江苏省2024届百校大联考高三上学期第二次模拟预测考试数学

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1.D 【解析】法一:因为z(1+i)=1-3i,
所以z=1-3i1+i=(1-3i)(1-i)(1+i)(1-i)=1-3-4i2=-1-2i,所以|z-|=|z|=5,故选D.
法二:两边取模|z(1+i)|=|1-3i|,得|z|·|1+i|=|1-3i|,所以|z-|=|z|=5,故选D.
2.C 【解析】解不等式1x-1<-1,即xx-1<0,所以03.C 【解析】a=(-2,1),c=(2,t).
若a∥c,t×(-2)=2×1,得t=-1,此时a与c互为相反向量;
若a·c=(-2)×2+t=t-4>0,得t>4,此时向量a与c的夹角为锐角.
故“t>4”是“向量a与c的夹角为锐角”的充要条件,故选C.
4.C 【解析】由图象知T=4×(7π12-π3)=π,故ω=2.
将(7π12,-1)代入解析式,得sin(7π6+φ)=-1,所以7π6+φ=-π2+2kπ,k∈Z,
又|φ|<π2,即φ=π3,所以f(x)=sin(2x+π3).故选C.
5.C 【解析】抛掷两次总的基本事件有36个.当x=1时,没有满足条件的基本事件;
当x=2时,y=1满足;当x=3时,y=1,2,6满足;当x=4时,y=1,2,3,5,6满足;
当x=5时,y=1,2,6满足;当x=6时,y=1满足.总共有13种满足题意,所以P(A)=1336,
故选C.
6.B 【解析】设切点为(x0,ln x0),y'=1x,则a=1x0,ax0+b=lnx0,得b=ln x0-1,∴2a+b=2x0+ln x0-1.设f(x)=2x+ln x-1(x>0),f'(x)=-2x2+1x=x-2x2,当x∈(0,2)时,f'(x)<0,当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,
∴f(x)min=f(2)=ln 2,∴2a+b的最小值为ln 2.
7.C 【解析】因为抛物线C过点P(1,-2),所以抛物线C的方程为y2=4x,线段AB长度的最小值为通径2p=4,所以A错误;
由定义知AA1=AF,AA1∥x轴,所以∠AFA1=∠AA1F=∠A1FO,同理∠BFB1=∠B1FO,所以∠A1FB1=90°,所以B错误;
设直线与抛物线C交于AB:x=my+1,联立抛物线,得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1·y2=-4,kOA=y1x1=4y1=-y2,因为B1(-1,y2),所以kOB1=-y2=kOA,A,O,B1三点共线,所以C正确;
设AB的中点为M(x0,y0),则y0=y1+y22=2m,x0=my0+1=2m2+1,取m=-1,M(3,-2),所以D错误.故选C.
8.D 【解析】当n=1时,a1=12,由Sn+1+an+1=1,得2an+1-an=0,∴an=12n,显然{an}递减,要使得an最小,即要使得n最大,令12n≥12m+1,得2n≤2m+1.若m=1,则n≤1,b1=a1=12;若2≤m≤3,则n≤2,bm=a2=14;若4≤m≤7,则n≤3,bm=a3=18;若8≤m≤15,则n≤4,bm=a4=116;…;若1024≤m≤2047,则n≤11,bm=a11=1211.∴T1=b1=12,T3=b1+(b2+b3)=12+12=1,T7=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)=12+12+12=32,…,∴T2047=11×12=112,∴T2023=112-24211=112-328,故选D.
9.ABD 【解析】f(x)是R上的奇函数,因此f(0)=0,A正确;
由f(x-1)=f(x+1)得f(x)=f(x+2),所以2是它的一个周期,B正确;
f(2023)=f(2×1011+1)=f(1),而f(1)=0,C错误;
f(4)=f(0)=0,f(5)=f(3),因此f(5)=f(4)+f(3),D正确.故选ABD.
10.BD 【解析】A选项,与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点,故A错误;
B选项,易证明线段PQ与线段RS的中点重合,故B正确;
C选项,当k越来越接近渐近线的斜率时,S△ORB会趋向于无穷,不可能有最大值,故C错误;
D选项,联立直线l与渐近线y=bax,解得S(a22b+a,ab2b+a),
联立直线l与渐近线y=-bax,解得R(a2-2b+a,ab2b-a),由题可知,RS=2SB,
所以yS-yR=2(yB-yS),即3yS=yR+2yB,
3ab2b+a=ab2b-a,解得b=2a,所以e=3,故D正确.故选BD.
11.BCD 【解析】对于A,假设BD⊥AP,则BD⊥平面ACD1,因为AC⊂平面ACD1,所以BD⊥AC,则四边形ABCD是菱形,AB=AD,A不正确;
对于B,由平行六面体ABCD-A1B1C1D1得CD1∥平面ABB1A1,所以四棱锥P-ABB1A1的底面积和高都是定值,所以体积是定值,B正确;
对于C,AC1=AB+AD+AA1,AM=AB+12AD,故2AM-AC1=AB-AA1=A1B,故C正确;
对于D,设PC=λD1C,
PA·PC=(PC+CB+BA)·PC
=(λD1C-AD-AB)·λD1C=(λA1B-AD-AB)·λA1B
=(λAB-λAA1-AD-AB)·(λAB-λAA1)
=λ(λ-1)|AB|2-λ2AA1·AB-λAD·AB-λ(λ-1)AB·AA1+λ2|AA1|2+λAD·AA1
=λ(λ-1)|AB|2-(2λ2-λ)AA1·AB-λAD·AB+λ2|AA1|2+λAD·AA1
=λ(λ-1)×4-(2λ2-λ)×4cs 60°-λ×2cs 60°+4λ2+λ·2cs 60°
=4λ2-2λ=(2λ-12)2-14≥-14,
当且仅当λ=14时,等号成立,所以PA·PC的最小值为-14,故D正确.故选BCD.
12.BD 【解析】对于A,因为a=1,所以方程f(x)=0即ex+1-x=0,又ex≥x+1>x-1,所以ex+1-x>0恒成立,所以方程f(x)=0不存在实数根,所以A错误.
对于B,因为f(x)=a(ex+a)-x,定义域为R,所以f'(x)=aex-1,
当a≤0时,由于ex>0,则aex≤0,故f'(x)=aex-1<0恒成立,
所以f(x)在R上单调递减,所以B正确.
对于C,由上知,当a>0时,令f'(x)=aex-1=0,解得x=-ln a.
当x<-ln a时,f'(x)<0,则f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减;
当x>-ln a时,f'(x)>0,则f(x)在(-ln a,+∞)上单调递增.
当a>0时,f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增.
所以函数f(x)有最小值,即最小值在x=-ln a处取得,所以C错误.
对于D,由上知f(x)min=f(-ln a)=a(e-ln a+a)+ln a=1+a2+ln a,
要证f(x)>2ln a+32,即证1+a2+ln a>2ln a+32,即证a2-12-ln a>0恒成立,
令g(a)=a2-12-ln a(a>0),则g'(a)=2a-1a=2a2-1a.
令g'(a)<0,则00,则a>22.
所以g(a)在(0,22)上单调递减,在(22,+∞)上单调递增,
所以g(a)min=g(22)=(22)2-12-ln22=ln2>0,则g(a)>0恒成立,
所以当a>0时,f(x)>2ln a+32恒成立,D正确.综上,故选BD.
13.(-∞,1] 【解析】因为x∈[0,2],所以由ax2-2x+a≤0,得a≤2xx2+1,
因为关于x的不等式ax2-2x+a≤0在区间[0,2]上有解,所以只需a小于或等于2xx2+1的最大值,当x=0时,2xx2+1=0,当x≠0时,2xx2+1=2x+1x≤1,当且仅当x=1时,等号成立,
所以2xx2+1的最大值为1,故a≤1,即实数a的取值范围是(-∞,1].故答案为(-∞,1].
14.273 【解析】设公比为q,a1+a3+a5=a3q2+a3+a3q2=919,解得q2=9或19,因为{an}递增,所以q=3,则a4+a6+a8=(a1+a3+a5)q3=919×33=273.故答案为273.
15.12π 【解析】设圆台上、下底面圆心分别为O1,O2,则圆台内切球的球心O一定在O1O2的中点处,设球O与母线AB切于M点,∴OM⊥AB,∴OM=OO1=OO2=R(R为球O的半径),∴△AOO1与△AOM全等,∴AM=r1,同理BM=r2,
∴AB=r1+r2,∴O1O22=(r1+r2)2-(r1-r2)2=4r1r2=12,∴O1O2=23,
∴圆台的内切球半径R=3,∴内切球的表面积为4πR2=12π.故答案为12π.
16.e2 【解析】f(x)≥0⇔ax+ex≥aln(ax+b)+(ax+b),设g(x)=aln x+x,易知g(x)在(0,+∞)上递增,且g(ex)=aln ex+ex=ax+ex,故f(x)≥0⇔g(ex)≥g(ax+b)⇔ex≥ax+b.
法一:设y=ex在点P(x0,ex0)处的切线斜率为a,ex0=a,即x0=ln a,
切线l:y=ax+a(1-ln a),
由ex≥ax+b恒成立,可得b≤a(1-ln a),∴ab≤a2(1-ln a),设h(a)=a2(1-ln a),a>0,
h'(a)=2a(12-ln a),当a∈(0,e12)时,h'(a)>0,当a∈(e12,+∞)时,h'(a)<0,∴h(a)max=h(e12)=e2,∴ab的最大值为e2.故答案为e2.
法二:设h(x)=ex-ax-b,h'(x)=ex-a,
当x∈(-∞,ln a)时,h'(x)<0,当x∈(ln a,+∞)时,h'(x)>0,
∴h(x)min=h(ln a)=a(1-ln a)-b≥0,即有b≤a(1-ln a),∴ab≤a2(1-ln a),下同法一.
17.【解析】(1)证法一:因为1-csAsinA=sin2B1+cs2B=2sinBcsB2cs2B=sinBcsB,
所以(1-cs A)·cs B=sin A·sin B,2分
所以cs B=cs Acs B+sin Asin B,即cs(A-B)=cs B,
而-π2所以sin A=sin 2B=2sin Bcs B.
由正弦定理得 a=2bcs B,即cs B=a2b.5分
证法二:由1-csAsinA=2sin2A22sinA2csA2=sinA2csA2=sin2B1+cs2B,所以sinA2csA2=sin2B1+cs2B,
即sinA2·(1+cs 2B)=csA2·sin 2B,
所以sinA2=sin 2B·csA2-cs 2B·sinA2=sin(2B-A2),
又0π2,
所以A2=2B-A2或A2+(2B-A2)=2B=π,所以A=2B或B=π2(与锐角△ABC不合,舍去).
综上知,A=2B.所以sin A=sin 2B=2sin Bcs B,由正弦定理得 a=2bcs B,即cs B=a2b.
(2)由上知A=2B,则C=π-A-B=π-3B,在锐角△ABC中,π6由正弦定理,得ab=sinAsinB=sin2BsinB=2sinBcsBsinB=2cs B∈(2,3),9分
所以ab的取值范围是(2,3).10分
18.【解析】(1)记事件D:选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事件E:此人来自甲市,记事件F:此人来自乙市,记事件G:此人来自丙市.1分
Ω=E∪F∪G,且E,F,G彼此互斥,
由题意可得P(E)=420=0.2,P(F)=620=0.3,P(G)=1020=0.5,
P(D|E)=0.08,P(D|F)=0.06,P(D|G)=0.04,3分
由全概率公式可得P(D)=P(E)·P(D|E)+P(F)·P(D|F)+P(G)·P(D|G)=0.2×0.08+0.3×0.06+0.5×0.04=0.054,5分
所以从三市中任取一人,这个人感染支原体肺炎病毒的概率为0.054.6分
(2)由条件概率公式可得P(E|D)=P(DE)P(D)=P(E)·P(D|E)P(D)=0.2×11分
所以当此人感染支原体肺炎病毒时,他来自甲市的概率为827.12分
19.【解析】(1)因为2Sn-3an+3=0,①
当n≥2时,2Sn-1-3an-1+3=0,②2分
①-②得 an=3an-1(n≥2),即anan-1=3(n≥2),
所以数列{an}是首项为3,公比为3的等比数列.4分
(2)由(1)知an=3n,所以Sn=3(1-3n)1-3=3n+1-32,
Tn=a1a2a3…an=3×32×33×…×3n=31+2+3+…+n=3n(n+1)2,6分
所以?k=1n(1-2k)(Sk-2ak+32)lg3Tk=?k=1n(1-2k)(3k+1-32-2·3k+32)lg33k(k+1)2
=?k=1n(2k-1)3kk(k+1)=?k=1n(3k+1k+1-3kk)=3n+1n+1-3>λ·3nn+1对任意n∈N*恒成立,8分
故λ<3-n+13n-1恒成立,9分
令f(n)=3-n+13n-1,则f(n+1)-f(n)=3-n+23n-(3-n+13n-1)=2n+13n>0,11分
所以数列{f(n)}单调递增,所以f(n)min=f(1)=1,所以λ<1,故整数λ的最大值为0.12分
20.【解析】(1)由题可知,|A1A2|=2a,由A1F=3FA2,所以|A1F|=3|FA2|,所以|A1F|=34|A1A2|=32a,
即a+c=32a,所以椭圆的离心率e=ca=12.3分
(2)法一:由题意知,c=1,a=2,所以椭圆方程为x24+y23=1,
直线A2P的斜率存在,设直线A2P的斜率为k,
则直线方程为kx-y-2k=0且k<0,
设A1到直线A2P的距离为h1,F到直线A2P的距离为h2,
则h1=|-4k|k2+1,h2=|-k|k2+1,5分
又S△A1PQ=12h1·|PQ|,S△A2FP=12h2·|A2P|,S△A1PQ=S△A2FP,
所以|PQ||A2P|=h2h1=14,8分
由图可得A2P=45A2Q,又因为A2(2,0),Q(0,-2k),所以P(25,-85k),10分
又P在椭圆上,代入椭圆方程解得k2=98,因为k<0,所以k=-324.12分
法二:由题意知,直线A2P的斜率存在,设直线A2P的斜率为k,则直线方程为kx-y-2k=0且k<0,
联立kx-y-2k=0,x24+y23=1,消去y得到方程(3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0,
所以xA2·xP=16k2-123+4k2,所以xP=8k2-63+4k2,5分
代入直线方程得P(8k2-63+4k2,-12k3+4k2),Q(0,-2k),7分
S△A2FP=12|A2F|·yP=yP2,S△A1PQ=S△QA1A2-S△PA1A2=12·4·(-2k)-12·4·yP,
又因为S△A1PQ=S△A2FP,所以52yP=-4k,10分
所以52·-12k3+4k2=-4k,解得k2=98,因为k<0,所以k=-324.12分
21.【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AD⊥CD.
∵平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,AD⊂平面ABCD,
∴AD⊥平面PCD,
∵PD⊂平面PCD,∴AD⊥PD,2分
同理CD⊥PD.
∵AD∩CD=D,AD⊂平面ABCD,CD⊂平面ABCD,
∴PD⊥平面ABCD.4分
(2)由(1)知AD⊥PD,CD⊥PD,AD⊥CD,∴DA,DC,DP两两垂直,如图,以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.设PD=AD=2,则D(0,0,0),P(0,0,2),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,0,1).
∵PD⊥平面ABCD,
∴平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),5分
CN=λCP(0≤λ≤1),∴BM=(-2,-2,1),CP=(0,-2,2),
∴BN=BC+CN=BC+λCP=(-2,0,0)+λ(0,-2,2)=(-2,-2λ,2λ),
设平面BMN的法向量为n=(x,y,z),
则BM·n=-2x-2y+z=0,BN·n=-2x-2λy+2λz=0,取x=λ,则y=1-2λ,z=2-2λ,
∴平面BMN的一个法向量为n=(λ,1-2λ,2-2λ).7分
设平面BMN与平面ABCD的夹角为θ,
则cs θ=|cs|=|n·m|n||m||=|2-2λ|λ2+(1-2λ)2+(2-2λ)2=|2-2λ|9λ2-12λ+5,8分
设t=1-λ,则0≤t≤1.
①当t=0时,cs θ=0.9分
②当t≠0时,cs θ=2|t|9t2-6t+2=2t29t2-6t+2=212(1t)2-6×1t+9
=212[(1t-32)2+92],
当t=23时,cs θ=223,∴0综上,0≤cs θ≤223.∴平面BMN与平面ABCD夹角的余弦值的取值范围为[0,223].12分
22.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x-ax+1,1分
由题意,f'(x)≤0恒成立,即a≥lnx+1x恒成立,2分
设h(x)=lnx+1x,h'(x)=-lnxx2,
当x∈(0,1)时,h'(x)>0,h(x)递增,当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)递减,3分
∴h(x)max=h(1)=1,∴a≥1.4分
(2)证法一:∵函数f(x)有两个极值点,由(1)可知0设g(x)=f'(x)=ln x-ax+1,则x1,x2是g(x)的两个零点,
∵g'(x)=1x-a,当x∈(0,1a)时,g'(x)>0,当x∈(1a,+∞)时,g'(x)<0,
∴g(x)在(0,1a)上递增,在(1a,+∞)上递减,∴00,
∴0要证x1x2>1a,只需证x2>1ax1(>1a),只需证g(x2)即证g(1ax1)=-ln(ax1)-1x1+1>0,即证ln(ax1)+1x1-1<0,(*)8分
由g(x1)=ln x1-ax1+1=0,设ax1=t∈(0,1),则ln x1=t-1,x1=et-1,则(*)⇔ln t+e1-t-1<0,10分
设G(t)=ln t+e1-t-1(01a.12分
证法二:
先证明引理:当01时,ln t>2(t-1)t+1.
设G(t)=ln t-2(t-1)t+1(t>0),G'(t)=1t-4(t+1)2=(t-1)2t(t+1)2≥0,∴G(t)在(0,+∞)上递增,又G(1)=0,当01时,G(t)>G(1)=0,∴引理得证.5分
∵函数f(x)有两个极值点,由(1)可知0∵g'(x)=1x-a,当x∈(0,1a)时,g'(x)>0,当x∈(1a,+∞)时,g'(x)<0,
∴g(x)在(0,1a)上递增,在(1a,+∞)上递减,∴0要证x1x2>1a,只需证ln x1+ln x2>-ln a,即证a(x2+x1)>2-ln a,(*)7分
由引理可得ax2+ln a-1=ln(ax2)>2(ax2-1)ax2+1,化简可得a2x22+a(ln a-2)x2+ln a+1>0,①9分
同理ax1+ln a-1=ln(ax1)<2(ax1-1)ax1+1,即有a2x12+a(ln a-2)x1+ln a+1<0.②10分
由①-②可得,a2(x2+x1)(x2-x1)+a(ln a-2)(x2-x1)>0,即a2(x2+x1)+a(ln a-2)>0,即a(x2+x1)>2-ln a,故(*)得证,从而x1x2>1a.12分