人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线优秀巩固练习

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1．直线与抛物线的位置关系
(1)直线与抛物线的三种位置关系：
(2)设直线l:y=kx+m，抛物线: SKIPIF 1 < 0 =2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程
SKIPIF 1 < 0 .
①若k≠0，当 SKIPIF 1 < 0 >0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当 SKIPIF 1 < 0 =0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当 SKIPIF 1 < 0 <0时，直线与抛物线相离，无交点.
②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
2．弦长问题
设直线与抛物线交于A SKIPIF 1 < 0 ,B SKIPIF 1 < 0 两点，则
|AB|= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 或
|AB|= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 (k为直线的斜率，k≠0).
3．抛物线的焦点弦问题
抛物线 SKIPIF 1 < 0 =2px(p>0)上一点A SKIPIF 1 < 0 与焦点F( SKIPIF 1 < 0 ,0)的距离为|AF|= SKIPIF 1 < 0 ，若MN为抛物线 SKIPIF 1 < 0 =2px
(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|= SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 +p( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别为M,N的横坐标).
设过抛物线焦点的弦的端点为A SKIPIF 1 < 0 ,B SKIPIF 1 < 0 ，则四种标准方程形式下的弦长公式为：

4．抛物线的切线
过抛物线 SKIPIF 1 < 0 =2px(p>0)上的点P SKIPIF 1 < 0 的切线方程是 SKIPIF 1 < 0 .
抛物线 SKIPIF 1 < 0 =2px(p>0)的斜率为k的切线方程是 SKIPIF 1 < 0 (k≠0).
5．直线与抛物线中的最值问题
求与抛物线有关的最值的常见题型是求抛物线上一点到定点的最值、求抛物线上一点到定直线的最值，
解与抛物线有关的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化,数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，借助目标函数最值的求法解决.
6．抛物线有关的应用问题
(1)解答与抛物线有关的应用问题时，除了要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要
注意抛物线的定义及性质、直线与抛物线的位置关系的灵活应用.
(2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围.
【题型1 判断直线与抛物线的位置关系】
【方法点拨】
结合具体条件，根据直线与抛物线的三种位置关系，进行判断，即可得解.
【例1】（2022·全国·高二课时练习）直线与抛物线的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
【解题思路】直线过定点，在抛物线内部，即可得出结论．
【解答过程】直线过定点，
∵，
∴在抛物线内部，
∴直线与抛物线相交，
故选：A．
【变式1-1】（2022·全国·高二课时练习）已知直线l过点，且与抛物线有且只有一个公共点，则符合要求的直线l的条数为（ ）条
A．0B．1C．2D．3
【解题思路】根据直线与抛物线的位置关系判断．
【解答过程】当直线平行于轴（即抛物线的）时，直线与抛物线只有一个公共点，
直线与抛物线的轴不平行时，由于在抛物线的外部（与焦点在不同区域），因此过点有的抛物线的切线有两条．
综上，符合要求的直线有3条．
故选：D．
【变式1-2】（2021·全国·高二专题练习）抛物线的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为（ ）
A．相交B．相切
C．相离D．以上都有可能
【解题思路】求出直线AF的中垂线方程，代入，可得，即可得出结论．
【解答过程】设，，则的中点坐标为，，所以中垂线的斜率为，所以直线的中垂线方程为，代入，可得
∴，∵线段FA的中垂线与抛物线相切.
故选：B.
【变式1-3】（2021·全国·高二专题练习）已知抛物线C1：y＝a（x+1）2﹣3过圆C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圆心，将抛物线C1先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线C3，则直线l：x+16y﹣1＝0与抛物线C3的位置关系为（ ）
A．相交B．相切
C．相离D．以上都有可能
【解题思路】先求出抛物线C1的方程，再利用平移变换得出抛物线C3，联立直线方程与抛物线方程，根据根的判别式即可得出结论．
【解答过程】解：圆C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圆心坐标为（﹣2，1），
代入抛物线C1：y＝a（x+1）2﹣3，可得1＝a﹣3，
∴a＝4，
∴抛物线C1：y＝4（x+1）2﹣3．
将抛物线C1先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，
得到抛物线C3：y＝4x2，
联立，消整理得，
，
所以直线l与抛物线C3相交，
故选：A．
【题型2 弦长问题】
【方法点拨】
①解决弦长问题，一般运用弦长公式.而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化
运算过程.
②涉及弦长问题，应联立直线与抛物线的方程，并设法消去未知数y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方
程，由韦达定理得到 SKIPIF 1 < 0 (或 SKIPIF 1 < 0 )，代入到弦长公式即可.
【例2】（2021·江苏·高三阶段练习）已知A，B在抛物线上，且线段AB的中点为M(1，1)，则|AB|＝（ ）
A．4B．5
C．D．
【解题思路】设，点差法可得，得到直线AB的方程为 ，与抛物线联立，利用弦长公式即得解
【解答过程】由题意，设，
线段AB的中点为M(1，1)，
故，
且，
两式相减得：，
故，
故直线AB的方程为：，即，
将直线与抛物线联立：，
即，
，
则，
故选：C.
【变式2-1】（2022·江苏南通·模拟预测）已知直线与抛物线交于两点，为的中点，为坐标原点，则（ ）
A．2B．C．4D．
【解题思路】直线方程与抛物线方程联立方程组求得交点坐标，再求得中点坐标，计算出，即可得．
【解答过程】由得，，，
则，，
所以，，
，
为的中点，则，
，，
所以．
故选：D．
【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，一条平行于x轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，则（ ）
A．7B．C．D．
【解题思路】根据题意可知和抛物线的焦点为，由此可知直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，可求出点坐标，再根据弦长公式即可求出结果.
【解答过程】由题意可知，轴，
又光线从点射入，经过上的点，
所以，
又抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即，
联立方程，整理可得，所以或
所以，所以.
故选：D．
【变式2-3】（2022·湖南岳阳·高二期末）已知直线与抛物线相交于两点，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据已知条件设出直线的方程与抛物线联立方程组，再利用韦达定理得出根的关系，结合向量的数量积的坐标运算及弦长公式即可求解.
【解答过程】由题意可知，直线不可能与轴平行，设直线的方程为，
由，消去，得，
设，则，
所以，
因为，所以，解得或（舍），
，
当且仅当即时，取的最小值为,
所以的最小值为,
故选：C.
【题型3 抛物线的焦点弦问题】
【方法点拨】
根据抛物线的焦点弦公式，结合具体条件，进行求解即可.
【例3】（2022·湖南·高三期末（文））已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线分别交于两点，则（ ）
A．1B．3C．6D．8
【解题思路】由题意可得直线与的方程为，代入抛物线方程得，根据韦达定理与焦半径的公式即可求出的值.
【解答过程】解：由题意可知，所以直线与的方程为，
联立直线方程和抛物线方程，可得，
设
则，
所以 .
故选：D.
【变式3-1】（2022·河南·高三开学考试（文））过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若的中点的横坐标为2，则线段的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【解题思路】结合抛物线的弦长公式求得正确答案.
【解答过程】设点的横坐标分别为，则.
由过抛物线的焦点的弦长公式知：.
故选：C.
【变式3-2】（2022·河南·高三阶段练习（文））直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（ ）
A．6B．8C．2D．4
【解题思路】联立直线与抛物线的方程，根据抛物线的焦点坐标，结合焦点弦长公式求解即可
【解答过程】因为抛物线的焦点坐标为，
又直线过抛物线的焦点F，所以，抛物线的方程为，由，得，所以，所以．
故选：B.
【变式3-3】（2022·全国·模拟预测（文））入射光线由点出发，沿轴反方向射向抛物线：上一点，反射光线与抛物线交于点，则的值为（ ）
A．4B．C．2D．
【解题思路】根据抛物线的光学性质，结合抛物线的焦点弦公式求解即可
【解答过程】易得的纵坐标为，代入可得.根据抛物线的光学性质可得，因为入射光线由点出发，沿轴反方向射向抛物线，故反射光线经过抛物线的焦点，故的斜率为.设，则直线的方程为，联立可得，故
故选：B.
【题型4 抛物线中的面积问题】
【方法点拨】
抛物线中的面积问题主要有三角形面积和四边形面积问题，三角形面积问题的解题步骤是：联立直线与抛
物线方程，求出弦长，再利用点到直线的距离公式求出三角形的高，利用三角形面积公式求解即可；四边
形面积问题可化为两个三角形面积来求解.
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线上一点到焦点的距离．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，点为抛物线准线上一点，且，求的面积．
【解题思路】（1）由题知，进而解方程即可得答案；
（2）结合（1）得直线的方程为，进而与抛物线方程联立得，的坐标分别为，，再设的坐标为，进而结合向量数量积的坐标运算或，再分别计算与点到直线的距离即可得面积.
【解答过程】（1）
解：因为抛物线上一点到焦点的距离，
所以，抛物线的定义得．
所以， ，解得．
所以，抛物线的方程为；
（2）
解：由（1）知点，所以直线的方程为．
所以，联立方程得，
设，，则，，，
点，的坐标分别为，．
设点的坐标为，则，，
所以，解得或，
所以，
点到直线的距离为，故或．
当时，的面积为．
当时．的面积为．
【变式4-1】（2022·全国·高二课时练习）已知点到定点的距离比它到x轴的距离大．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)在（1）的条件下，且时，过轨迹C的焦点且倾斜角为45°的直线交轨迹C于点A、B，求△AOB的面积．
【解题思路】（1）根据已知条件列方程，化简求得点的轨迹的方程.
（2）求得直线的方程，利用弦长公式、点到直线的距离公式求得三角形的面积.
【解答过程】（1）
依题意①，，
两边平方得，
②，
两边平方得，
整理得，
可得或，
当时，②转化为，所以，
此时①转化为，所以.
所以点的轨迹的方程为或.
（2）
当时，轨迹的方程为，是抛物线，
，所以轨迹的焦点为.
所以直线的方程为，，
由消去并化简得，
设，则，
所以.
原点到直线的距离为.
所以三角形的面积为.
【变式4-2】（2022·河南·高二期末（文））已知抛物线上的点到焦点的距离等于圆的半径．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线与，直线交于，两点，直线交于，两点，求四边形面积的最小值．
【解题思路】（1）根据圆的半径及抛物线的定义可得方程；
（2）分别联立两条直线与抛物线，可得线段与长度，进而可得面积，结合基本不等式可得最小值.
【解答过程】（1）由题设知，抛物线的准线方程为，由点到焦点的距离等于圆的半径，而可化为，即该圆的半径为，所以，解得，所以抛物线的标准方程为；
（2）由题意可知，直线与直线的斜率都存在，且焦点坐标为，
因为，不妨设直线的方程为，直线的方程为，
联立，得，恒成立．
设，，则，，
所以，
同理，得，
所以四边形的面积 ，（当且仅当时等号成立），
所以四边形的面积的最小值是．
【变式4-3】（2022·上海市高三阶段练习）如图，已知点为抛物线 的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点A在第一象限，点C在抛物线上，使得的重心G在x轴上，直线交x轴于点Q，且Q在点F的右侧，记，的面积分别为，．
(1)求p的值及抛物线的准线方程；
(2)设A点纵坐标为，求关于t的函数关系式；
(3)求的最小值及此时点G的坐标．
【解题思路】（1）由焦点坐标确定p的值和准线方程即可；
（2）设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，再用代换并化简即可；
（3）根据已求的函数关系式，结合基本不等式即可求得的最小值和点G的坐标.
【解答过程】（1）
因为点为抛物线 的焦点，
所以，即，准线方程.
（2）
设，
设直线AB的方程为，与抛物线方程联立可得：
，故：，
，
设点C的坐标为，由重心坐标公式可得：
， ，
令可得：，则.即，
由斜率公式可得：，
直线AC的方程为：，
令可得：，
故，
且，
由于，代入上式可得：，
由可得，则，
则 ，
令 ，得.
即关于t的函数关系式为.
（3）
设，则，
当且仅当，即，，时等号成立，
即的最小值为，
此时，，则点G的坐标为.
【题型5 抛物线中的定点、定值、定直线问题】
【例5】（2022·江苏南京·高三阶段练习）已知抛物线C：的焦点为F，过点P(0，2)的动直线l与抛物线相交于A，B两点．当l经过点F时，点A恰好为线段PF中点．
(1)求p的值；
(2)是否存在定点T， 使得为常数？ 若存在，求出点T的坐标及该常数； 若不存在，说明理由．
【解题思路】（1）结合中点坐标公式表示出点A的坐标带入抛物线的方程即可求出结果；
（2）设出直线的方程与抛物线联立，进而结合根与系数的关系得到的表达式，从而可得，因此解方程组即可求出结果.
【解答过程】（1）
因为，且点A恰好为线段PF中点，所以，又因为A在抛物线上，所以，即，解得
（2）
设，可知直线l斜率存在；设l：，
联立方程得：，所以，
所以，
又：
，
令，解之得：，即，此时.
【变式5-1】（2022·上海市高二期末）已知抛物线的焦点为F，，过F作直线l交抛物线C于，两点.
(1)若直线l的斜率为1，求线段AB的中点坐标；
(2)设直线PA，PB的斜率分别为，，求证：是定值.
【解题思路】（1）根据抛物线和直线的位置关系，联立方程结合韦达定理来求交点坐标的中点坐标即可；
（2根据题意假设直线方程，再联立方程，结合韦达定理，对所需证明的式子化简即可.
【解答过程】（1）根据题意点，而直线的斜率为1，
所以的方程为，联立抛物线方程，
根据韦达定理有，点均在直线上，
所以，
所以中点坐标为即.
（2）根据题意直线与抛物线有两个交点，所以直线的斜率不可能为0，
设直线方程为，联立抛物线方程有，
据韦达定理有，
，
所以为定值0.
【变式5-2】（2022·四川·教科所三模（理））设抛物线：，以为圆心，5为半径的圆被抛物线的准线截得的弦长为8．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的两条直线分别与曲线交于点A，B和C，D，且满足，，求证：线段的中点在直线上．
【解题思路】（1）设到的距离为，由题意可得：，可解得，即可求出抛物线的方程.
（2）设，，由，表示出点的坐标，代入抛物线的方程结合题意可得，同理可得：，又因为，是关于的方程的两根，则， 即可证明.
【解答过程】(1)
：的准线：
设到的距离为，
由已知得，∴，∴，∴
∴的方程为
(2)
设，
∵，∴
∴，∴
代入得
∴
∴
∵点N在抛物线内部，∴，，∴
同理
∴，是关于的方程的两根，
∴，∴
∴的中点在直线上．
【变式5-3】（2022·全国·高二课时练习）如图，F是抛物线的焦点，Q是准线与x轴的交点，斜率为k的直线l经过点Q．
(1)当k取不同数值时，求直线l与抛物线公共点的个数；
(2)若直线l与抛物线相交于A、B两点，求证：是定值．
(3)在x轴上是否存在这样的定点M，对任意的过点Q的直线l与抛物线相交于A、B两点，均能使得为定值，若有，找出满足条件的点M;若没有，请说明理由．
【解题思路】（1）求得直线的方程并代入抛物线的方程，对进行分类讨论，由此求得正确答案.
（2）结合根与系数关系，计算出.
（3）设，求得的表达式，从而求得时，为定值.
【解答过程】（1）
抛物线的焦点为，，
设，代入并化简得①．
当，直线的方程为，与的交点为原点，直线l与抛物线有个公共点；
当，，
若，即，直线l与抛物线有个公共点；
若，即时，直线l与抛物线有个公共点；
若，即或，直线l与抛物线没有公共点．
（2）
由于直线与抛物线有两个交点，由（1）得.
设交点、，
由①得，
，
所以为定值0．
（3）
若存在满足条件的点，使得为定值．
则


仅当，即时，为定值．
【题型6 抛物线有关的应用问题】
【方法点拨】
利用抛物线解决实际问题的基本步骤：
①建立适当的直角坐标系；
②求出抛物线的标准方程；
③根据抛物线的方程及定义、直线与抛物线的位置关系来解决实际应用问题.
【例6】（2022·全国·高二课时练习）某单行隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图所示（单位：m），某卡车载一集装箱，车宽3 m，车与集装箱总高4.5 m，此车能否安全通过隧道？说明理由．
【解题思路】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，当车走中间时，代入抛物线求纵坐标，与车货总高比较即可.
【解答过程】以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图，
则点A的坐标为．
设抛物线的标准方程为（）．
将点A的坐标代入上式，得，即．
所以抛物线的标准方程为．
将代入抛物线的标准方程，得，则．
这说明，即使集装箱处于隧道的正中位置，车与集装箱的总高也会高于BD，所以此车不能安全通过隧道．
【变式6-1】（2022·安徽·高二期末）如图是一抛物线型机械模具的示意图，该模具是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，已知顶点深度4cm，口径长为12cm．
(1)以顶点为坐标原点建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的标准方程；
(2)为满足生产的要求，需将磨具的顶点深度减少1cm，求此时该磨具的口径长．
【解题思路】（1）设抛物线的标准方程为，由题意可得抛物线过点，将此点代入方程中可求出的值，从而可得抛物线方程，
（2）设此时的口径长为，则抛物线过点，代入抛物线方程可求出的值，从而可求得答案
【解答过程】(1)
由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为，
因为顶点深度4，口径长为12，所以该抛物线过点，
所以，得，所以抛物线方程为；
(2)
若将磨具的顶点深度减少，设此时的口径长为，
则可得，得，所以此时该磨具的口径长．
【变式6-2】（2022·江苏南通·高二期末）如图，马路南边有一小池塘，池塘岸长40米，池塘的最远端到的距离为400米，且池塘的边界为抛物线型，现要在池塘的周边建一个等腰梯形的环池塘小路，且均与小池塘岸线相切，记.
（1）求小路的总长，用表示；
（2）若在小路与小池塘之间（图中阴影区域）铺上草坪，求所需铺草坪面积最小时，的值.
【解题思路】（1）建立合适的平面直角坐标系，求出小池塘的边界抛物线方程，然后设出直线的方程，和抛物线联立，可求出切点坐标， 同时可求出的坐标，表示出，变形即可得结果；
（2）要所需铺草坪面积最小，需要梯形面积最小，利用（1）的结果表示出梯形面积，利用基本不等式求出最值．
【解答过程】解：（1）以为原点，所在直线为轴，过点作垂直于轴的直线为轴，建立直角坐标系，所以，

因为小池塘的边界为抛物线型，设边界所在的抛物线方程为，
因为是曲线上一点，
所以，即抛物线方程为.
设所在的直线方程：，
联立，即，
因为与抛物线相切，
所以①.
记直线与抛物线切于点，
所以点的横坐标为，即.
易得点，点，由对称性可知，点.
所以小路总长为，
由①及可知
；
（2）记草坪面积为，梯形面积为，小池塘面积为，
所以，因为小池塘面积为定值，要使得草坪面积最小，则梯形面积最小
，
由①知，当且仅当“”取得“＝”
所以当时，梯形面积最小，即草坪面积最小．
【变式6-3】（2022·全国·高二课时练习）如图，河道上有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面为8m，拱圈内水面宽16m．，为保证安全，要求通过的船顶部（设为平顶）与拱桥顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m．
（1）一条船船顶部宽4m，要使这艘船安全通过，则船在水面以上部分高不能超过多少米？
（2）近日因受台风影响水位暴涨2.7m，为此必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．试问：一艘顶部宽m，在水面以上部分高为4m的船船身应至少降低多少米才能安全通过？
【解题思路】（1）建立平面直角坐标系，设抛物线方程，求得抛物线方程，最后令其x＝2即可得出船在水面以上部分高不能超过多少米；
（2）把x＝2代入抛物线的方程求得y值，结合已知条件，即可求得结果.
【解答过程】（1）以过拱桥的最高点且平行水面的直线为轴，最高点O为原点建立直角坐标系，如下所示：
设抛物线方程为，根据题意，该抛物线过点，故，
故抛物线方程是，
将x＝2代入得，
故要使该船安全通过，则船在水平以上的部分高不能超过，
故船在水面以上部分高不能超过7米．
（2）将代入方程得，
要满足题意，船身应至少降低，
故船身应至少降低0.2米.