高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示精品当堂检测题

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1．（3分）（2023·高一课时练习）下列结论中正确的是（ ）．
A．复数z的任意两个辐角之间都差的整数倍；
B．任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个；
C．实数0不能写成三角形式；
D．复数0的辐角主值是0．
【解题思路】根据复数辐角、辐角主值定义及复数0辐角判断各项的正误.
【解答过程】A：复数0的辐角为任意值，其两个辐角之差不一定为整数倍，错误；
B：任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个，正确；
C：其中，故实数0能写成三角形式，错误；
D：复数0的辐角主值不唯一，错误.
故选：B.
2．（3分）（2022·全国·高三专题练习）复数的辐角主值为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】设出辐角为，利用公式计算出，，结合辐角主值的取值范围求出答案.
【解答过程】设复数的辐角为，
则，
所以，，
因为，
所以当时，满足要求，
所以辐角主值为.
故选：A.
3．（3分）复数的三角形式是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据对应象限角的三角函数值及诱导公式，写出复数的三角形式.
【解答过程】由，则.
故选：A.
4．（3分）（2023·高一课时练习）将复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是
A．B．C．D．
【解题思路】先将复数写成三角形式,再根据三角形式的运算法则求解即可.
【解答过程】复数的三角形式是,向量对应的复数是
，
故选：A.
5．（3分）（2023·高一课时练习）已知为虚数单位，，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】利用复数三角形式乘法运算法则计算即可.
【解答过程】，

.
故选：D.
6．（3分）（2022·全国·高三专题练习）棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣茣弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【解题思路】根据棣莫弗公式及诱导公式代入计算即可．
【解答过程】解：由已知得，
复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．
故选：C．
7．（3分）（2022·高一课时练习）把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角主值分别是（ ）
A．，B．C．D．
【解题思路】由题可知，即可求出，再根据对应的坐标即可得出它的辐角主值.
【解答过程】由题可知，
则，
，
可知对应的坐标为，则它的辐角主值为.
故选：B.
8．（3分）（2022春·福建福州·高二期末）已知i为虚数单位，若i，i， ，i，则i.特别地，如果i，那么ii，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是（ ）
A．若i，则i
B．若i，则i
C．若i，i，则i
D．若i，i，则i
【解题思路】A. i i，所以该选项正确；
B. i，所以该选项错误；
C. i，所以该选项错误；
D. ii.所以该选项错误.
【解答过程】A. 若i，则i i，所以该选项正确；
B. 若i，则i，所以该选项错误；
C. 若i，i，则i，所以该选项错误；
D. i，i，则ii.所以该选项错误.
故选：A.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·全国·高一假期作业）以下不是复数的三角形式是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式．
【解答过程】解：，所以B正确，而，故C正确.
故选：AD.
10．（4分）（2022·高一单元测试）已知单位向量分别对应复数，且，则可能为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据题意，设复数，，计算可得，即可选出答案.
【解答过程】因为单位向量分别对应复数，
设复数，，
因为，所以，即，
所以，
故选：AD.
11．（4分）（2022春·江苏盐城·高一阶段练习）任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．B．当，时，
C．当，时，D．当，时，若n为偶数，则复数为纯虚数
【解题思路】根据复数的相关定义及性质，逐项分析即可得出答案.
【解答过程】对于复数有，
，
，而，所以选项A正确；
根据复数的三角形式，时，，
此时，，选项B错误；
时，
根据棣莫弗定理，，所以选项C正确；
时，，n为偶数时，
设, ，
所以k为奇数时，为纯虚数；k为偶数时为实数，选项D错误.
故选：AC.
12．（4分）（2022·高一单元测试）著名的欧拉公式为：，其中，为自然对数的底数，它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系．其广义一般式是，该复数在复平面内对应的向量坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若复数满足，则
C．若复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直，则
D．复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直
【解题思路】对于A：根据已知得，再由对数运算可判断；
对于B：由已知计算得，由此可判断；
对于C：由已知得对应的向量坐标为，对应的向量坐标为，根据垂直的坐标表示可判断；
对于D:根据向量垂直的坐标表示可判断．
【解答过程】∵，∴，故A正确；
∵，∴．故B正确；
∵对应的向量坐标为，对应的向量坐标为，
∴，即，又，，∴，或．故C不正确；
∵，复数，两者对应向量坐标为、，∴两向量垂直．故D正确，
故选：ABD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2023·高一课时练习）的三角形式是 （答案不唯一） ．
【解题思路】设，注意求出对应，即可得结果.
【解答过程】令且，
所以，则满足，
所以三角形式可写成.
故答案为：(答案不唯一).
14．（4分）（2023·高一课时练习）已知的辐角主值是，则它的共轭复数的辐角主值是 ．
【解题思路】根据复数的三角表示可得，从而可得其共轭复数，即可得共轭复数的辐角主值.
【解答过程】解：的辐角主值是，则，，
所以共轭复数，
则共轭复数的辐角主值是.
故答案为：.
15．（4分）（2022春·福建漳州·高一期末）如果向量对应复数绕原点按顺时针方向旋转后再把模变为原来的倍得到向量，则对应的复数是 .
【解题思路】先求出复数的三角形式，然后利用三角形式变换求解对应的复数
【解答过程】解：因为，
所以由题意可得对应的复数为
，
故答案为：.
16．（4分）（2022春·浙江·高二期末）人教版新教材中增加了如下内容：任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列法正确的是 ①③⑤ ．
①；
②当，时，；
③当，时，；
④当，时，若为偶数，则复数为纯虚数；
⑤
【解题思路】利用复数的模长公式可判断①的正误，利用复数的三角运算可判断②③④⑤的正误.
【解答过程】对于①，，
所以，，而，则，
所以，，①正确；
对于②，当，时，，②错误；
对于③，当，时，，则，③正确；
对于④，当，时，取，则，④错误；
对于⑤，，⑤正确.
故答案为：①③⑤.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2023·高一课时练习）求复数的辐角主值．
【解题思路】根据三角很恒等变换换成中角为主辐角.
【解答过程】
，
故复数的辐角主值是.
18．（6分）（2022·高一课时练习）如图，向量对应的复数为，把绕点O按逆时针方向旋转120°，得到.求向量对应的复数（用代数形式表示）.
【解题思路】根据复数乘法的几何意义，向量对应的复数是复数与的积，其中复数的模是1，辐角的主值是120°
【解答过程】解：向量对应的复数为
.
19．（8分）（2022·高一课时练习）把下列复数表示成三角形式，并画出与之对应的向量．
(1)6；
(2)；
(3)；
(4)．
【解题思路】对（1）（2）（3）（4）中的复数，先画出图像，结合图像求得辐角主值和模，从而求得其三角形式.
【解答过程】（1）设复数的模为，辐角主值为．
6对应的向量如下图中，
∵，，，又，
∴，∴．
（2）设复数的模为，辐角主值为．
对应的向量如下图中，
∵，，，
又，∴，
∴．
（3）设复数的模为，辐角主值为．
对应的向量如下图中，
∵，，，
又，∴，
∴．
（4）设复数的模为，辐角主值为．
对应的向量如下图中，
∵，，，
又，
∴，
∴．
20．（8分）（2022·全国·高一假期作业）计算下列各式：
(1)；
(2)；
(3)．
【解题思路】根据复数三角形式的乘法运算直接求解即可.
【解答过程】(1)
.
(2)
.
(3)
方法一： .
方法二：.
21．（8分）（2022·高二课时练习）已知复数在复平面上对应的点分别为，且为复平面的坐标原点.
（1）若,向量绕原点逆时针旋转且模变为原来的2倍后与向量重合，求的值.
（2）若，试判断四边形的形状.
【解题思路】（1）根据题意得复数的三角形式，利用旋转得复数，进而可得复数；
（2）根据题意可得为平行四边形，计算复数的模进而可得为菱形.
【解答过程】（1）,
复数对应向量绕原点逆时针旋转变为复数,
模变为原来的2倍后，向量对应复数.
，
.
（2）由复数在复平面上对应的点分别为，且为原点，
四边形为平行四边形.
，
，
，
，
，
，
四边形为菱形.
22．（8分）（2022·全国·高一专题练习）一般地，任何一个复数（，）都可以表示成形式，其中，是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与“三角形式”区分开来，（，）叫做复数的代数表示式，简称“代数形式”.
(1)画出复数对应的向量，并把表示成三角形式；
(2)已知，，，其中，.试求（结果表示代数形式）.
【解题思路】（1）根据对应的点在第四象限画出图象，求得复数的模和辅角即可；
（2）根据，进而求得，，再利用复数的乘法求解.
【解答过程】(1)
因为对应的点在第四象限，
所以对应的向量如图所示.
易得，，，
所以.
所以.
(2)
因为，
所以.
又，，
所以.
所以.
所以，
，
.