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第03讲 圆的方程（八大题型）（讲义）-备战2024年高考数学一轮专题复习（新教材新高考）
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这是一份第03讲 圆的方程（八大题型）（讲义）-备战2024年高考数学一轮专题复习（新教材新高考），文件包含第03讲圆的方程八大题型讲义原卷版docx、第03讲圆的方程八大题型讲义解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共55页， 欢迎下载使用。
知识点一：基本概念
平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．
知识点二：基本性质、定理与公式
1、圆的四种方程
（1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为
（2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径
（3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是
（4）圆的参数方程：
①的参数方程为（为参数）；
②的参数方程为（为参数）．
注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值．
2、点与圆的位置关系判断
（1）点与圆的位置关系：
①点P在圆外；
②点P在圆上；
③点P在圆内．
（2）点与圆的位置关系：
①点P在圆外；
②点P在圆上；
③点P在圆内．
题型一：求圆多种方程的形式
例1．（2023·贵州铜仁·统考模拟预测）过、两点，且与直线相切的圆的方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为、，则线段的垂直平分线所在直线的方程为，
设圆心为，则圆的半径为，
又因为，所以，，
整理可得，解得或，
当时，，此时圆的方程为；
当时，，此时圆的方程为.
综上所述，满足条件的圆的方程为或.
故选：C.
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆的圆心为，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设直径的两个端点分别，
圆心C为点由中点坐标公式，得，解得
∴半径，
∴圆的方程是即
故选：A.
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆心为的圆与直线相切，则该圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为圆心为的圆与直线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，
所以该圆的标准方程是．
故选：A
变式1．（2023·河北邢台·高三统考期末）已知圆与直线相切，则圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由圆的圆心为原点，半径为5，
又圆与直线相切，
则到直线的距离为，
则，解得，
设过且与垂直的直线为，
则：，
联立，
得直线l与的交点为，
设圆心关于点的对称点为，
由中点公式有
所以圆心关于点的对称点为，
因此圆C关于直线l对称的圆的方程为：，
故选：D.
变式2．（2023·山东东营·高三广饶一中校考阶段练习）过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为两点，以线段为直径的圆C过点，则圆C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】抛物线的焦点，准线：，设，令弦AB的中点为E，
而圆心C是线段的中点，又，即有，，
显然直线AB不垂直于y轴，设直线，由消去x得：，
则，，点E的纵坐标为，
于是得圆C的半径，圆心，而圆C过点，
则有，即，解得，
因此圆C的圆心，半径，圆C的方程为.
故选：B
变式3．（2023·全国·高三专题练习）求过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设圆心坐标为C（2b+2，b），由圆过两点A（0，4），B（4，6），可得|AC|=|BC|，
即，解得，
可得圆心为（4，1），半径为5，则所求圆的方程为．
故选：D．
变式4．（2023·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知直线恒过定点P，则与圆C：有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】直线，即，
由解得，即，圆C：的圆心，，
所以所求圆的标准方程为.
故选：B
变式5．（2023·全国·高三专题练习）圆C：关于直线对称的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由圆C：，可知圆心坐标：，半径为，
因为点关于直线的对称点为，
所以圆C：关于直线对称的圆的方程是
，
故选：C
变式6．（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”（也称“米勒定理”）：若点是的边上的两个定点，C是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点C时，最大．在平面直角坐标系中，已知点，，点F是y轴负半轴的一个动点，当最大时，的外接圆的方程是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由米勒定理知当最大时，的外接圆与轴负半轴相切，此时圆心位于第四象限，
因为点，，
所以圆心在直线上，
又圆与轴负半轴相切，
所以圆的半径为3，
设圆心为，，
则，解得，
又，
所以
所以的外接圆的方程是，
故选：A．
变式7．（2023·陕西西安·高三校考阶段练习）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的外接圆方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由圆，得到圆心，由题意知O、A、B、P四点共圆，的外接圆即四边形的外接圆， 又，从而的中点坐标为所求圆的圆心，为所求圆的半径，所以所求圆的方程为.
故选：A
变式8．（2023·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知，则外接圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设外接圆的方程为
则有，解之得
则外接圆的方程为
故选：D
【解题方法总结】
（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标（a，b）和半径r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点．因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．
（2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等．
题型二：直线系方程和圆系方程
例4．（2023·全国·高三专题练习）圆心在直线x-y-4＝0上，且经过两圆x2+y2+6x-4＝0和x2+y2+6y-28＝0的交点的圆的方程为（ ）
A．x2+y2-x+7y-32＝0B．x2+y2-x+7y-16＝0
C．x2+y2-4x+4y+9＝0D．x2+y2-4x+4y-8＝0
【答案】A
【解析】根据题意知，所求圆经过圆x2+y2+6x-4＝0和圆x2+y2+6y-28＝0的交点，
设其方程为(x2+y2+6x-4)+λ(x2+y2+6y-28)＝0，
即(1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy-4-28λ＝0，其圆心坐标为，，
又由圆心在直线x-y-4＝0上，所以--4＝0，
解得λ＝-7，
所以所求圆的方程为：(-6)x2+(-6)y2+6x-42y+192＝0，即x2+y2-x+7y-32＝0，
故选：A．
例5．（2023·高二课时练习）过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是 ．
【答案】
【解析】设圆的方程为，
则，
即，所以圆心坐标为，
把圆心坐标代入，可得，
所以所求圆的方程为．
故答案为：.
例6．（2023·江苏·高二专题练习）曲线与的四个交点所在圆的方程是 ．
【答案】
【解析】根据题意得到：，化简得到答案.，，故，
化简整理得到：，即.
故答案为：.
变式9．（2023·安徽铜陵·高二铜陵一中校考期中）经过直线与圆的交点，且过点的圆的方程为 .
【答案】
【解析】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：
∵所求圆过点
∴
解得
所以圆的方程为，化简得.
故答案为：.
变式10．（2023·高二校考课时练习）过两圆与的交点和点的圆的方程是 .
【答案】
【解析】设所求圆的方程为：
将代入得：
所求圆的方程为：
本题正确结果：
变式11．（2023·浙江杭州·高二校考期末）已知一个圆经过直线与圆的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为 .
【答案】
【解析】可设圆的方程为,
即,
此时圆心坐标为,
当圆心在直线上时，圆的半径最小，从而面积最小，
,
解得,
则所求圆的方程为，
故答案为.
变式12．（2023·江西九江·高一统考期中）经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为
【答案】
【解析】由题可先设出圆系方程；，则圆心坐标为； ，又圆心在直线上，可得；解得.
所以圆的方程为：.
故答案为：.
变式13．（2023·浙江绍兴·高二统考期中）已知圆过直线和圆的交点，且原点在圆上．则圆的方程为 ．
【答案】
【解析】根据题意可设圆的方程为：，因为原点在圆上，故.所以所求圆的方程为.
考点：直线与圆的位置关系，圆的标准方程.
【解题方法总结】
求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）．
（1）直线系方程：若直线与直线相交于点P，则过点P的直线系方程为：
简记为：
当时，简记为：（不含）
（2）圆系方程：若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为：
简记为：，不含
当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）
注意：与圆C共根轴l的圆系
题型三：与圆有关的轨迹问题
例7．（2023·全国·高三专题练习）点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设点的坐标为，因为点是线段的中点，
可得，点在圆上，
则，即.
故选：A.
例8．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）已知A，B是：上的两个动点，P是线段的中点，若，则点P的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为中点为P，所以，又，所以，
所以点P在以C为圆心，4为半径的圆上，其轨迹方程为.
故选：C.
例9．（2023·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到的距离是点P到的距离的2倍．求点P的轨迹方程；
【解析】设点，
点P到的距离是点P到的距离的2倍，可得，
即，整理得，
所以点P的轨迹方程为；
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知是圆内的一点是圆上两动点，且满足，求矩形顶点Q的轨迹方程．
【解析】连接AB，PQ，设AB与PQ交于点M，如图所示．
因为四边形APBQ为矩形，所以M为AB，PQ的中点，连接OM.
由垂径定理可知
设
由此可得①
又在中，
有②
由①②得
故点M的轨迹是圆．
因为点M是PQ的中点，设
则
代入点M的轨迹方程中得，
整理得，即为所求点Q的轨迹方程．
变式15．（1977·福建·高考真题）动点到两定点和的距离的比等于2，求动点P的轨迹方程，并说明这轨迹是什么图形．
【解析】由题意可知：，
又，和，
所以，
化简得即，
所以动点P的轨迹是以为圆心，半径是4的圆
变式16．（2023·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知圆C：.
(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的一般式方程；
(2)从圆C外一点向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有，求点P的轨迹方程.
【解析】（1）由配方得，所以圆C的圆心，半径为，
因为直线l在x轴，y轴上的截距相等，所以设直线l为，即，
则由直线l与圆C相切得，解得或，
∴直线l的方程为或.
（2）由圆上切点的性质知，
又因为，所以，
所以，整理得，
故点P的轨迹方程为.
变式17．（2023·全国·高三专题练习）由圆外一点引圆的割线交圆于两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.
【解析】［方法一］：【通性通法】【最优解】直接法
设弦的中点的坐标为,连接、,则．
在中,由勾股定理有，而在圆内，
所以弦AB的中点M的轨迹方程为.
［方法2］：定义法
因为是的中点,所以,所以点的轨迹是以为直径的圆,圆心为,半径为，所以该圆的方程为:,化简得
［方法3］：交轨法
易知过点的割线的斜率必然存在，设过点的割线的斜率为,
则过点的割线方程为:.
∵且过原点,∴的方程为
这两条直线的交点就是点的轨迹.两方程相乘消去,化简,得:，
其中.
［方法4］：参数法
设过点的割线方程为:,它与圆的两个交点为、
的中点为，设.
由可得，，所以，，即有，，消去，
可求得点的轨迹方程为：，．
［方法5］：点差法
设,则.
∵.两式相减,整理,得.
所以,即为的斜率，
而的斜率又可表示为,化简并整理,得.
其中.
【整体点评】方法一：直接根据轨迹的求法，建系、设点、列式、化简、检验即可解出，是该类型题的常规方法，也是最优解；
方法二：根据题设条件,判断并确定轨迹的曲线类型,运用待定系数法求出曲线方程；
方法三：将问题转化为求两直线的交点轨迹问题；
方法四：将动点坐标表示成某一中间变量（参数）的函数，再设法消去参数；
方法五：根据曲线和方程的对应关系，点在曲线上则点的坐标满足方程，用点差法思想，设而不求．
变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，平面上一动点满足：且，．求动点的轨迹方程；
【解析】设，由，
所以，整理得，
即动点的轨迹方程．
变式19．（2023·全国·高三专题练习）在边长为1的正方形ABCD中，边AB、BC上分别有一个动点Q、R，且．求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程．
【解析】分别以AB，AD边所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系．
如图所示，则点、、、，
设动点，，
由知：，则．
当时，直线AR：①，直线DQ：，则②，
①×②得：，化简得．
当时，点P与原点重合，坐标也满足上述方程．
故点P的轨迹方程为．
变式20．（2023·全国·高三专题练习）已知的斜边为，且.求：
(1)直角顶点的轨迹方程；
(2)直角边的中点的轨迹方程.
【解析】（1）设，因为三点不共线，所以，
因为，所以，
又因为，所以，
整理得，即，
所以直角顶点的轨迹方程为.
（2）设，
因为，是线段的中点，
由中点坐标公式得，所以，
由（1）知，点的轨迹方程为，
将代入得，即
所以动点的轨迹方程为.
变式21．（2023·高二课时练习）如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.
【解析】设动点P(x，y)，由题意可知P是△ABD的重心，由A(-1，0)，B(1，0)，
令动点C(x0，y0)，则D(2x0-1，2y0)，
由重心坐标公式得，
则代入，
整理得
故所求轨迹方程为.
变式22．（2023·高二课时练习）已知点是圆上的定点，点是圆内一点，、为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点的轨迹方程．
(2)若，求线段中点的轨迹方程．
【解析】（1）设中点为，
由中点坐标公式可知，点坐标为
∵点在圆上，∴．
故线段中点的轨迹方程为．
（2）设的中点为，在中，，
设为坐标原点，则，所以，
所以．
故线段中点的轨迹方程为．
【解题方法总结】
要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x，y的等量关系，根据题目条件，直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在．
题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件
例10．（2023·河南·高三阶段练习）“”是“方程表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为方程，即表示圆，
等价于0，解得或.
故“”是“方程表示圆”的充分不必要条件.
故选：A
例11．（2023·上海奉贤·高三校考阶段练习）已知：圆的方程为，点不在圆上，也不在圆的圆心上，方程，则下面判断正确的是（ ）
A．方程表示的曲线不存在
B．方程表示与同心且半径不同的圆
C．方程表示与相交的圆
D．当点在圆外时，方程表示与相离的圆
【答案】B
【解析】因为为圆，设，点，其圆心为，半径为，
而的方程为，即，
因此上述方程中，圆心亦为，半径为，所以与圆是同心且半径不同的圆.
故选：B.
例12．（2023·高三课时练习）关于x、y的方程表示一个圆的充要条件是（ ）.
A．，且
B．，且
C．，且，
D．，且，
【答案】D
【解析】关于x、y的方程表示一个圆的充要条件是
，即，且，.
故选：D
变式23．（2023·全国·高三专题练习）若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【解析】若方程表示圆，则，
解得：或.
故选：C
变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知方程表示圆，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为方程表示圆，
所以，解得.
故选：D
变式25．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）若圆：过坐标原点，则实数的值为（ ）
A．2或1B．-2或-1C．2D．-1
【答案】C
【解析】∵表示圆，
∴
∴.
又圆过原点，
∴，
∴或（舍去）；
.
故选:C.
变式26．（2023·全国·高三专题练习）若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是（ ）
A．(1，＋∞)B．
C．(1，＋∞)∪D．R
【答案】A
【解析】因为方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，所以D2＋E2―4F＞0，
即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范围是(1，＋∞)．
故选：A.
变式27．（2023·高二课时练习）若，使曲线是圆，则（ ）
A．B．C．或D．
【答案】A
【解析】由题意，，
因为，所以或，
当时，方程为，
化简得，
此时，不表示圆；
当时，方程为，
化简得，
此时，表示圆.
所以.
故选：A
【解题方法总结】
方程表示圆的充要条件是，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为，半径
题型五：点与圆的位置关系判断
例13．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，方程可以表示圆，则，得；
由点在圆的外部可知：，得.
故.
故选：C
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知点在圆C：的外部，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得，
则，解得：①，
又∵点在圆的外部，
∴，即，解得或②，
由①②得，
故选：B．
例15．（2023·四川自贡·高一统考期中）点P在单位圆⊙O上（O为坐标原点），点，，则的最大值为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【解析】如图所示：
设，因为，
所以，
则，即，
因为点P在圆上，
所以，
令，得，
，即，
解得，
所以的最大值为2，
故选：C
变式28．（2023·全国·高二专题练习）点与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．不确定
【答案】C
【解析】因为，所以点在圆外，
故选：C
变式29．（2023·全国·高二专题练习）若点在圆的内部，则a的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题可知，半径，所以，把点代入方程，
则，解得，所以故a的取值范围是.
故选：D
变式30．（2023·全国·高二专题练习）已知圆，直线l：，若l与圆O相交，则（ ）．
A．点在l上B．点在圆O上
C．点在圆O内D．点在圆O外
【答案】D
【解析】由已知l与圆O相交，,可知圆心到直线的距离小于半径，
则有，故，
把代入，所以点不在直线l上，故A错误；
又，则点在圆O外，故D正确.
故选：D．
【解题方法总结】
在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约．
题型六：数形结合思想的应用
例16．（2023·高二校考单元测试）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】直线恒过定点，
曲线表示以点为圆心，半径为1，且位于直线右侧的半圆（包括点，）．
当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为；
当与半圆相切时，由，得，切线记为．
分析可知当时，与曲线有两个不同的交点，
故选：A．
例17．（2023·辽宁营口·高二校考阶段练习）已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】曲线整理得，
则该曲线表示圆心为，半径为1的圆的上半部分，直线，即，
则令，解得，则其过定点，
如图，当时，曲线与直线有两个不同的交点，
由，得或，所以，
，
所以实数的取值范围是.
故选：C．
例18．（2023·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考开学考试）直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由可得，整理可得，其中，
所以，曲线表示圆的下半圆，如下图所示：
当直线与曲线相切时，由图可知，，
且有，解得，
当直线过点时，则有，
由图可知，当时，直线与曲线有两个公共点，
故选：B.
变式31．（2023·全国·高二专题练习）直线与曲线的交点个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】因为曲线就是或，表示一条直线与一个圆，
联立，解得，即直线与直线有一个交点；此时，没有意义.
联立，解得或，所以直线与有两个交点.
所以直线与曲线的交点个数为2个.
故选：B
变式32．（2023·高二单元测试）若两条直线：，：与圆的四个交点能构成矩形，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【解析】由题意直线平行，且与圆的四个交点构成矩形，
则可知圆心到两直线的距离相等，
由圆的圆心为：，
圆心到的距离为：
，
圆心到的距离为：
，
所以，
由题意，
所以，
故选：A.
变式33．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）曲线，要使直线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意得：，即，即曲线上的点为圆上或圆外的点，
由得：或，
由得：或或或，
由此可得曲线的图象如下图所示，
由图象可知：当时，直线与曲线有四个不同交点；
实数的取值范围为.
故选：B.
变式34．（2023·吉林白山·统考二模）若过点且斜率为k的直线l与曲线有且只有一个交点，则实数k的值不可能是( )
A．B．C．D．2
【答案】B
【解析】如图，
曲线即表示以O为圆心，2为半径的上半圆，
因为直线即与半圆相切，所以，解得．
因为所以，
又直线l与曲线有且只有一个交点，所以或，
所以实数k的取值范围是
故选：B
变式35．（2023·全国·高三专题练习）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】表示的曲线是圆心为，半径为的圆在轴以及右侧的部分，如图所示：
直线必过定点，
当直线与圆相切时，直线和圆恰有一个交点，
即，结合直线与半圆的相切可得，
当直的斜率不存在时，即时，直线和曲线恰有两个交点，
所以要使直线和曲线有两个交点，
则.
故选：B.
变式36．（2023·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）已知是定义在上的奇函数，其图象关于点对称，当时，，若方程的所有根的和为6，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】方程的根转化为
和的图象的公共点的横坐标，
因为两个图象均关于点对称，
要使所有根的和为6，则两个图象有且只有3个公共点．
因为时，，
所以，所以图象为圆的一部分，
作出和的图象如图所示．
当时，只需直线与圆相切，
所以，可得；
当时，只需直线与圆相离，
所以，解得得或（舍）．
故k的取值范围是．
故选：A．
变式37．（2023·湖北·高三校联考期末）广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域．其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数，则当时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A选项，当时，，即表示圆内部及边界，显然不满足，故错误；
对于C选项，当时，，即表示圆外部及边界，满足；
当时，，即表示圆的内部及边界，满足，故正确；
对于B选项，当时，，即表示圆内部及边界，显然不满足，故错误；
对于D选项，当时，，即表示圆外部及边界，显然不满足，故错误；
故选：C
【解题方法总结】
研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像．在此过程中，尤其要注意需对代数式进行等价变形，以防出现错误．
题型七：与圆有关的对称问题
例19．（2023·高二单元测试）圆关于直线对称，则 ．
【答案】3
【解析】由可得圆的标准方程为：，
则由题意得直线过圆心，代入直线方程有，解得，
故答案为：3.
例20．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知圆关于直线对称，圆交于、两点，则
【答案】2
【解析】圆，即，圆心，半径，
因为圆关于直线对称，所以，解得，
所以，圆心，半径，
则圆心到轴的距离，所以.
故答案为：
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是 ．
【答案】2
【解析】圆上存在两点关于直线对称，所以直线过圆心，有，即.
，当且仅当，即时等号成立.
∴，即，所以时，的最小值为2.
故答案为：2
变式38．（2023·北京·高三人大附中校考阶段练习）已知圆C与圆D：关于直线对称，则圆C的方程为 ．
【答案】
【解析】因为，
设圆C的圆心为，
又因为圆C与圆D关于直线对称，
即圆心与关于直线对称，
所以，解得，
所以，圆C的方程为
变式39．（2023·全国·高三专题练习）已知圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是 ．
【答案】16
【解析】由圆的对称性可得，直线必过圆心，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
则的最小值是16
故答案为：16
变式40．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图像上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数k的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
由，解得，
又关于直线的对称直线为，
则题设等价于函数的图像和的图象有两个交点.
易得等价于，
画出和的图象，设直线和相切，
由，解得或（舍），
又当直线过点时，，
结合图象可知，当时，
函数的图像和的图象有两个交点.
故答案为：.
变式41．（2023·全国·高三专题练习）已知圆的标准方程是，圆关于直线对称，则圆与圆的位置关系为 ．
【答案】相交
【解析】由圆的方程知其圆心，半径；
由圆的方程知其圆心，半径；
圆关于直线对称，
直线过圆心，即，解得：，
圆心，；
两圆圆心距，则，
又，，，即，
圆与圆相交.
故答案为：相交.
变式42．（2023·全国·高三专题练习）若圆关于直线和直线都对称，则D＋E的值为 ．
【答案】4
【解析】圆的圆心为，
因为圆关于直线和直线都对称，
所以圆心在直线上，也在直线上，
所以，
解得，
所以，
故答案为：4
变式43．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知直线与曲线交于两点，且这两点关于直线对称， .
【答案】1
【解析】∵直线与曲线交于两点，且这两点关于直线对称，
∴圆心在直线上，
∴，
又∵两直线垂直，
∴,
∴.
故答案为：1
【解题方法总结】
（1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称
（2）圆关于点对称：
①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程
②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点
（3）圆关于直线对称：
①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程
②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线
题型八：圆过定点问题
例22．（2023·全国·高三专题练习）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为
【答案】
【解析】设抛物线交轴于点，交轴于点、，
由题意可知，由韦达定理可得，，
所以，线段的中点为，设圆心为，
由可得，解得，
，则，则，
所以，圆的方程为，
整理可得，
方程组的解为.
因此，的外接圆恒过的定点坐标为.
故答案为：.
例23．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为，则圆经过定点的坐标为 （其坐标与无关）
【答案】和
【解析】二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，记为，易知，满足，，，，设圆方程为，则
，
①－②得，，∴，从而，
代入③得，
∴圆方程为，
整理得，
由得或．
∴圆过定点和．
例24．（2023·重庆·高考真题）动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过点 ．
【答案】（2，0）
【解析】先由抛物线的标准方程写出其焦点坐标，准线方程，再结合抛物线的定义得出焦点必在动圆上，从而解决问题．
抛物线y2=8x的焦点F（2，0），
准线方程为x+2=0，
故圆心到直线x+2=0的距离即半径等于圆心到焦点F的距离，
所以F在圆上．
故答案为（2，0）．
点评：主要考查知识点：抛物线，本小题主要考查圆与抛物线的综合、抛物线的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．
变式44．（2023·浙江温州·高三阶段练习）已知动圆圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点____
【答案】
【解析】设动圆的圆心到直线的距离为r，
因为动圆圆心在抛物线上，且抛物线的准线为，
所以动圆圆心到直线的距离与到焦点的距离相等，
所以点一定在动圆上，即动圆必过定点.
故答案为：.
变式45．（2023·全国·高二专题练习）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ．
【答案】或
【解析】，即，
令，解得，，或，，
所以定点的坐标是或．
故答案为：或.
变式46．（2023·江西·高考真题）设有一组圆：．下列四个命题其中真命题的序号是
①存在一条定直线与所有的圆均相切；
②存在一条定直线与所有的圆均相交；
③存在一条定直线与所有的圆均不相交；
④所有的圆均不经过原点．
【答案】②④
【解析】根据题意得：圆心坐标为，
圆心在直线上，故存在直线与所有圆都相交，选项②正确；
考虑两圆的位置关系：
圆：圆心，半径为，
圆：圆心，即，半径为，
两圆的圆心距，
两圆的半径之差，
任取或时，（）， 含于之中，选项①错误；
若取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误，
将带入圆的方程,则有，即（），
因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．
故答案为②④.
变式47．（2023·全国·高二专题练习）对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为 .
【答案】、
【解析】由由得，故，解得或.
故填：、.
【解题方法总结】
特殊值法
1．（2023•乙卷）已知实数，满足，则的最大值是
A．B．4C．D．7
【答案】
【解析】根据题意，，即，其几何意义是以为圆心，半径为3的圆，
设，变形可得，其几何意义为直线，
直线与圆有公共点，则有，解可得，
故的最大值为．
故选：．
2．（2020•北京）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为
A．4B．5C．6D．7
【答案】
【解析】如图示：
半径为1的圆经过点，可得该圆的圆心轨迹为为圆心，1为半径的圆，
故当圆心到原点的距离的最小时，
连结，在上且，此时距离最小，
由，得，
即圆心到原点的距离的最小值是4，
故选：．
3．（2020•新课标Ⅲ）在平面内，，是两个定点，是动点．若，则点的轨迹为
A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线
【答案】
【解析】在平面内，，是两个定点，是动点，
不妨设，，设，
因为，
所以，，，
解得，
所以点的轨迹为圆．
故选：．
考点要求
考题统计
考情分析
（1）理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程．
（2）能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
2023年乙卷（文）第11题，5分
2023年上海卷第7题，5分
2022年甲卷（文）第14题，5分
2022年乙卷（文）第15题，5分
高考对圆的方程的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练掌握圆的标准方程与一般方程的求法，除了待定系数法外，要特别要重视利用几何性质求解圆的方程．
知识点一：基本概念
平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．
知识点二：基本性质、定理与公式
1、圆的四种方程
（1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为
（2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径
（3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是
（4）圆的参数方程：
①的参数方程为（为参数）；
②的参数方程为（为参数）．
注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值．
2、点与圆的位置关系判断
（1）点与圆的位置关系：
①点P在圆外；
②点P在圆上；
③点P在圆内．
（2）点与圆的位置关系：
①点P在圆外；
②点P在圆上；
③点P在圆内．
题型一：求圆多种方程的形式
例1．（2023·贵州铜仁·统考模拟预测）过、两点，且与直线相切的圆的方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为、，则线段的垂直平分线所在直线的方程为，
设圆心为，则圆的半径为，
又因为，所以，，
整理可得，解得或，
当时，，此时圆的方程为；
当时，，此时圆的方程为.
综上所述，满足条件的圆的方程为或.
故选：C.
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆的圆心为，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设直径的两个端点分别，
圆心C为点由中点坐标公式，得，解得
∴半径，
∴圆的方程是即
故选：A.
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆心为的圆与直线相切，则该圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为圆心为的圆与直线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，
所以该圆的标准方程是．
故选：A
变式1．（2023·河北邢台·高三统考期末）已知圆与直线相切，则圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由圆的圆心为原点，半径为5，
又圆与直线相切，
则到直线的距离为，
则，解得，
设过且与垂直的直线为，
则：，
联立，
得直线l与的交点为，
设圆心关于点的对称点为，
由中点公式有
所以圆心关于点的对称点为，
因此圆C关于直线l对称的圆的方程为：，
故选：D.
变式2．（2023·山东东营·高三广饶一中校考阶段练习）过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为两点，以线段为直径的圆C过点，则圆C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】抛物线的焦点，准线：，设，令弦AB的中点为E，
而圆心C是线段的中点，又，即有，，
显然直线AB不垂直于y轴，设直线，由消去x得：，
则，，点E的纵坐标为，
于是得圆C的半径，圆心，而圆C过点，
则有，即，解得，
因此圆C的圆心，半径，圆C的方程为.
故选：B
变式3．（2023·全国·高三专题练习）求过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设圆心坐标为C（2b+2，b），由圆过两点A（0，4），B（4，6），可得|AC|=|BC|，
即，解得，
可得圆心为（4，1），半径为5，则所求圆的方程为．
故选：D．
变式4．（2023·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知直线恒过定点P，则与圆C：有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】直线，即，
由解得，即，圆C：的圆心，，
所以所求圆的标准方程为.
故选：B
变式5．（2023·全国·高三专题练习）圆C：关于直线对称的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由圆C：，可知圆心坐标：，半径为，
因为点关于直线的对称点为，
所以圆C：关于直线对称的圆的方程是
，
故选：C
变式6．（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”（也称“米勒定理”）：若点是的边上的两个定点，C是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点C时，最大．在平面直角坐标系中，已知点，，点F是y轴负半轴的一个动点，当最大时，的外接圆的方程是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由米勒定理知当最大时，的外接圆与轴负半轴相切，此时圆心位于第四象限，
因为点，，
所以圆心在直线上，
又圆与轴负半轴相切，
所以圆的半径为3，
设圆心为，，
则，解得，
又，
所以
所以的外接圆的方程是，
故选：A．
变式7．（2023·陕西西安·高三校考阶段练习）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的外接圆方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由圆，得到圆心，由题意知O、A、B、P四点共圆，的外接圆即四边形的外接圆， 又，从而的中点坐标为所求圆的圆心，为所求圆的半径，所以所求圆的方程为.
故选：A
变式8．（2023·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知，则外接圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设外接圆的方程为
则有，解之得
则外接圆的方程为
故选：D
【解题方法总结】
（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标（a，b）和半径r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点．因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．
（2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等．
题型二：直线系方程和圆系方程
例4．（2023·全国·高三专题练习）圆心在直线x-y-4＝0上，且经过两圆x2+y2+6x-4＝0和x2+y2+6y-28＝0的交点的圆的方程为（ ）
A．x2+y2-x+7y-32＝0B．x2+y2-x+7y-16＝0
C．x2+y2-4x+4y+9＝0D．x2+y2-4x+4y-8＝0
【答案】A
【解析】根据题意知，所求圆经过圆x2+y2+6x-4＝0和圆x2+y2+6y-28＝0的交点，
设其方程为(x2+y2+6x-4)+λ(x2+y2+6y-28)＝0，
即(1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy-4-28λ＝0，其圆心坐标为，，
又由圆心在直线x-y-4＝0上，所以--4＝0，
解得λ＝-7，
所以所求圆的方程为：(-6)x2+(-6)y2+6x-42y+192＝0，即x2+y2-x+7y-32＝0，
故选：A．
例5．（2023·高二课时练习）过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是 ．
【答案】
【解析】设圆的方程为，
则，
即，所以圆心坐标为，
把圆心坐标代入，可得，
所以所求圆的方程为．
故答案为：.
例6．（2023·江苏·高二专题练习）曲线与的四个交点所在圆的方程是 ．
【答案】
【解析】根据题意得到：，化简得到答案.，，故，
化简整理得到：，即.
故答案为：.
变式9．（2023·安徽铜陵·高二铜陵一中校考期中）经过直线与圆的交点，且过点的圆的方程为 .
【答案】
【解析】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：
∵所求圆过点
∴
解得
所以圆的方程为，化简得.
故答案为：.
变式10．（2023·高二校考课时练习）过两圆与的交点和点的圆的方程是 .
【答案】
【解析】设所求圆的方程为：
将代入得：
所求圆的方程为：
本题正确结果：
变式11．（2023·浙江杭州·高二校考期末）已知一个圆经过直线与圆的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为 .
【答案】
【解析】可设圆的方程为,
即,
此时圆心坐标为,
当圆心在直线上时，圆的半径最小，从而面积最小，
,
解得,
则所求圆的方程为，
故答案为.
变式12．（2023·江西九江·高一统考期中）经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为
【答案】
【解析】由题可先设出圆系方程；，则圆心坐标为； ，又圆心在直线上，可得；解得.
所以圆的方程为：.
故答案为：.
变式13．（2023·浙江绍兴·高二统考期中）已知圆过直线和圆的交点，且原点在圆上．则圆的方程为 ．
【答案】
【解析】根据题意可设圆的方程为：，因为原点在圆上，故.所以所求圆的方程为.
考点：直线与圆的位置关系，圆的标准方程.
【解题方法总结】
求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）．
（1）直线系方程：若直线与直线相交于点P，则过点P的直线系方程为：
简记为：
当时，简记为：（不含）
（2）圆系方程：若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为：
简记为：，不含
当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）
注意：与圆C共根轴l的圆系
题型三：与圆有关的轨迹问题
例7．（2023·全国·高三专题练习）点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设点的坐标为，因为点是线段的中点，
可得，点在圆上，
则，即.
故选：A.
例8．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）已知A，B是：上的两个动点，P是线段的中点，若，则点P的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为中点为P，所以，又，所以，
所以点P在以C为圆心，4为半径的圆上，其轨迹方程为.
故选：C.
例9．（2023·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到的距离是点P到的距离的2倍．求点P的轨迹方程；
【解析】设点，
点P到的距离是点P到的距离的2倍，可得，
即，整理得，
所以点P的轨迹方程为；
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知是圆内的一点是圆上两动点，且满足，求矩形顶点Q的轨迹方程．
【解析】连接AB，PQ，设AB与PQ交于点M，如图所示．
因为四边形APBQ为矩形，所以M为AB，PQ的中点，连接OM.
由垂径定理可知
设
由此可得①
又在中，
有②
由①②得
故点M的轨迹是圆．
因为点M是PQ的中点，设
则
代入点M的轨迹方程中得，
整理得，即为所求点Q的轨迹方程．
变式15．（1977·福建·高考真题）动点到两定点和的距离的比等于2，求动点P的轨迹方程，并说明这轨迹是什么图形．
【解析】由题意可知：，
又，和，
所以，
化简得即，
所以动点P的轨迹是以为圆心，半径是4的圆
变式16．（2023·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知圆C：.
(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的一般式方程；
(2)从圆C外一点向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有，求点P的轨迹方程.
【解析】（1）由配方得，所以圆C的圆心，半径为，
因为直线l在x轴，y轴上的截距相等，所以设直线l为，即，
则由直线l与圆C相切得，解得或，
∴直线l的方程为或.
（2）由圆上切点的性质知，
又因为，所以，
所以，整理得，
故点P的轨迹方程为.
变式17．（2023·全国·高三专题练习）由圆外一点引圆的割线交圆于两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.
【解析】［方法一］：【通性通法】【最优解】直接法
设弦的中点的坐标为,连接、,则．
在中,由勾股定理有，而在圆内，
所以弦AB的中点M的轨迹方程为.
［方法2］：定义法
因为是的中点,所以,所以点的轨迹是以为直径的圆,圆心为,半径为，所以该圆的方程为:,化简得
［方法3］：交轨法
易知过点的割线的斜率必然存在，设过点的割线的斜率为,
则过点的割线方程为:.
∵且过原点,∴的方程为
这两条直线的交点就是点的轨迹.两方程相乘消去,化简,得:，
其中.
［方法4］：参数法
设过点的割线方程为:,它与圆的两个交点为、
的中点为，设.
由可得，，所以，，即有，，消去，
可求得点的轨迹方程为：，．
［方法5］：点差法
设,则.
∵.两式相减,整理,得.
所以,即为的斜率，
而的斜率又可表示为,化简并整理,得.
其中.
【整体点评】方法一：直接根据轨迹的求法，建系、设点、列式、化简、检验即可解出，是该类型题的常规方法，也是最优解；
方法二：根据题设条件,判断并确定轨迹的曲线类型,运用待定系数法求出曲线方程；
方法三：将问题转化为求两直线的交点轨迹问题；
方法四：将动点坐标表示成某一中间变量（参数）的函数，再设法消去参数；
方法五：根据曲线和方程的对应关系，点在曲线上则点的坐标满足方程，用点差法思想，设而不求．
变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，平面上一动点满足：且，．求动点的轨迹方程；
【解析】设，由，
所以，整理得，
即动点的轨迹方程．
变式19．（2023·全国·高三专题练习）在边长为1的正方形ABCD中，边AB、BC上分别有一个动点Q、R，且．求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程．
【解析】分别以AB，AD边所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系．
如图所示，则点、、、，
设动点，，
由知：，则．
当时，直线AR：①，直线DQ：，则②，
①×②得：，化简得．
当时，点P与原点重合，坐标也满足上述方程．
故点P的轨迹方程为．
变式20．（2023·全国·高三专题练习）已知的斜边为，且.求：
(1)直角顶点的轨迹方程；
(2)直角边的中点的轨迹方程.
【解析】（1）设，因为三点不共线，所以，
因为，所以，
又因为，所以，
整理得，即，
所以直角顶点的轨迹方程为.
（2）设，
因为，是线段的中点，
由中点坐标公式得，所以，
由（1）知，点的轨迹方程为，
将代入得，即
所以动点的轨迹方程为.
变式21．（2023·高二课时练习）如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.
【解析】设动点P(x，y)，由题意可知P是△ABD的重心，由A(-1，0)，B(1，0)，
令动点C(x0，y0)，则D(2x0-1，2y0)，
由重心坐标公式得，
则代入，
整理得
故所求轨迹方程为.
变式22．（2023·高二课时练习）已知点是圆上的定点，点是圆内一点，、为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点的轨迹方程．
(2)若，求线段中点的轨迹方程．
【解析】（1）设中点为，
由中点坐标公式可知，点坐标为
∵点在圆上，∴．
故线段中点的轨迹方程为．
（2）设的中点为，在中，，
设为坐标原点，则，所以，
所以．
故线段中点的轨迹方程为．
【解题方法总结】
要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x，y的等量关系，根据题目条件，直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在．
题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件
例10．（2023·河南·高三阶段练习）“”是“方程表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为方程，即表示圆，
等价于0，解得或.
故“”是“方程表示圆”的充分不必要条件.
故选：A
例11．（2023·上海奉贤·高三校考阶段练习）已知：圆的方程为，点不在圆上，也不在圆的圆心上，方程，则下面判断正确的是（ ）
A．方程表示的曲线不存在
B．方程表示与同心且半径不同的圆
C．方程表示与相交的圆
D．当点在圆外时，方程表示与相离的圆
【答案】B
【解析】因为为圆，设，点，其圆心为，半径为，
而的方程为，即，
因此上述方程中，圆心亦为，半径为，所以与圆是同心且半径不同的圆.
故选：B.
例12．（2023·高三课时练习）关于x、y的方程表示一个圆的充要条件是（ ）.
A．，且
B．，且
C．，且，
D．，且，
【答案】D
【解析】关于x、y的方程表示一个圆的充要条件是
，即，且，.
故选：D
变式23．（2023·全国·高三专题练习）若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【解析】若方程表示圆，则，
解得：或.
故选：C
变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知方程表示圆，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为方程表示圆，
所以，解得.
故选：D
变式25．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）若圆：过坐标原点，则实数的值为（ ）
A．2或1B．-2或-1C．2D．-1
【答案】C
【解析】∵表示圆，
∴
∴.
又圆过原点，
∴，
∴或（舍去）；
.
故选:C.
变式26．（2023·全国·高三专题练习）若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是（ ）
A．(1，＋∞)B．
C．(1，＋∞)∪D．R
【答案】A
【解析】因为方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，所以D2＋E2―4F＞0，
即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范围是(1，＋∞)．
故选：A.
变式27．（2023·高二课时练习）若，使曲线是圆，则（ ）
A．B．C．或D．
【答案】A
【解析】由题意，，
因为，所以或，
当时，方程为，
化简得，
此时，不表示圆；
当时，方程为，
化简得，
此时，表示圆.
所以.
故选：A
【解题方法总结】
方程表示圆的充要条件是，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为，半径
题型五：点与圆的位置关系判断
例13．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，方程可以表示圆，则，得；
由点在圆的外部可知：，得.
故.
故选：C
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知点在圆C：的外部，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得，
则，解得：①，
又∵点在圆的外部，
∴，即，解得或②，
由①②得，
故选：B．
例15．（2023·四川自贡·高一统考期中）点P在单位圆⊙O上（O为坐标原点），点，，则的最大值为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【解析】如图所示：
设，因为，
所以，
则，即，
因为点P在圆上，
所以，
令，得，
，即，
解得，
所以的最大值为2，
故选：C
变式28．（2023·全国·高二专题练习）点与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．不确定
【答案】C
【解析】因为，所以点在圆外，
故选：C
变式29．（2023·全国·高二专题练习）若点在圆的内部，则a的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题可知，半径，所以，把点代入方程，
则，解得，所以故a的取值范围是.
故选：D
变式30．（2023·全国·高二专题练习）已知圆，直线l：，若l与圆O相交，则（ ）．
A．点在l上B．点在圆O上
C．点在圆O内D．点在圆O外
【答案】D
【解析】由已知l与圆O相交，,可知圆心到直线的距离小于半径，
则有，故，
把代入，所以点不在直线l上，故A错误；
又，则点在圆O外，故D正确.
故选：D．
【解题方法总结】
在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约．
题型六：数形结合思想的应用
例16．（2023·高二校考单元测试）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】直线恒过定点，
曲线表示以点为圆心，半径为1，且位于直线右侧的半圆（包括点，）．
当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为；
当与半圆相切时，由，得，切线记为．
分析可知当时，与曲线有两个不同的交点，
故选：A．
例17．（2023·辽宁营口·高二校考阶段练习）已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】曲线整理得，
则该曲线表示圆心为，半径为1的圆的上半部分，直线，即，
则令，解得，则其过定点，
如图，当时，曲线与直线有两个不同的交点，
由，得或，所以，
，
所以实数的取值范围是.
故选：C．
例18．（2023·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考开学考试）直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由可得，整理可得，其中，
所以，曲线表示圆的下半圆，如下图所示：
当直线与曲线相切时，由图可知，，
且有，解得，
当直线过点时，则有，
由图可知，当时，直线与曲线有两个公共点，
故选：B.
变式31．（2023·全国·高二专题练习）直线与曲线的交点个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】因为曲线就是或，表示一条直线与一个圆，
联立，解得，即直线与直线有一个交点；此时，没有意义.
联立，解得或，所以直线与有两个交点.
所以直线与曲线的交点个数为2个.
故选：B
变式32．（2023·高二单元测试）若两条直线：，：与圆的四个交点能构成矩形，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【解析】由题意直线平行，且与圆的四个交点构成矩形，
则可知圆心到两直线的距离相等，
由圆的圆心为：，
圆心到的距离为：
，
圆心到的距离为：
，
所以，
由题意，
所以，
故选：A.
变式33．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）曲线，要使直线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意得：，即，即曲线上的点为圆上或圆外的点，
由得：或，
由得：或或或，
由此可得曲线的图象如下图所示，
由图象可知：当时，直线与曲线有四个不同交点；
实数的取值范围为.
故选：B.
变式34．（2023·吉林白山·统考二模）若过点且斜率为k的直线l与曲线有且只有一个交点，则实数k的值不可能是( )
A．B．C．D．2
【答案】B
【解析】如图，
曲线即表示以O为圆心，2为半径的上半圆，
因为直线即与半圆相切，所以，解得．
因为所以，
又直线l与曲线有且只有一个交点，所以或，
所以实数k的取值范围是
故选：B
变式35．（2023·全国·高三专题练习）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】表示的曲线是圆心为，半径为的圆在轴以及右侧的部分，如图所示：
直线必过定点，
当直线与圆相切时，直线和圆恰有一个交点，
即，结合直线与半圆的相切可得，
当直的斜率不存在时，即时，直线和曲线恰有两个交点，
所以要使直线和曲线有两个交点，
则.
故选：B.
变式36．（2023·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）已知是定义在上的奇函数，其图象关于点对称，当时，，若方程的所有根的和为6，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】方程的根转化为
和的图象的公共点的横坐标，
因为两个图象均关于点对称，
要使所有根的和为6，则两个图象有且只有3个公共点．
因为时，，
所以，所以图象为圆的一部分，
作出和的图象如图所示．
当时，只需直线与圆相切，
所以，可得；
当时，只需直线与圆相离，
所以，解得得或（舍）．
故k的取值范围是．
故选：A．
变式37．（2023·湖北·高三校联考期末）广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域．其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数，则当时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A选项，当时，，即表示圆内部及边界，显然不满足，故错误；
对于C选项，当时，，即表示圆外部及边界，满足；
当时，，即表示圆的内部及边界，满足，故正确；
对于B选项，当时，，即表示圆内部及边界，显然不满足，故错误；
对于D选项，当时，，即表示圆外部及边界，显然不满足，故错误；
故选：C
【解题方法总结】
研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像．在此过程中，尤其要注意需对代数式进行等价变形，以防出现错误．
题型七：与圆有关的对称问题
例19．（2023·高二单元测试）圆关于直线对称，则 ．
【答案】3
【解析】由可得圆的标准方程为：，
则由题意得直线过圆心，代入直线方程有，解得，
故答案为：3.
例20．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知圆关于直线对称，圆交于、两点，则
【答案】2
【解析】圆，即，圆心，半径，
因为圆关于直线对称，所以，解得，
所以，圆心，半径，
则圆心到轴的距离，所以.
故答案为：
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是 ．
【答案】2
【解析】圆上存在两点关于直线对称，所以直线过圆心，有，即.
，当且仅当，即时等号成立.
∴，即，所以时，的最小值为2.
故答案为：2
变式38．（2023·北京·高三人大附中校考阶段练习）已知圆C与圆D：关于直线对称，则圆C的方程为 ．
【答案】
【解析】因为，
设圆C的圆心为，
又因为圆C与圆D关于直线对称，
即圆心与关于直线对称，
所以，解得，
所以，圆C的方程为
变式39．（2023·全国·高三专题练习）已知圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是 ．
【答案】16
【解析】由圆的对称性可得，直线必过圆心，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
则的最小值是16
故答案为：16
变式40．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图像上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数k的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
由，解得，
又关于直线的对称直线为，
则题设等价于函数的图像和的图象有两个交点.
易得等价于，
画出和的图象，设直线和相切，
由，解得或（舍），
又当直线过点时，，
结合图象可知，当时，
函数的图像和的图象有两个交点.
故答案为：.
变式41．（2023·全国·高三专题练习）已知圆的标准方程是，圆关于直线对称，则圆与圆的位置关系为 ．
【答案】相交
【解析】由圆的方程知其圆心，半径；
由圆的方程知其圆心，半径；
圆关于直线对称，
直线过圆心，即，解得：，
圆心，；
两圆圆心距，则，
又，，，即，
圆与圆相交.
故答案为：相交.
变式42．（2023·全国·高三专题练习）若圆关于直线和直线都对称，则D＋E的值为 ．
【答案】4
【解析】圆的圆心为，
因为圆关于直线和直线都对称，
所以圆心在直线上，也在直线上，
所以，
解得，
所以，
故答案为：4
变式43．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知直线与曲线交于两点，且这两点关于直线对称， .
【答案】1
【解析】∵直线与曲线交于两点，且这两点关于直线对称，
∴圆心在直线上，
∴，
又∵两直线垂直，
∴,
∴.
故答案为：1
【解题方法总结】
（1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称
（2）圆关于点对称：
①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程
②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点
（3）圆关于直线对称：
①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程
②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线
题型八：圆过定点问题
例22．（2023·全国·高三专题练习）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为
【答案】
【解析】设抛物线交轴于点，交轴于点、，
由题意可知，由韦达定理可得，，
所以，线段的中点为，设圆心为，
由可得，解得，
，则，则，
所以，圆的方程为，
整理可得，
方程组的解为.
因此，的外接圆恒过的定点坐标为.
故答案为：.
例23．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为，则圆经过定点的坐标为 （其坐标与无关）
【答案】和
【解析】二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，记为，易知，满足，，，，设圆方程为，则
，
①－②得，，∴，从而，
代入③得，
∴圆方程为，
整理得，
由得或．
∴圆过定点和．
例24．（2023·重庆·高考真题）动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过点 ．
【答案】（2，0）
【解析】先由抛物线的标准方程写出其焦点坐标，准线方程，再结合抛物线的定义得出焦点必在动圆上，从而解决问题．
抛物线y2=8x的焦点F（2，0），
准线方程为x+2=0，
故圆心到直线x+2=0的距离即半径等于圆心到焦点F的距离，
所以F在圆上．
故答案为（2，0）．
点评：主要考查知识点：抛物线，本小题主要考查圆与抛物线的综合、抛物线的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．
变式44．（2023·浙江温州·高三阶段练习）已知动圆圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点____
【答案】
【解析】设动圆的圆心到直线的距离为r，
因为动圆圆心在抛物线上，且抛物线的准线为，
所以动圆圆心到直线的距离与到焦点的距离相等，
所以点一定在动圆上，即动圆必过定点.
故答案为：.
变式45．（2023·全国·高二专题练习）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ．
【答案】或
【解析】，即，
令，解得，，或，，
所以定点的坐标是或．
故答案为：或.
变式46．（2023·江西·高考真题）设有一组圆：．下列四个命题其中真命题的序号是
①存在一条定直线与所有的圆均相切；
②存在一条定直线与所有的圆均相交；
③存在一条定直线与所有的圆均不相交；
④所有的圆均不经过原点．
【答案】②④
【解析】根据题意得：圆心坐标为，
圆心在直线上，故存在直线与所有圆都相交，选项②正确；
考虑两圆的位置关系：
圆：圆心，半径为，
圆：圆心，即，半径为，
两圆的圆心距，
两圆的半径之差，
任取或时，（）， 含于之中，选项①错误；
若取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误，
将带入圆的方程,则有，即（），
因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．
故答案为②④.
变式47．（2023·全国·高二专题练习）对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为 .
【答案】、
【解析】由由得，故，解得或.
故填：、.
【解题方法总结】
特殊值法
1．（2023•乙卷）已知实数，满足，则的最大值是
A．B．4C．D．7
【答案】
【解析】根据题意，，即，其几何意义是以为圆心，半径为3的圆，
设，变形可得，其几何意义为直线，
直线与圆有公共点，则有，解可得，
故的最大值为．
故选：．
2．（2020•北京）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为
A．4B．5C．6D．7
【答案】
【解析】如图示：
半径为1的圆经过点，可得该圆的圆心轨迹为为圆心，1为半径的圆，
故当圆心到原点的距离的最小时，
连结，在上且，此时距离最小，
由，得，
即圆心到原点的距离的最小值是4，
故选：．
3．（2020•新课标Ⅲ）在平面内，，是两个定点，是动点．若，则点的轨迹为
A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线
【答案】
【解析】在平面内，，是两个定点，是动点，
不妨设，，设，
因为，
所以，，，
解得，
所以点的轨迹为圆．
故选：．
考点要求
考题统计
考情分析
（1）理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程．
（2）能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
2023年乙卷（文）第11题，5分
2023年上海卷第7题，5分
2022年甲卷（文）第14题，5分
2022年乙卷（文）第15题，5分
高考对圆的方程的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练掌握圆的标准方程与一般方程的求法，除了待定系数法外，要特别要重视利用几何性质求解圆的方程．
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