从而求出甲队的工作效率。所以：
1÷〔EQ \F(1,15)－（EQ \F(7,30)－EQ \F(1,15)×3）÷（5－3）〕＝20（天
答：乙队单独完成全部工程需要20天。
例2、一项工程，甲队独做12天可以完成。甲队先做了3天，再由乙队做2天，则能完成这项工程的EQ \F(1,2)。现在甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现两段所用时间相等。求两段一共用了几天？
【解析】此题很容易先求乙队的工作效率是：（EQ \F(1,2)－EQ \F(1,12)×3）÷2＝EQ \F(1,8)；再由条件“做完后发现两段所用时间相等”的题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若干天完成，即可求出相等的时间。
（1）乙队每天完成这项工程的
（EQ \F(1,2)－EQ \F(1,12)×3）÷2＝EQ \F(1,8)
（2）两段时间一共是
1÷（EQ \F(1,8)×2+EQ \F(1,12)）×2＝6（天）
答：两段时间一共是6天。
例3、一项工作，甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。如果甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的EQ \F(2,3)；如果甲、乙合做3小时后，丙做6小时，也可以完成这项工作的EQ \F(2,3)。如果由甲、丙合做，需几小时完成？
【解析】将条件“甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的23”组合成“甲工作4小时，甲、乙、丙合做2小时可以完成这项工作的23”，则求出甲的工作效率。同理，运用“组合法”再求出丙的工作效率。
甲每小时完成这项工程的几分之几
（EQ \F(2,3)－EQ \F(1,6)×2）÷（6－2）＝EQ \F(1,12)
丙每小时完成这项工程的几分之几
（EQ \F(2,3)－EQ \F(1,6)×3）÷（6－3）＝EQ \F(1,18)
甲、丙合做需完成的时间为：
1÷（EQ \F(1,12)+EQ \F(1,18)）＝7EQ \F(1,5)（小时）
答：甲、丙合做完成需要7EQ \F(1,5)小时。
考点二：特殊工程问题
有些工程题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这时我们就可以考虑运用一些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。
例1、修一条路，甲队每天修8小时，5天完成；乙队每天修10小时，6天完成。两队合作，每天工作6小时，几天可以完成？
【解析】把前两个条件综合为“甲队40小时完成”，后两个条件综合为“乙队60小时完成”。则
1÷[ EQ \F(1,5×8) + EQ \F(1,10×6) ]÷6=4（天）
或1÷[（ EQ \F(1,5×8) + EQ \F(1,10×6) ）×6]=4（天）
答：4天可以完成。
例2、有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？
【解析】设搬运一个仓库的货物的工作量为“1”。总整体上看，相当于三人共同完成工作量“2”
三人同时搬运了
2÷（ EQ \F(1,10) + EQ \F(1,12) + EQ \F(1,15) ）=8（小时）
丙帮甲搬了
（1- EQ \F(1,10) ×8）÷ EQ \F(1,15) =3（小时）
③ 丙帮乙搬了
8-3=5（小时）
答：丙帮甲搬了3小时，帮乙搬了5小时。
例3、甲、乙两人合作加工一批零件，8天可以完成。中途甲因事停工3天，因此，两人共用了10天才完成。如果由甲单独加工这批零件，需要多少天才能完成？
【解析】
解法一：先求出乙的工作效率，再求出甲的工作效率。最后求出甲单独做需要的天数。
甲、乙同时做的工作量为 EQ \F(1,8) ×（10-3）＝ EQ \F(7,8)
乙单独做的工作量为1－ EQ \F(7,8) ＝ EQ \F(1,8)
乙的工作效率为 EQ \F(1,8) ÷3= EQ \F(1,24)
甲的工作效率为 EQ \F(1,8) － EQ \F(1,24) ＝ EQ \F(1,12)
甲单独做需要的天数为1÷ EQ \F(1,12) ＝12（天）
解法二：从题中得知，由于甲停工3天，致使甲、乙两人多做了（10-8=）2天。由此可知，甲3天的工作量相当于这批零件的2÷8=1/4
3÷[（10-8）÷8]=12（天）或
3×[8÷（10-8）]=12（天）
答：甲单独做需要12天完成。
考点三：周期工程问题
周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。解答时，首先要弄清一个循环周期的工作量，利用周期性规律，使貌似复杂的问题迅速地化难为易。其次要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间，这样才能正确解答。
例1、一项工程，甲单独做需要12小时，乙单独做需要18小时。若甲做1小时后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时……两人如此交替工作，问完成任务时需共用多少小时？
【解析】把2小时的工作量看做一个循环，先求出循环的次数。
需循环的次数为：1÷（ EQ \F(1,12) + EQ \F(1,18) ）= EQ \F(36,5) ＞7（次）
7个循环后剩下的工作量是：1-（ EQ \F(1,12) + EQ \F(1,18) ）×7= EQ \F(1,36)
余下的工作两还需甲做的时间为： EQ \F(1,36) ÷ EQ \F(1,12) = EQ \F(1,3) （小时）
完成任务共用的时间为：2×7+ EQ \F(1,3) =14 EQ \F(1,3) （小时）
答：完成任务时需共用14 EQ \F(1,3) 小时。
例2、一项工程，甲、乙合作26 EQ \F(2,3) 天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲单独做要多少天才能完成？
【解析】由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：
甲乙甲乙……甲乙 甲
乙甲乙甲……乙甲 乙 EQ \F(1,2) 甲
竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，乙做一天等于甲做半天，即甲的工作效率是乙的2倍。
甲每天能做这项工程的1÷26 EQ \F(2,3) × EQ \F(2,1+2) = EQ \F(1,40)
甲单独做完成的时间1÷ EQ \F(1,40) =40（天）
答：这项工程由甲单独做需要40天才能完成。
例3、打印一部稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成。现在，甲、乙两人轮流工作。甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时……如此这样交替下去，打印这部书稿共要多少小时？
【解析】根据已知条件，我们可以把6小时的工作时间看做一个循环。在每一个循环中，甲、乙都工作了3小时。
每循环一次，他们共完成全部工程的（ EQ \F(1,12) + EQ \F(1,15) ）×3＝ EQ \F(9,20)
总工作量里包含几个9/20：1÷ EQ \F(9,20) =2 EQ \F(2,9)
甲、乙工作两个循环后，剩下全工程的1- EQ \F(9,20) ×2＝ EQ \F(1,10)
由于 EQ \F(1,10) ＞ EQ \F(1,12) ，所以，求甲工作1小时后剩下的工作由乙完成还需的时间为（ EQ \F(1,10) - EQ \F(1,12) ）÷ EQ \F(1,15) ＝ EQ \F(1,4)
打印这部稿件共需的时间为：6×2+1+ EQ \F(1,4) =13 EQ \F(1,4) （小时）
答：打印这部稿件共需13 EQ \F(1,4) 小时。
实战演练

课堂狙击
1、移栽西红柿苗若干棵，如果哥、弟二人合栽8小时完成，先由哥哥栽了3小时后，又由弟弟栽了1小时，还剩总棵数的EQ \F(11,16)没有栽，已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽7棵。共要移栽西红柿苗多少棵？
【解析】把“哥哥先栽了3小时，弟弟又栽了1小时”组合成“哥、的合栽了1小时后，哥哥又独做了2小时”，就可以求出哥哥每小时栽总数的几分之几。
哥哥每小时栽总数的几分之几
（1－EQ \F(11,16)－EQ \F(1,8)×1）÷（3－1）＝EQ \F(3,32)
一共要移栽的西红柿苗多少棵
7÷〔EQ \F(3,32)－（EQ \F(1,8)－EQ \F(3,32)）〕＝112（棵）
答：共要移栽西红柿苗112棵。
2、一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，几天可以完成？
【解析】将条件“先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成”组合成“甲、乙两队各修（4+7）＝11天后，再由丙队单独修了7天才全部完成。”就可以求出丙队的工作效率。
丙队每天修这条公路的
〔1－（EQ \F(1,24)+EQ \F(1,30)）〕×（4+7）＝EQ \F(1,40)
三队合修完成时间为
1÷（EQ \F(1,24)+EQ \F(1,30)+EQ \F(1,40)）＝10（天）
答：10天可以完成。
3、一件工作，甲独做要20天完成，乙独做要12天完成。这件工作先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用了14天。这件工作由甲先做了几天？
【解析】解法一：根据两人做的工作量的和等于单位“1”列方程解答，很容易理解。
设甲做了x天，则乙做了（14-x）天。
EQ \F(1,20) x+ EQ \F(1,12) ×（14-x）=1
X=5
解法二：假设这14天都由乙来做，那么完成的工作量就是 EQ \F(1,12) ×14，比总工作量多了 EQ \F(1,12) ×14-1= EQ \F(1,6) ，乙每天的能够做量比甲每天的工作两哦了 EQ \F(1,12) - EQ \F(1,20) = EQ \F(1,30) ，因此甲做了
EQ \F(1,6) ÷ EQ \F(1,30) =5（天）
答：这件工作由甲先做了5天。

4、放满一个水池的水，如果同时开放①②③号阀门，15小时放满；如果同时开放①③⑤号阀门，12小时可以放满；如果同时开放②④⑤号阀门，8小时可以放满。问：同时开放这五个阀门几小时可以放满这个水池？
【解析】从整体入手，比较条件中各个阀门出现的次数可知，①③号阀门各出现3次，②④⑤号阀门各出现2次。如果 EQ \F(1,15) + EQ \F(1,10) + EQ \F(1,12) + EQ \F(1,8) 再加一个 EQ \F(1,8) ，则是五个阀门各放3小时的总水量。
1÷[（ EQ \F(1,15) + EQ \F(1,10) + EQ \F(1,12) + EQ \F(1,8) + EQ \F(1,8) ）÷3]=1÷[ EQ \F(1,2) ÷3]=6（小时）
答：同时开放这五个阀门5小时可以放满这个水池。
5、一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天数完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60个不能完成。已知甲、乙工作效率的比是5：3。甲、乙每天各做多少个？
【解析】由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：
甲乙甲乙……甲乙 甲
乙甲乙甲……乙甲 乙剩60个
竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，剩下的60个零件就是甲、乙工作效率的差。
甲每天做的个数为：60÷（5-3）×5=150（个）
乙每天做的个数为：60÷（5-3）×3=90（个）
答：甲每天做150个，乙每天做90个。
6、有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用0.5天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用 EQ \F(1,3) 天。已知甲单独做13天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？
【解析】由题意可以推出：按甲、乙、丙次序轮做，能够的天数必定是3的倍数余1或余2。如果是3的倍数，三种轮流方式完工的天数，必定相同。如果按甲、乙、丙的次序轮流做，用的天数是3的倍数余1。三种轮流方式做的情况可表示如下：
甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙， 甲
乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲， 乙 EQ \F(1,2) 丙
丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙， 丙 EQ \F(1,3) 甲
从中可以退出：丙= EQ \F(2,3) 甲；由于乙=甲－ EQ \F(1,2) 丙=甲－ EQ \F(2,3) 甲× EQ \F(1,2) ，又推出乙= EQ \F(2,3) 甲；与题中“三个工程队的工效各不相同”矛盾。所以，按甲、乙、丙的次序轮做，用的天数必定是3的倍数余2。三种轮流方式用的天数必定如下所示：
甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙， 甲乙
乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲， 乙丙 EQ \F(1,2) 甲
丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙， 丙甲 EQ \F(1,3) 乙
由此推出：丙= EQ \F(1,2) 甲，丙= EQ \F(2,3) 乙
丙队每天做这项工程的 EQ \F(1,13) × EQ \F(1,2) = EQ \F(1,26)
乙队每天做这项工程的 EQ \F(1,26) ÷ EQ \F(2,3) = EQ \F(3,52)
甲、乙、丙合作完工需要的时间为1÷（ EQ \F(1,13) + EQ \F(1,26) + EQ \F(3,52) ）=5 EQ \F(7,9) （天）
答：甲、乙、丙合作要5 EQ \F(7,9) 天完工。
7、有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好用整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用 EQ \F(1,3) 天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用 EQ \F(1,4) 天。已知甲单独做7天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？
【解析】按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3的倍数余2，否则与题意不符。由此推出丙的效率是甲的 EQ \F(2,3) ，丙的效率也是乙的 EQ \F(3,4) 。
丙的工作效率 EQ \F(1,7) × EQ \F(2,3) ＝ EQ \F(2,21)
乙的工作效率 EQ \F(2,21) ÷ EQ \F(3,4) ＝ EQ \F(8,63)
甲、乙、丙三队合做的天数1÷（ EQ \F(1,7) + EQ \F(2,21) + EQ \F(8,63) ）＝2 EQ \F(17,23) 天
答：这项工程由甲、乙、丙合作要2 EQ \F(17,23) 天完工。
课堂反击
1、一项工程，甲队独做15天完成。若甲队先做5天，乙队再做4天能完成这项工程的EQ \F(8,15)。现由甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现，两段时间相等。这两段时间一共是几天？
【解析】乙队的工作效率：
（EQ \F(8,15)－EQ \F(1,15)×5）÷4＝EQ \F(1,20)
总共的天数：
1÷（EQ \F(1,15)+EQ \F(1,20)×2）×2＝12天
答：这两段时间一共是12天。
一项工作，甲、乙、丙三人合做，4小时可以完成。如果甲做4小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的EQ \F(13,18)；如果甲、乙合做2小时后，丙再做4小时，可以完成这项工作的EQ \F(11,18)。这项工作如果由甲、丙合做需几小时完成？
【解析】甲队的工作效率
（EQ \F(13,18)－EQ \F(1,4)×2）÷（4－2）＝EQ \F(1,9)
丙队的工作效率
（EQ \F(11,18)－EQ \F(1,4)×2）÷（4－2）＝EQ \F(1,18)
甲、丙合做需要的时间
1÷（EQ \F(1,9)+EQ \F(1,18)）＝6小时
答：这项工作如果由甲、丙合做需6小时完成。
一件工作，甲单独做12小时完成。现在甲、乙合做4小时后，乙又用6小时才完成。这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成？
【解析】乙每小时做这件工程的
（1－EQ \F(1,12)×4）÷（6+4）＝EQ \F(1,15)
甲、乙合做完成需要的时间
1÷（EQ \F(1,12)+EQ \F(1,15)）＝6EQ \F(2,3)小时
答：这件工作始终由甲、乙合做6EQ \F(2,3)小时可以完成。
4、一个水池安装了甲、乙两根进水管。单开甲管，24分钟能包空池灌满；单开乙管，18分钟能把空池灌满。现在，甲、乙两管轮流开放，按照甲1分钟，乙2分钟，甲2分钟，乙1分钟，甲1分钟，乙2分钟……如此交替下去，灌满一池水共需几分钟？
【解析】把6分钟看作一个循环
每循环一次的工作量
（ EQ \F(1,24) + EQ \F(1,18) ）×（1+2）＝ EQ \F(7,24)
总工作量里面有几个 EQ \F(7,24)
1÷ EQ \F(7,24) ＝3 EQ \F(3,7)
3个循环后剩下的工作量
1－ EQ \F(7,24) ×3＝ EQ \F(1,8)
一共需要的时间
6×3+1+（ EQ \F(1,8) － EQ \F(1,24) ）÷ EQ \F(1,18) ＝20 EQ \F(1,2) 分钟
答：灌满一池水共需20 EQ \F(1,2) 分钟。
5、有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好用整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用 EQ \F(1,3) 天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用 EQ \F(1,4) 天。已知甲单独做7天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？
【解析】按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3的倍数余2，否则与题意不符。由此推出丙的效率是甲的 EQ \F(2,3) ，丙的效率也是乙的 EQ \F(3,4) 。
丙的工作效率 EQ \F(1,7) × EQ \F(2,3) ＝ EQ \F(2,21)
乙的工作效率 EQ \F(2,21) ÷ EQ \F(3,4) ＝ EQ \F(8,63)
甲、乙、丙三队合做的天数1÷（ EQ \F(1,7) + EQ \F(2,21) + EQ \F(8,63) ）＝2 EQ \F(17,23) 天
答：这项工程由甲、乙、丙合作要2 EQ \F(17,23) 天完工。
6、有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用 EQ \F(1,2) 天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用 EQ \F(1,2) 天。已知甲单独做10天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？
【解析】按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3的倍数余1，否则与题意矛盾。由此可以推出丙的效率是甲的 EQ \F(1,2) ，乙的效率是甲的 EQ \F(3,4) 。
丙的效率 EQ \F(1,10) × EQ \F(1,2) ＝ EQ \F(1,20)
乙的效率 EQ \F(1,10) ×（1－ EQ \F(1,2) × EQ \F(1,2) ）＝ EQ \F(3,40)
甲、乙、丙三队合做的天数1÷（ EQ \F(1,10) + EQ \F(1,20) + EQ \F(3,40) ）＝4 EQ \F(4,9) 天
答：这项工程由甲、乙、丙合作要4 EQ \F(4,9) 天完工。
名师点拨

解题过程中，我们会发现，解答工程问题，常常是围绕找工作效率进行中，有些工作效率可以通过工作时间得到，而有些则要根据“工程”进程变化规律得到。在解题时，我们要弄清原来的、现在的之间的关系，以两者关系为突破口解答问题。
工程问题常涉及到工作量、工作效率和工作时间，且这三者之间具有如下关系式：
工作量=工作效率×工作时间
工作时间=工作量÷工作效率
工作效率=工作量÷工作时间
学霸经验

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