高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念精品课时训练

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1．向量的概念
(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．
注：
①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
2．向量的表示法
(1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
(2)向量的表示方法:
①字母表示法：如 SKIPIF 1 < 0 等.
(2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段 SKIPIF 1 < 0 （注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段 SKIPIF 1 < 0 表示向量，通常我们就说向量 SKIPIF 1 < 0 .
注：
①用字母表示向量便于向量运算；
②用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
3．向量的有关概念
(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
注：
①向量 SKIPIF 1 < 0 的模 SKIPIF 1 < 0 ．
②向量不能比较大小，但 SKIPIF 1 < 0 是实数，可以比较大小．
(2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作 SKIPIF 1 < 0 ，它的方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.
注：
①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
②将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．
4．相等向量:长度相等且方向相同的向量.
注：
在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
4．向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定: SKIPIF 1 < 0 与任一向量共线.
注：
①零向量的方向是任意的，注意 SKIPIF 1 < 0 与0的含义与书写区别.
②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
5．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系
(1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等.
(2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点.
(3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等.
【题型1 向量的基本概念】
【方法点拨】
根据向量的基本概念，进行求解即可.
【例1】（2022秋·广东珠海·高一期中）给出下列物理量：
①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．
其中不是向量的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【解题思路】既有方向，又有大小的量为向量
【解答过程】①质量，⑥路程，⑦密度，⑧功，⑨时间只有大小，没有方向，故不是向量，其余均为向量，
故共有5个不是向量.
故选：C.
【变式1-1】（2022·全国·高一专题练习）以下选项中，都是向量的是（ ）
A．正弦线、海拔B．质量、摩擦力
C．△ABC的三边、体积D．余弦线、速度
【解题思路】根据向量的定义判断．
【解答过程】表示三角函数值的正切线、余弦线、正弦线既有大小，又有方向，都是向量．
海拔、质量、△ABC的三边和体积均只有大小，没有方向，不是向量．
速度既有大小又有方向，是向量，
故选：D．
【变式1-2】（2022秋·福建·高一阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．长度为0的向量叫做零向量
B．零向量与任意向量都不平行
C．平行向量就是共线向量
D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量
【解题思路】由平面向量的相关概念判断.
【解答过程】A. 规定长度为0的向量叫做零向量，故正确；
B.规定零向量与任意向量都平行，故错误；
C.平行向量就是共线向量，故正确；
D.长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，故正确；
故选：B.
【变式1-3】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．向量与向量长度相等
B．单位向量都相等
C．向量的模可以比较大小
D．任一非零向量都可以平行移动
【解题思路】A.由相反向量判断；B.由单位向量判断；C.由向量的长度是数量判断；D.由相等向量判断.
【解答过程】A.和长度相等，方向相反，故正确；
B.单位向量长度都为1，但方向不确定，故错误；
C.向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故正确；
D.向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故正确.
故选：B.
【题型2 向量的几何表示与向量的模】
【方法点拨】
第一步：已给定向量的起点、方向和长度；
第二步：在坐标纸上找准方向、长度；
第三步：画出对应的向量.
【例2】（2022秋·高一课时练习）一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．
（1）试作出向量；
（2）求．
【解题思路】（1）根据题设以为正东方向，过A垂直于向上为正北方向，结合题设画出向量即可.
（2）由题设知，易知为平行四边形，即可求.
【解答过程】（1）建立如图所示的直角坐标系，向量即为所求．
（2）根据题意，向量与方向相反，故向量，又，
∴在中，，故为平行四边形，
∴，则（海里）．
【变式2-1】（2022·高一课时练习）在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．
(1)，点A在点O北偏西45°方向；
(2)，点B在点O正南方向．
【解题思路】(1)根据描述找出终点A即可；
(2)根据描述找出终点B即可.
【解答过程】(1)∵，点A在点O北偏西45°方向，∴以O为圆心，3为半径作圆与图中正方形对角线OP的交点即为A点：
(2)∵，点B在点O正南方向，∴以O为圆心，图中OQ为半径化圆，圆弧与OR的交点即为B点：
【变式2-2】（2022·高一课时练习）已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．
【解题思路】根据方向角及飞行距离可作出向量，然后在三角形中求向量的模和方向．
【解答过程】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系．
由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限，
向量如图所示，
由已知可得，
为正三角形，所以．
又，，
所以为等腰直角三角形，
所以，．
故向量的模为，方向为东南方向．
【变式2-3】（2022·高一课时练习）在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点，并求终点的坐标
（1），的方向与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为；
（2），的方向与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为；
（3），的方向与轴、轴正方向的夹角都是.
【解题思路】利用向量的定义直接求解即可
【解答过程】如图所示.
（1）终点坐标为
（2）终点坐标为
（3）终点坐标为
【题型3 向量相等或共线】
【方法点拨】
判断两向量是否共线的关键是看两向量所在的直线是否平行或重合；判断两向量是否相等不仅要看两向量
所在的直线是否平行或重合，还要看两向量的模是否相等、方向是否相同.
【例3】（2022·高一课时练习）下列命题中正确的是（ ）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量
C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
【解题思路】根据向量相等与共线的概念即可解决.
【解答过程】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确；
两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误；
两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误；
与是共线向量，也可能是AB平行于CD，故D错误.
故选：A.
【变式3-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】由梯形的几何性质可判断AB选项；推导出为的中点，可判断CD选项.
【解答过程】在等腰梯形中，、不平行，、不平行，AB均错；
因为，则，则，则，
即，即，
，则，，即为的中点，
所以，，C错，D对.
故选：D.
【变式3-2】（2022秋·全国·高一期末）如图，在正中，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据相等向量的定义直接判断即可.
【解答过程】与方向不同，与均不相等；
与方向相同，长度相等，.
故选：D.
【变式3-3】（2022秋·湖北十堰·高一期中）在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则（ ）
A．与共线B．与共线
C．与相等D．与相等
【解题思路】根据向量共线概念即可求解结果．
【解答过程】因为与不平行，所以与不共线，A错
因为D，E分别是AB，AC的中点，则与平行，故与共线，B正确；
因为与不平行，所以与不相等，C错；
因为，则D错．
故选：B.
【题型4 用向量关系研究几何图形的性质】
【方法点拨】
(1)证明或判断线段相等，只需证明或判断相应向量的长度(模)相等.
(2)证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不重合.
【例4】（2022·高一课时练习）如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点.
(1)写出与向量共线的向量；
(2)求证：.
【解题思路】根据条件，可得四边形为平行四边形，即可写出与向量共线的向量；
根据题意可得出四边形是平行四边形，从而得出，，进而得出结论.
【解答过程】（1）
解：因为在平行四边形中，，分别是，的中点，，，
所以四边形为平行四边形，所以.
所以与向量共线的向量为：，，.
（2）
证明：在平行四边形中，，.
因为，分别是，的中点，
所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以，，
故.
【变式4-1】（2022·高一课时练习）已知点，，，分别是平面四边形的边，，，的中点，求证：．
【解题思路】连接AC，易得，分别为和的中位线，进而可得，且，又向量与方向相同，从而得证.
【解答过程】证明：如图，连接AC，
因为，分别是，的中点，所以为的中位线，
所以，且，
同理，因为，分别是，的中点，所以，且，
所以，且，
因为向量与方向相同，所以.
【变式4-2】（2022·江苏·高一专题练习）如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：.
【解题思路】根据平行四边形及向量相等的定理即可证明；
【解答过程】解：因为，所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以且.
又与的方向相同，所以.
同理可证，四边形是平行四边形，所以.
因为，，所以，
又与的方向相同，所以.
【变式4-3】（2022·高一课时练习）如图，已知在四边形中，M，N分别是，的中点，又.求证：.
【解题思路】根据相等向量的定义、中点的定义、平行四边形的判定定理和性质定理，可以证明出.
【解答过程】证明：由可知且，
所以四边形为平行四边形，
从而.
又M，N分别是，的中点，于是.
所以且.
所以四边形是平行四边形.
从而.