苏科版九年级下册7.5 解直角三角形精品随堂练习题

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如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、a、b、c这五个元素之间存在着以下的关系：
1.三边之间的关系：（勾股定理）；
2.两个锐角间的关系：∠A＋∠B＝90°（直角三角形的两个锐角互余）；
3.边与角之间的关系：.
三角函数是连接边与角的桥梁.
例：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若CD＝5，AC＝8，则tanA＝（ ）
A．45B．35C．34D．43
【解答】C
【解析】∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
∵AC＝8，AB＝10，
∴BC=102-82=6，
∴tanA=BCAC=68=34．
故选C．
知识点二、解直角三角形
通过直角三角形已知的边、角去求出所有边、角中的未知元素的过程，叫做解直角三角形.
例：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（ ）
A．62B．219C．213D．9
【解答】B
【解析】过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD=12AC＝3，
∴BD＝AB+AD＝7，
由勾股定理得，CD=AC2-AD2=33，
在Rt△BCD中，BC=BD2+CD2=219，
故选B．
巩固练习
一．选择题
1．在直角坐标平面内有一点P（2，3），OP与x轴正半轴的夹角α的正弦值为（ ）
A．32B．23C．21313D．31313
【解答】D
【解析】如图，作PE⊥x轴于E．
∵P（2，3），
∴OE＝2，PE＝3，
∴OP=OE2+PE2=22+32=13，
∴sinα=PEOP=313=31313，
故选D．
2．如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cs∠FGO=35，则点F的坐标是（ ）
A．（8，274）B．（8，12）C．（6，334）D．（6，10）
【解答】B
【解析】过点F作AB⊥y轴交y轴于点A，过点G作GB⊥AB于B，
则∠FGO+∠FGB＝90°，∠BFG+∠FGB＝90°，∠AEF+∠AFE＝90°，
∴∠BFG＝∠FGO，
∵AB⊥y轴，GB⊥AB，∠AOG＝90°，
∴四边形AOGB为矩形，
∴AO＝GB，AB＝OG＝17，
∵∠EFG＝90°，
∴∠AFE+∠BFG＝90°，
∴AEF＝∠BFG＝∠FGO，
在Rt△AEF中，cs∠AEF=AEEF，即AE10=35，
解得，AE＝6，
由勾股定理得，AF=EF2-AE2=8，
∴BF＝AB﹣AF＝17﹣8＝9，
在Rt△BFG中，cs∠BFG=BFFG，即9FG=35，
解得，FG＝15，
由勾股定理得，BG=FG2-BF2=12，
则点F的坐标是（8，12），
故选B．
3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠A=35，O是AC边上一点，以OA为半径的⊙O交AB于点D，若BD＝2，AD＝AC，则线段OB的长为（ ）
A．25B．35C．210D．4103
【解答】B
【解析】过点O作OE⊥AD于E，
设BC＝3x，
在Rt△ABC中，sin∠A=35，
∴AB＝5x，
由勾股定理得，AC=AB2-BC2=4x，
∴AD＝AC＝4x，
∵AB＝AD+BD，
∴5x＝4x+2，
解得，x＝2，
∴AC＝AD＝8，AB＝10，BC＝6，
∵OE⊥AD，
∴AE＝ED=12AD＝4，
∵OE⊥AD，∠C＝90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴AOAB=AEAC，即AO10=48，
解得，AO＝5，
∴OC＝AC﹣AO＝3，
由勾股定理得，OB=OC2+BC2=35，
故选B．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（3，1），则tanα的值是（ ）
A．1010B．10C．13D．3
【解答】C
【解析】如图：过点A做x轴的垂线，交x轴于点B，
∵A（3，1），
∴OB＝3，AB＝1，
∴tanα=ABOB=13
故选C．
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，csA=45，则BD的长度为（ ）
A．94B．125C．154D．4
【解答】C
【解析】∵∠C＝90°，AC＝4，csA=45，
∴AB=ACcsA=5，
∴BC=AB2-AC2=3，
∵∠DBC＝∠A．
∴cs∠DBC＝cs∠A=BCBD=45，
∴BD=3×54=154，
故选C．
6．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB于D，若tanC=34，AD＝8，则AB的长为（ ）
A．325B．10C．403D．12
【解答】B
【解析】方法一：
∵AD⊥CB，
∴∠ADC＝∠BDA＝90°，
∴∠BAD+∠B＝90°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠B＝∠CAD，
∴△ABD∽△CAD，
∴ABCA=ADCD，
在Rt△ACD中，∵tanC=ADCD=34，AD＝8，
∴CD=323，
则AC=82+(323)2=403，
由ABCA=ADCD得AB=AD⋅ACCD=8×403323=10，
方法二：
∵∠CAB＝90°，AD⊥CB，
∴∠CAD+BAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠C，
∵tanC=34，AD＝8，
∴tan∠BAD＝tanC=BDAD=34，
∴BD＝6，
∴AB=AD2+BD2=82+62=10，
故选B．
7．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，AC＝3，则BC的长为（ ）
A．3sin40°B．3sin50°C．3tan40°D．3tan50°
【解答】C
【解析】如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，∠A＝40°，
∴BC＝AC•tanA＝3tan40°，
故选C．
8．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA=43，则CD的值为（ ）
A．43B．25C．65D．2
【解答】C
【解析】延长AD、BC，两线交于O，
∵在Rt△ABO中，∠B＝90°，tanA=43=OBAB，AB＝3，
∴OB＝4，
∵BC＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，
在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝3，OB＝4，由勾股定理得：AO＝5，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ODC＝90°＝∠B，
∵∠O＝∠O，
∴△ODC∽△OBA，
∴DCAB=OCOA，
∴DC3=25，
解得：DC=65，
故选C．
9．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么cs∠ACB值为（ ）
A．355B．175C．35D．45
【解答】C
【解析】如图，过点A作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，
∴AC=AH2+CH2=42+32=5，
∴cs∠ACB=CHAC=35，
故选C．
10．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°=ACCD=12+3=2-3(2+3)(2-3)=2-3．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A．2+1B．2-1C．2D．12
【解答】B
【解析】在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，
设AC＝BC＝1，则AB＝BD=2，
∴tan22.5°=ACCD=11+2=2-1，
故选B．
11．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为BC的中点，点E在AB上，AD，CE交于点F，AE＝EF＝4，FC＝9，则cs∠ACB的值为（ ）
A．35B．59C．512D．45
【解答】D
【解析】如图，延长AD到M，使得DM＝DF，连接BM．
∵BD＝DC，∠BDM＝∠CDF，DM＝DF，
∴△BDM≌△CDF（SAS），
∴CF＝BM＝9，∠M＝∠CFD，
∵CE∥BM，
∴∠AFE＝∠M，
∵EA＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，
∴∠BAM＝∠M，
∴AB＝BM＝9，
∵AE＝4，
∴BE＝5，
∵∠EBC＝90°，
∴BC=EC2-BE2=132-52=12，
∴AC=AB2+BC2=92+122=15，
∴cs∠ACB=BCAC=1215=45，
故选D．
12．已知α，β均为锐角，若tanα=12，tanβ=13，则α+β＝（ ）
A．45°B．30°C．60°D．90°
【解答】A
【解析】如图△ABC，过点A作AD⊥BC，
设：BD＝3a，CD＝2a，AD＝6a，
则tanα＝tan∠BAD=3a6a=12，同理tanβ=13，
则AB=45a，AC=40a，
过点B作BE⊥AC于点E，
S△ABC=12×AD×BC=12×AC×BE，
即5a•6a=40a×BE，解得：BE=3040a，
sin（α+β）＝sin∠BAC=BEAB=30a4045a=22，
则α+β＝45°，
故选A．
二．填空题（共12小题）
13．在平面直角坐标系xOy中有一点A（3，4），如果OA与x轴正半轴的夹角为α，那么sinα＝ ．
【解答】45．
【解析】∵A（3，4），
∴OA=32+42=5，
∴sinα=45．
故答案为45．
14．在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AC=7，则BC的长为 ．
【解答】33或3．
【解析】如图1，过点A作AD⊥BC于点D，
∵∠B＝30°，AB＝4，
∴AD=12AB＝2，BD＝AB•cs30°＝4×32=23．
在Rt△ACD中，∵AD＝2，AC=7，
∴DC=AC2-AD2=7-4=3，
∴BC＝BD+DC＝23+3=33；
如图2，同理可得，
AD=12AB＝2，BD＝AB•cs30°＝4×32=23，DC=AC2-AD2=7-4=3，
∴BC＝BD﹣DC＝23-3=3．
综上所述，BC的长为33或3；
故答案为33或3．
15．在△ABC中，AB＝AC，若BD⊥直线AC于点D，若cs∠BAD=23，BD＝25，则CD为 ．
【解答】2或10．
【解析】∵cs∠BAD=23，
∴设AD＝2x，AB＝3x，
过点B作BD⊥AC于D，
根据勾股定理得，AD2+BD2＝AB2，
即（2x）2+（2 5）2＝（3x）2，
解得x＝2，
∴AD＝4，AB＝6，
如图1，△ABC是锐角三角形时，CD＝AC﹣AD＝6﹣4＝2，
如图2，△ABC是钝角三角形时，CD＝AC+AD＝6+4＝10；
综上所述，CD的长为2或10．
故答案为2或10．
16．已知：如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝63，AC＝6，AD是BC边上的高，则BC的长为 ．
【解答】12．
【解析】∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵∠C＝60°，AC＝6，
∴CD＝ACcs∠C＝6cs60°＝6×12=3，
AD＝ACsin∠C＝6sin60°＝6×32=33，
∵AB＝63，
∴BD=AB2-AD2=(63)2-(33)2=9，
∴BC＝CD+BD＝3+9＝12，
故答案为12．
17．在△ABC中，AB＝AC，若csA=45，则BCAB= ．
【解答】105．
【解析】过B点作BD⊥AC于点D，
∵csA=45，
∴ADAB=45，
设AD＝4x，则AB＝5x，
∴BD=AB2-AD2=3x，
∵AB＝AC，
∴AC＝5x，
∴CD＝5x﹣4x＝x，
∴BC=BD2+CD2=9x2+x2=10x，
∴BCAB=10x5x=105，
故答案为105．
18．如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥CD，若sin∠ACB=13，则AD长度是 ．
【解答】10
【解析】在Rt△ABC中，
∵AB＝2，sin∠ACB=ABAC=13，
∴AC＝2÷13=6．
在Rt△ADC中，
AD=AC2+CD2
=62+82
＝10．
故答案为10．
19．在△ABC中，csB=32，BC＝43，AC＝4，则AB＝ ．
【解答】4或8．
【解析】如图，作CD⊥AB于D，
∵csB=32，BC＝43，AC＝4，
∴csB=BDBC=32，
∴BD＝6，
∴CD=BC2-BD2=(43)2-62=23，
∴AD=AC2-CD2=42-(23)2=2，
∴AB＝6﹣2＝4或AB＝6+2＝8，
故答案为4或8．
20．如图，在△ABC中，tan∠DFC＝2，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点F，若AC＝210，则线段EF的长为 ．
【解答】1
【解析】∵∠ACB＝45°，AD⊥BC，AC＝210，
∴AD＝CD=22×210=25，
∵tan∠DFC＝2=CDFD，
∴DF＝AF=12AD=5，
∴FC=DF2+DC2=5，
∵CE⊥AB，∠DFC＝∠AFE，
∴cs∠DFC=DFFC=cs∠AFE=EFAF，
∴55=EF5，
∴EF＝1，
故答案为1．
21．如图，已知△ABC中，∠BAC＝60°，D是线段BC上一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E、F．
（1）若AD＝4，则EF的长为 ．
（2）若∠ABC＝45°，AB=22，则EF的最小值为 ．
【解答】（1）23；（2）3
【解析】（1）作直径EP，连接PF，如图1：
∵EP为⊙O的直径，
∴∠EFP＝90°，
∵∠P＝∠BAC＝60°，
∴∠PEF＝30°，
∴PF=12PE，EF=3PF=32PE，
∵PE＝AD＝4，
∴EF=32×4＝23；
故答案为23；
（2）∵EF=32PE=32AD，
∴当AD最小时，EF最小，
当AD⊥BC时，AD最小，如图2，
：
∵∠ABC＝45°，AB=22，
∴AD=22AB＝2，
∴EF=32×2=3．
故答案为3．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线分别交边BC，AB于点D，E．如果BC＝18，tanA=32，那么CD＝ ．
【解答】5．
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝18，tanA=32，
∴AC=BCtanA=1832=12，
∴AB=AC2+BC2=182+122=613，csB=BCAB=18613=31313，
∵边AB的垂直平分线交边AB于点E，
∴BE=12AB＝313．
∵在Rt△BDE中，∠BED＝90°，
∴csB=BEBD=31313
∴BD＝13，
∴CD＝BC﹣BD＝18﹣13＝5，
故答案为5．
23．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC边上一点，连BD，过C点作BD的垂线与过A点作AC的垂线交于点E．当tan∠ABD=12，cs∠E=1717，则CDAD的值是 ．
【解答】717．
【解析】设直线AB交CE于点H，BD交CE于点N，
设∠E＝α，则cs∠E=1717=csα，则sinα=417，tanα＝4，
∵tan∠ABD=12，则tan∠BHN＝2，
∵AE⊥AC，BC⊥AC，
∴AE∥BC，
∴∠E＝∠ECB＝α，
∵∠NDC+∠NCD＝90°，∠NCB+∠NCD＝90°，
∴∠NCB＝∠NDC＝α，
在△AHE中，设AE＝a，则AG＝AEsinα＝asinα，GE＝acsα，
则GH=AGtan∠GHA=AGtan∠BHN=12AG=12asinα，则EH＝GE+GH＝acsα+12asinα，
在Rt△AEC中，EC=AEcsα=acsα，
则HC＝EC﹣EH=acsα-（acsα+12asinα）；
在△BHC中，tan∠BHN＝2，tanα＝4，HC=acsα-（acsα+12asinα），
同理可得：BC=43×HCsinα，
在Rt△BCD中，CD=BCtanα=13×HCsinα=13a（1sinαcsα-1tanα-12）=7a6，
AD＝AC﹣CD＝4a-7a6=17a6，
则CDAD=717，
故答案为717．
24．如图，在△ABC中，AH⊥BC于点H，在AH上取一点K，连接CK，使得∠HKC+∠HAC＝90°，在CK上取一点N，使得CN=12AC，连接BN，交AH于点M，若tan∠ABC＝2，BN＝15，则CH的长为 ．
【解答】65．
【解析】如图，过点N作NJ⊥BC于J．设HJ＝x．
∵AH⊥BC，
∴∠AHB＝∠AHC＝90°，
∵tan∠ABH=AHBH=2，
∴可以假设BH＝k，2k，
∵∠HKC+∠HAC＝90°，∠HKC+∠KCH＝90°，
∴∠HAC＝∠KCH，
∵NJ⊥BC，
∴∠AHC＝∠CJN＝90°，
∴△AHC∽△CJN，
∴AHCJ=CHNJ=ACCN=2，
∴CJ＝k，
∴CH＝x+k，JN=12（x+k），
∴tan∠NBJ=NJBJ=12，设NJ＝y，BJ＝2y，
∵BN＝15，
∴5y2＝152，
∴y＝35，
∴NJ＝35，
∴CH＝2NJ＝65．
三．解答题
25．如图，已知在△ABC中，AB＝AC=25，tanB＝2，点D为边BC延长线上一点，CD＝BC，联结AD．求∠D的余切值．
【解答】32
【解析】过点A作AH⊥BC于H，
∵tanB=AHBH=2
∴在Rt△ABH中
AB2＝AH2+BH2
(25)2=(2BH)2+BH2
解得BH＝2，
则AH＝4，
∵AB＝AC，AH⊥BC
∴HC＝BH＝2
∴CD＝BC＝2BH＝4
∴HD＝HC+CD＝6
ctD=HDAH=64=32
26．如图，在Rt△ABC中，设a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，b＝8，∠A的平分线AD=1633，求∠B，a，c的值．
【解答】∠B＝30°，a＝83，c＝16
【解析】∵∠C＝90°，b＝8，∠A的平分线AD=1633，
∴cs∠CAD=ACAD=81633=32，
∴∠CAD＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠B＝30°，
∴c＝2b＝16，a=btan30°=833=83，
即∠B＝30°，a＝83，c＝16．
27．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，D是AC上一点，若tan∠DBA=13．
（1）求AD的长；
（2）求sin∠DBC的值．
【解答】（1）4；（2）55
【解析】（1）过点D作DH⊥AB于点H，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠C＝90°，
∴∠A＝45°，AC＝BC＝8，
∴AH＝DH，
设AH＝x，则DH＝x
∵tan∠DBA=13，
∴BH＝3x，
∴AB＝4x，
由勾股定理可知：AB=AC2+BC2=82+82=82，
∴x＝22，
由勾股定理可得，AD=AH2+DH2=4；
（2）∵AD＝4，
∴DC＝AC﹣AD＝4，
由勾股定理得，DB=CD2+BC2=42+82=45，
∴sin∠DBC=CDBD=445=55．
28．已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED＝45°．
（1）如图1，若AE＝DE，
①求证：CD平分∠ACB；
②求ADDB的值；
（2）如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．
【解答】（1）①见解析；②22；（2）12
【解析】（1）①证明：∵AE＝DE，
∴∠ADE＝∠DAE，
∵∠CAD＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，∠DAE+∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠ACD，
∴EA＝EC，
∵∠AED＝45°＝∠CAE+∠ACD，
∴∠ACD＝22.5°，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴∠BCD＝∠ACD＝22.5°，
∴CD平分∠ACB．
②如图1中，过点D作DT⊥BC于T．
∵CD平分∠ACB，DT⊥CB，DA⊥CA，
∴DA＝DT，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝45°，
∴BD=2DT=2AD，
∴ADDB=22．
（2）如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．
∵AE⊥BE，CT⊥AT，
∴∠AEB＝∠T＝∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°，
∴∠ABE＝∠CAT，
∵AB＝AC，
∴△ABE≌△CAT（AAS），
∴AE＝CT，BE＝AT，
∵∠AED＝∠CET＝45°，∠T＝90°，
∴ET＝CT＝AE，
∴BE＝2AE，
∴tan∠ABE=AEBE=12.
29．如图，AB为⊙O的直径，C为AB延长线上一点，CD为⊙O的切线，切点为D，AE⊥CD于点E，且AE与⊙O交于点F．
（1）求证：点D为BF的中点；
（2）如果BC＝5，sinC=35，求AF的长．
【解答】（1）见解析；（2）9
【解析】（1）证明：如图，连接OD，AD．
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥EC，
∵AE⊥EC，
∴OD∥AE，
∴∠ADO＝∠EAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠OAD＝∠EAD，
∴DF=DB，
即点D是BF的中点．
（2）过点O作OH⊥AE于H，则AH＝HF．设OA＝OB＝OD＝r，
∵∠ODC＝90°，
∴sin∠C=ODOC，
∴rr+5=35，
解得r=152，
∵OH⊥AE，EC⊥AE，
∴OH∥EC，
∴∠AOH＝∠C，
∴sin∠AOH＝sin∠C=35，
∴AHAO=35，
∴AH=92，
∴AF＝2AH＝9．
30．已知：如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝8，cs∠BAC=513，BD⊥AC，垂足为点D，E是BD的中点，联结AE并延长，交边BC于点F．
（1）求∠EAD的余切值；
（2）求BFCF的值．
【解答】（1）56；（2）58
【解析】（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADE＝90°，
Rt△ADB中，AB＝13，cs∠BAC=513，
∴AD＝5，
由勾股定理得：BD＝12，
∵E是BD的中点，
∴ED＝6，
∴∠EAD的余切=ADED=56；
（2）过D作DG∥AF交BC于G，
∵AC＝8，AD＝5，
∴CD＝3，
∵DG∥AF，
∴CDAD=CGFG=35，
设CG＝3x，FG＝5x，
∵EF∥DG，BE＝ED，
∴BF＝FG＝5x，
∴BFCF=5x8x=58．图形
未知条件
解法步骤
斜边和一条直角边
a、c
b、∠A、∠B
由求∠A，由∠B＝90°－∠A求∠B，由求b
b、c
a、∠A、∠B
由求∠B，由∠A＝90°－∠B求∠A，由求a
两条直角边
a、b
c、∠A、∠B
由求c，由求∠A，由∠B＝90°－∠A求∠B
斜边和一锐角
∠A、c
∠B、a、b
由∠B＝90°－∠A求∠B，由求a，由求b
∠B、c
∠A、a、b
由∠A＝90°－∠B求∠A，由求a，由求b
一条直角边和一个锐角
∠A、a
∠B、b、c
由∠B＝90°－∠A求∠B，由求b，由求c
∠A、b
∠B、a、c
由∠B＝90°－∠A求∠B，由求a，由求c
∠B、a
∠A、b、c
由∠A＝90°－∠B求∠A，由求b，由求c
∠B、b
∠A、a、c
由∠A＝90°－∠B求∠A，由求a，由求c