人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆精品一课一练

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1．点与椭圆的位置关系
(1)点与椭圆的位置关系：

(2)对于点 SKIPIF 1 < 0 与椭圆的位置关系，有如下结论：
点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆外 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 >1;
点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆内 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 <1;
点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 =1.
2．直线与椭圆的位置关系
(1)直线与椭圆的三种位置关系
类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示.
(2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系：
SKIPIF 1 < 0 >0 SKIPIF 1 < 0 直线与椭圆相交 SKIPIF 1 < 0 有两个公共点;
SKIPIF 1 < 0 =0 SKIPIF 1 < 0 直线与椭圆相切 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个公共点;
SKIPIF 1 < 0 <0 SKIPIF 1 < 0 直线与椭圆相离 SKIPIF 1 < 0 无公共点.
3．弦长问题
(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.
(2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 =1 (a>b>0)于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，
则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
4．“中点弦问题”
(1)解决椭圆中点弦问题的两种方法
①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 =1 (a>b>0)，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
①-②可得 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 =0，
设线段AB的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 =0.
因为 SKIPIF 1 < 0 为弦AB的中点，从而转化为中点 SKIPIF 1 < 0 与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦
中点轨迹问题的常用方法.
(2)弦的中点与直线的斜率的关系
线段AB是椭圆 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 =1 (a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标
为 SKIPIF 1 < 0 ，则弦AB所在直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
5．椭圆中的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【题型1 判断直线与椭圆的位置关系】
【方法点拨】
结合具体条件，根据直线与椭圆的三种位置关系，进行判断，即可得解.
【例1】1．（2022·全国·高二课时练习）已知，则直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．以上三种情况均有可能
【变式1-1】（2022·全国·高二课时练习）直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）直线与椭圆有且只有一个交点，则的值是( )
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022·全国·高二课时练习）若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆的交点个数为（ ）
A．B．C．D．或2
【题型2 弦长问题】
【方法点拨】
①解决弦长问题，一般运用弦长公式.而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化
运算过程.
②涉及弦长问题，应联立直线与椭圆的方程，并设法消去未知数y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，
由韦达定理得到 SKIPIF 1 < 0 (或 SKIPIF 1 < 0 )，代入到弦长公式即可.
【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】（2021·甘肃省高二期中（理））已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点，则弦的长为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）已知直线与椭圆相交于两点，为坐标原点.当的面积取得最大值时，（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-3】（2021·江西·高安中学高二期末（文））过椭圆 上的焦点作两条相互垂直的直线，交椭圆于两点，交椭圆于两点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型3 椭圆的“中点弦”问题】
【方法点拨】
根据“中点弦”问题的两种解题方法进行求解即可. 这三种方法中又以点差法最为常用，点差法中体现的
设而不求思想还可以用于解决对称问题，因为这类问题也与弦中点和斜率有关. 与弦中点有关的问题有平
行弦的中点轨迹、过定点且被定点平分的弦所在的直线方程等.这类问题的解决，从不同的角度体现了判别
式、根与系数的关系、点差法、椭圆的性质、线段的垂直平分线的性质等知识在直线与椭圆的位置关系中
的作用，解法多、方法活.
【例3】（2020·重庆高二期末）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，若P为线段中点，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】（2022·四川·高二阶段练习（文））已知椭圆C：内一点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M是线段AB的中点，则下列不正确的是（ ）.
A．椭圆的焦点坐标为，B．椭圆C的长轴长为4
C．直线的方程为D．
【变式3-2】（2022·河北·高二阶段练习（文））已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为（1，-1），则弦长|AB|=（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】（2022·内蒙古·高三期末（文））设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论正确的是（ ）
A．直线AB与OM垂直；
B．若直线方程为，则.
C．若直线方程为，则点M坐标为
D．若点M坐标为，则直线方程为；
【题型4 椭圆中的面积问题】
【方法点拨】
椭圆中的面积问题主要有三角形面积和四边形面积问题，三角形面积问题的解题步骤是：联立直线与椭圆
方程，求出弦长，再利用点到直线的距离公式求出三角形的高，利用三角形面积公式求解即可；四边形
面积问题可化为两个三角形面积来求解.
【例4】（2022·江西·高二开学考试）已知直线与椭圆相交于，两点，椭圆的两个焦点分别是，，线段的中点为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（2021·河南·高二阶段练习（文））已知椭圆的左､右焦点分别是，，过的直线与椭圆C交于A，B两点，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（2021·四川·高二期末（文））过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于A、C与B、D，则四边形ABCD面积最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】（2021·江苏·高二单元测试）已知A，F分别是椭圆C：的下顶点和左焦点，过A且倾斜角为的直线l分别交x轴和椭圆C于M，N两点，且N点的纵坐标为，若的周长为6，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【题型5 椭圆中的定点、定值、定直线问题】
【例5】（2022·广东广州·一模）已知椭圆 ，直线l：与椭圆交于两点，且点位于第一象限.
(1)若点是椭圆的右顶点，当时，证明：直线和的斜率之积为定值；
(2)当直线过椭圆的右焦点时，轴上是否存在定点，使点到直线 的距离与点到直线的距离相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【变式5-1】（2022·河南·高三开学考试（文））已知椭圆C：，长轴是短轴的3倍，点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴的正半轴上是否存在点，使得直线TM，TN斜率之积为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
【变式5-2】（2022·高三阶段练习）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.
【变式5-3】（2022·江苏·高三阶段练习）已知椭圆C:的上下顶点分别为，过点P且斜率为k(k<0)的直线与椭圆C自上而下交于两点，直线与交于点.
(1)设的斜率分别为，求的值;
(2)求证：点在定直线上.
【题型6 椭圆中的最值问题】
【方法点拨】
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几
何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一
个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及
三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【例6】已知椭圆的左，右焦点分别为且经过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点，求面积的最大值（O为坐标原点）
【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，过椭圆C右焦点并垂直于x轴的直线PM交椭圆C于P，M（点P位于x轴上方）两点，且△OPM（O为坐标原点）的面积为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l交椭圆C于A，B（A，B异于点P）两点，且直线PA与PB的斜率之积为，求点P到直线l距离的最大值．
【变式6-2】（2022·浙江·高考真题）如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点．
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求的最小值．
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的离心率为，左，右焦点分别为，，O为坐标原点，点Q在椭圆C上，且满足．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设P为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆C相交于M，N两点（M，N两点异于P点），且PM⊥PN，求的最大值．