湖南省长沙市某五校联考2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

这是一份湖南省长沙市某五校联考2023-2024学年九年级上学期月考数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：12月14日周四下午14：10-16：10（120分钟）
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.-2的相反数是（ ）
A.2B.-2C.D.
2.月球沿着一定的轨道围绕地球运动，它的半长轴约为385000千米，这个数据用科学记数法精确到万位表示，应记为千米.（ ）
A.B.C.D.
3.下列各数中的无理数是（ ）
A.B.C.0D.
4.从正三角形、正方形、正五边形、正六边形中任选一个，选中的恰好既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是（ ）
A.B.C.D.
5.用反证法证明“若，则a，b中至少有一个为0”时，第一步应假设（ ）
A.，B.，C.，D.，
6.下列命题中，假命题是（ ）
A.平行四边形的对角线相等B.正方形的对角线互相垂直平分
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.有一个角为90°的平行四边形是矩形
7.如图，在扇形中，D为弧上的点，连接并延长与的延长线交于点C，若，，则的度数为（ ）
A.35°B.52.5°C.70°D.74°
8.如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为，.以点O为位似中心，在原点的另一侧按2∶1的相似比将缩小，则点A的对应点的坐标是（ ）
A.B.C.D.
9.如图，是的直径，与的相切，与的延长线相交于点C，若，那么为（ ）
A.26°B.27°C.32°D.37°
10.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行.问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A.B.
C.D.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
11.一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别.现随机从袋中摸出一个球，这个球是白球的概率是____________.
12.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____________.
13.平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点坐标为____________.
14.如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点A，再以点A为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点B，画出射线，则的度数____________.
15.如图所示，点B是反比例函数图象上的一点，过点B作x轴的垂线，垂足为A，连接，若的面积是4，则反比例函数的解析式是____________.
16.如图，正方形的边长为4，点E是正方形外一动点，且点E在的右侧，，P为的中点，当E运动时，线段的最大值为____________.
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题6分）
计算：.
18.（本小题6分）
先化简，再求值：，其中.
19.（本小题6分）
某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四类节目进行了一次随机抽样调查（每名学生必须选择且只能选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整统计图.
请你根据图中信息，回答下列问题：
（1）本次共调查了____________名学生.
（2）补全条形统计图（标注频数）.
（3）九年一班和九年二班各有2名学生擅长舞蹈，学校准备从这4名学生中随机抽取2名学生参加舞蹈节目的编排，那么抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率是多少？
20.（本小题8分）
如图，在平行四边形中，E为边上一点，.
（1）求证：；
（2）若，求的值.
21.（本小题8分）
如图，已知矩形的两边、分别落在x轴、y轴的正半轴上，顶点B的坐标是，反比例函数（）的图象经过矩形对角线的交点E，且与边交于点D.
（1）求反比例函数的解析式与点D的坐标；
（2）求出的面积；
22.（本小题9分）
某商场销售A、B两种商品，每件进价均为20元.调查发现，如果售出4种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元.
（1）求A、B两种商品的销售单价；
（2）经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；B种商品的售价不变，A种商品售价不低于B种商品售价.设A种商品降价m元，如果A、B两种商品销售量相同，求m取何值时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
23.（本小题9分）
如图，是的直径，C，D都是上的点，且平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F.
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长.
24.（本小题10分）
如图1，与直线相离a，过圆心l作直线a的垂线，垂足为H，且交于P，Q两点（Q在P，H之间）.我们把点P称为关于直线a的“远点”，把的值称为关于直线a的“特征数”.

图1 图2
（1）如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为，半径为1的与两坐标轴交于点A，B，C，D.
①过点E作垂直于y轴的直线m，则关于直线m的“远点”是点___________（填“A”，“B”，“C”或“D”），关于直线m的“特征数”为___________；
②若直线n的函数表达式为，求关于直线n的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系中，直线l经过点，点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作.若与直线l相离，点是关于直线l的“远点”，且关于直线l的“特征数”是，直接写出直线l的函数解析式.
25.（本小题10分）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，.
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点P是直线下方抛物线上一点，过点P作y轴的平行线，交于点E，过点P作的垂线，垂足为点F，求周长的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移3个单位，点Q为点P的对应点，点N为原抛物线对称轴上一点.在平移后抛物线上确定一点M，使得以点B，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程.
答案和解析
1.A 2.B 3.B 4.C 5.B 6.A 7.D 8.D 9.C 10.B
11. 12. 13. 14.60° 15. 16.
17解：原式
.
18.解：
，
将代入得：原式.
19.解：（1）50
（2）补全条形统计图为：
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数为4，所以抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率.
20.（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴.
∴.
21.解：（1）连接，则O、E、B三点共线.
∵B的坐标是，E是矩形对角线的交点，
∴E的坐标是，
∴，
则函数的解析式是.
当时，，即D的坐标是；
（2）∵，，
，
∴：
22.解：（1）设A种商品的销售单价为a元，B种商品的销售单价为b元，
由题意可得：
解得，
答：A种商品的销售单价为30元，B种商品的销售单价为24元；
（2）设利润为w元，
由题意可得：，
∵A种商品售价不低于B种商品售价，
∴，
解得，
∴当时，w取得最大值，此时，
答：m取5时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元.
23.
证明：连接.
∵于点E，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
∴，即于点D，且是半径，
∴是的切线.
（2）
解：连接交于点G
∵是的直径，
∴.
∵，
∴四边形是矩形.
∴，，即于点G.
在中，
∵，，
∴.
∵，是的半径，
∴
∴，
在中，
∵，，
∴，
∴，
∴.
24.解：（1）①D；10；
②如图，过点O作直线n于H，交于Q，P.
设直线交x轴于，交y轴于，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴关于直线n的“特征数”.
（2）或.
（2）过N作直线l的垂线，垂足为S，与的另一个交点为R，如图：
设，
∵点是关于直线l的“远点”，
∴S、R、F、N共线，
∵关于直线的“特征数”是，
∴，即，
∴，
∴①，
∵，，
∴，
在中，
∴②，
由①②可解得或
∴或
当时，设直线l的函数解析式为，
将，代入得：，
解得
∴直线l解析式为，
当时，设直线l的函数解析式为，将，代入得：
解得
∴直线l解析式为，
综上所述，直线l解析式为或.
25.解：（1）分别把点，，
代入得：，
解得：，
所以抛物线的解析式为；
（2），
∴，，，
直线的解析式为：，
设：，，
∴，
∴当时，最大为3，
∵轴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
所以当最大为3时，的周长最大为，
此时；
（3），将该抛物线沿水平方向向左平移3个单位，
则平移后的解析式为，，
设，，，
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：
可得，则，即：；
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：，
可得，则，即：；
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：，
可得，则，即：；
综上，符合条件的点M的坐标为：，，