数学必修 第二册8.2 立体图形的直观图优秀复习练习题

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1．空间几何体的直观图
(1)直观图的概念
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全
在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同.
在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.
(2)斜二测画法及其步骤
利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其
步骤是：
①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y'
轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'= SKIPIF 1 < 0 (或 SKIPIF 1 < 0 )，它们确定的平面表示水平面.
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别面成平行于x'轴或y'轴的线段.
③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度
为原来的一半.
(3)旋转体及其相关概念
斜二测画法画空间几何体的直观图的规则
画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且有
以下规则.
①已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段.
②已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原
来的一半.
③连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.
2．平面图形的面积与其直观图的面积间的关系
(1)以三角形为例，则有 SKIPIF 1 < 0 .如图所示， SKIPIF 1 < 0 ，它的直观图的面积
SKIPIF 1 < 0 .
(2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系： SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .即若记一个平面多边形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，由斜二测画法得到的直观图的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【题型1 斜二测画法】
【方法点拨】
根据斜二测画法画直观图的规则和步骤，进行求解即可.
【例1】（2023·高一课时练习）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据斜二测画法规律，平行于轴的线段长度是原长的一半即可判断.
【解答过程】在直观图中，其一条对角线在y轴上且长度为，
所以在原图形中其中一条对角线必在y轴上，且长度为，
故选：A．
【变式1-1】（2022秋·陕西渭南·高一期末）如图，是的直观图，其中，，那么是一个（ ）
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．无法确定
【解题思路】将直观图还原为投影图，分析几何图形的形状.
【解答过程】
将直观图还原，则，，所以是正三角形.
故选：A.
【变式1-2】（2022春·山西吕梁·高一期中）某几何体底面的四边形OABC直观图为如图矩形，其中，，则该几何体底面对角线AC的实际长度为（ ）
A．6B．C．D．
【解题思路】通过直观图与原图的关系得出A、C两点的坐标，即可得出答案.
【解答过程】根据四边形OABC直观图将其还有为平面图形如图：
根据直观图与原图的关系可得：
，，，
则点，，
，
故选：B.
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）如图，是水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图，其中，则△ABC是（ ）
A．钝角三角形B．等腰三角形，但不是直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
【解题思路】根据题意，将△还原成原图，分析、、的关系，由三角形的性质即可得答案．
【解答过程】将其还原成原图，设，则可得，
，从而，所以，
即，故是等腰直角三角形.
故选：C.
【题型2 画平面图形的直观图】
【方法点拨】
画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置.顶点位置可以分为两类：一类是在轴上
或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点
一般通过作过此点且与轴平行或垂直的线段，将此点转到与轴平行或垂直的线段上来确定.
【例2】（2023·高一课时练习）如图，等腰梯形ABCD上底，下底，高为1cm．用斜二测画法画出该梯形的直观图.
【解题思路】在等腰梯形中建立平面直角坐标系，再利用“斜二测”画法确定另两个顶点位置即可画出其直观图.
【解答过程】在等腰梯形中，过D作于O，以直线CB，OD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，
其中，
在平面内取点，过作直线，使，如图，
在直线上取点，使，过作线段，使，
在直线上取点，使，
连接，抹去辅助线得等腰梯形的直观图，如图梯形.
【变式2-1】（2023·高一课时练习）用斜二测法画出如图边长为2的等边三角形的直观图，并求直观图面积．
【解题思路】先在直角坐标系中得出各边的数值，再按“斜二测”画法作图，得出相关关系，再求出直观图的高度，求出面积.
【解答过程】画法:(1)如图 (1),在等边三角形中,取所在直线为轴,的垂直平分线为轴,两轴相交于点.在图 (2)中,画相应的轴与轴,两轴相交于点,使.
(2)在图 (2)中,以为中点,在轴上取,在轴上取.
(3)连接,并擦去辅助线轴和轴,便获得等边三角形水平放置的直观图(图 (3)).
由题意在平面直角坐标系中，三角形是边长为2的正三角形
∴，边上的高为，
在三角形中，，
∴,
边上的高，
故 ，
故直观图面积cm2.
【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）用斜二测画法画出如图所示的五边形的直观图.(不写作法，保留作图痕迹)
【解题思路】根据斜二测画法作图即可.
【解答过程】
①如图(1)，将A点和原点O重合，AB和x轴重合，AE与y轴重合.通过C分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为H、I，通过D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为F、G；
②如图(2)，作坐标系，轴和轴夹角为45°，在轴上取点，使得：与重合，，，；
③如图(2)，在轴上取点，使得：，，；
④如图(2)，过作轴平行线，过作轴平行线，两平行线交于；过作轴平行线，过作轴平行线，两平行线交于；
⑤如图(2)，依次连接、、、即可完成作图．
【变式2-3】（2022·全国·高一专题练习）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图：
(1)边长为的正三角形；
(2)边长为的正方形；
(3)边长为的正八边形．
【解题思路】（1）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图；
（2）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图；
（3）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图.
【解答过程】(1)
解：如图①所示，以边所在的直线为轴，以边的高线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
画对应的轴、轴，使，
在轴上截取，在轴上截取，
连接、、，则即为等边的直观图，如图③所示.
(2)
解：如图④所示，以、边所在的直线分别为轴、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
画对应的轴、轴，使，
在轴上截取，在轴上截取，
作轴，且，连接，
则平行四边形即为正方形的直观图，如图⑥所示.
(3)
解：如图⑦所示，画正八边形，以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，
设点、在轴上的射影点分别为、，
画对应的轴、轴，使，
在轴上截取，，，
在轴上截取，作轴且，
作轴，且，作轴，且，
作轴，且，作轴，且，
连接、、、、、、、，
则八边形为正八边形的直观图，如图⑨所示.
【题型3 画空间几何体的直观图】
【方法点拨】
(1)对于一些常见简单几何体(柱体、锥体、台体、球) 的直观图，应该记住它们的大致形状，以便快速准确
地画出.
(2)画空间几何体的直观图比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向.
(3)平行于z轴(或在z轴上)的线段，方向与长度都与原来保持一致.
【例3】（2022·高一课时练习）用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图．
【解题思路】由斜二测画法的规则画出直观图即可.
【解答过程】解：根据斜二测画法的规则可知，底面矩形的直观图为平行四边形．
①画出水平放置的长、宽分别是8 cm、6 cm的矩形ABCD的直观图．
②作Az垂直于AB，在Az轴上截取．
分别过点B、C、D作，，，且．
③连接、、、，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，即得长方体的直观图，如图2所示．
【变式3-1】（2022·高一课时练习）画出一个正六棱柱的直观图，底面为边长为3的正六边形，高为5．
【解题思路】根据斜二测画法的要求和步骤，作图即可.
【解答过程】（1）画轴.如图，画x,y,z轴，三轴相交于O，使得 .
（2）画底面.在x轴上以O为中点截取线段FC，使FC=6cm,在y轴上以O为中点取线段GH,
使 ,分别过点G,H作x轴的平行线，并在平行线上分别以G,H为中点截取AB=3cm,ED=3cm,
连接BC,CD,EF,FA,则六边形ABCDEF就是正六棱柱的底面的直观图.
（3）画侧棱.在z轴正半轴上取线段,使，过A,B,C,D,E,F各点作z轴的平行线，
在这些平行线上分别截取5cm长的线段 .
（4）成图.顺次连接,并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），得到所要求作的正六棱柱的直观图.

【变式3-2】（2022·高一课时练习）已知直三棱柱，的底面是等腰直角三角形，且，侧棱．在给定的坐标系中，用斜二测画法画出该三棱柱的直观图．（不要求写出画法，但要标上字母，并保留作图痕迹）
【解题思路】根据斜二测画法的原则，可画出直观图.
【解答过程】如图所示．
【变式3-3】（2022·全国·高一专题练习）画出图中简单组合体的直观图（尺寸单位：cm）．
【解题思路】利用斜二测画法求解.
【解答过程】如图所示：
【题型4 平面图形的面积与其直观图的面积的关系】
【方法点拨】
根据斜二测画法中平面图形的面积与其直观图的面积的关系，结合具体条件，进行转化求解即可.
【例4】（2022秋·四川内江·高二期中）如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是（ ）
A．B．12C．12D．24
【解题思路】根据斜二测画法求出直观图的面积，进而即可得到原图形的面积.
【解答过程】由斜二测画法可知，
所以，
所以，
所以,
故选：A.
【变式4-1】（2022秋·四川·高二期中）如图，是一个平面图形的直观图，若，则这个平面图形的面积是（ ）
A．1B．C．D．
【解题思路】结合斜二测法的转化关系，求出平面图形的底和高，即可求解.
【解答过程】由已知得中，直角边，，
则平面图中该三角形，对应底面边长不变为，三角形的高应为，
则平面三角形的面积为.
故选：C.
【变式4-2】（2022秋·安徽六安·高三阶段练习）一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ）
A．B．C．8D．
【解题思路】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的面积即可．
【解答过程】还原直观图为原图形如图所示，
因为，所以，还原回原图形后，
，；
所以原图形的面积为．
故选：D.
【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是（ ）
A．面积为的矩形B．面积为的矩形
C．面积为的菱形D．面积为的菱形
【解题思路】根据题意利用斜二测画法判断原图形的形状，即可求出其面积.
【解答过程】，所以，
故在原图中，，
，
所以四边形为菱形(如图所示)，，
则面积为.
故选：C.