高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线精品同步练习题

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1．（3分）（2022·全国·模拟预测）已知为坐标原点，是抛物线的焦点，为抛物线上一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】不妨设点为第一象限内一点，将直线的方程与抛物线方程联立，求出点的坐标，然后利用抛物线的定义可求得.
【解答过程】不妨设点为第一象限内一点，则直线的斜率为，直线的方程为，
联立，解得，即点，
所以，.
故选：C.
2．（3分）（2022·全国·高三专题练习）设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（ ）
A．B．8C．12D．
【解题思路】由题意得出焦点坐标，直线方程，由直线方程与抛物线方程联立，由抛物线过焦点的弦长公式可得出答案.
【解答过程】依题意可知抛物线焦点为，直线AB的方程为，
代入抛物线方程得，可得，
根据抛物线的定义可知直线AB的长为．
故选：B．
3．（3分）（2021·全国·高二专题练习）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽（ ）米．
A．B．C．D．
【解题思路】通过建立直角坐标系，设出抛物线方程，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把B（x0，﹣3）代入抛物线方程求得x0进而得到答案．
【解答过程】如图建立直角坐标系，
设抛物线方程为x2＝my，
将A（2，﹣2）代入x2＝my，
得m＝﹣2
∴x2＝﹣2y，B（x0，﹣3）代入方程得x0，
故水面宽为2m．
故选：B．
4．（3分）（2023·全国·高三专题练习）斜率为的直线过抛物线的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形的面积是（O为坐标原点）（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】写出直线方程，联立抛物线方程，求出A，B两点坐标，进而求出AB的长，再求出原点到直线距离，求出三角形面积.
【解答过程】抛物线的焦点坐标为，
则斜率为的直线方程为：，与抛物线方程联立得：
，
设，不妨设，，
则，
点O到直线AB的距离为，
所以△AOB的面积为
故选：B.
5．（3分）（2022·全国·高二课时练习）圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，其中抛物线中的阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线，弦过焦点，为阿基米德三角形，则为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．随着点，位置的变化，前三种情况都有可能
【解题思路】设出直线的方程，联立抛物线，利用韦达定理得出，再设出切线方程利用判别式为0得出切线斜率关系即可判断.
【解答过程】
如图，设，，则，，易知直线的斜率不为0，
设直线的方程为，联立，
整理得，则，．易知切线的斜率肯定不为0，
设过点的切线方程为，联立，
整理得，
则，即，
设过点的切线方程为，同理可得，
则，得，，
则两条切线的斜率之积为，故是直角三角形．
故选：B．
6．（3分）（2022·全国·高三专题练习）已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则当取得最小值时，四边形的面积为（ ）
A．32B．16C．24D．8
【解题思路】由两条直线垂直，以及取得最小值时，有与，与关于轴对称，可得直线的斜率为1，进而可求出直线的方程，与抛物线联立写出韦达定理和弦长公式，再由相互垂直的四边形面积公式求值即可．
【解答过程】因为，要使最小，而，
由抛物线的对称性可得与，与关于轴对称，所以可得直线的斜率为1，又过抛物线的焦点，
所以直线的方程为：，
，整理可得，，，
所以可得，
所以．
故选：．
7．（3分）（2022·河南·模拟预测（理））已知抛物线的焦点为，过且不与轴垂直的直线与抛物线相交于、两点，为轴上一点，满足，则（ ）
A．为定值B．为定值
C．不是定值，最大值为D．不是定值，最小值为
【解题思路】根据题意，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出，求出点的坐标，可求得，即可计算出的值.
【解答过程】若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意；
由题意，，设直线的方程为，设点、，
联立可得，，
由韦达定理可得，则，
所以，，
线段的中点为，所以，直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
所以，，因此，.
故选：A.
8．（3分）已知A，是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则下列说法错误的是（ ）
A．直线过焦点时，最小值为4
B．直线过焦点且倾斜角为60°时（点A在第一象限），
C．若中点的横坐标为3，则最大值为8
D．点A坐标，且直线，斜率之和为0，与抛物线的另一交点为，则直线方程为：
【解题思路】对于A，易知当垂直于轴时，取最小值4，故A正确；
对于B，联立方程求得与，从而得到，故B错误；
对于C，由可推得当直线过焦点时，最大值为8，故C正确；
对于D，利用条件分别求出的坐标，从而求得直线的方程，故D正确．
【解答过程】依题意得，抛物线的焦点为，准线为，
对于A，直线过焦点，，当垂直于轴时，取最小值，此时，故A正确；
对于B，由题可知，直线为，代入，整理得，
解得或，所以，，即，故B错误；
对于C，由于A，为两动点，所以，当且仅当直线过焦点时等号成立，故C正确；
对于D，依题意，，故，即，同理可得，故直线方程为，故D正确．
故选：B.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，斜率为的直线交抛物线于、两点，则（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．线段的中点在直线上
C．若，则的面积为
D．以线段为直径的圆一定与轴相切
【解题思路】根据抛物线的标准方程与准线方程的关系可判断A选项的正误；利用点差法可判断B选项的正误；利用弦长公式以及三角形的面积公式可判断C选项的正误；利用抛物线的焦半径公式可判断D选项的正误.
【解答过程】对于A选项，抛物线的准线方程为，A错；
对于B选项，设点、，设线段的中点为，
则，两式作差得，可得，
所以，，故，B对；
对于C选项，设直线的方程为，联立，可得，
，解得，由韦达定理可得，，
，解得，
点到直线的距离为，故，C对；
对于D选项，设线段的中点为，则，
由抛物线的定义可得，即等于点到轴距离的两倍，
所以，以线段为直径的圆一定与轴相切，D对.
故选：BCD.
10．（4分）（2022·福建·高二期中）设抛物线的焦点为F直线过F且与C交于两点，若，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】先由抛物线方程得到焦点坐标，设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，以及题中条件，求出，即可得出结果.
【解答过程】由抛物线可得，其焦点为，
由题意，设直线的方程为，，，
由消去得，
则，，
根据抛物线的定义可得，，，
因为，所以，则，解得或（根据抛物的方程，负值舍去）；所以，
所以，解得，
即直线的方程为.
故选：CD.
11．（4分）（2022·江苏南通·高二期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，直线l的倾斜角为60°且经过点F.若l与C相交于两点，则（ ）
A．B．
C．D．△AOB的面积为
【解题思路】根据抛物线方程得到焦点坐标，即可得到直线的方程，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可判断A、B，根据焦点弦公式判断C，再求出原点到直线的距离，即可求出三角形的面积；
【解答过程】解：抛物线的焦点坐标为，所以直线：，
则，消去得，所以，，
所以，故A错误，C正确；
，故B正确；
又到直线：的距离，所以，故D错误；
故选：BC.
12．（4分）（2021·江苏·高二单元测试）在平面直角坐标系xOy中，过抛物线的焦点的直线l与该抛物线的两个交点为，，则（ ）
A．
B．以AB为直径的圆与直线相切
C．的最小值
D．经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线上
【解题思路】联立直线l与抛物线，利用韦达定理可判断A；
取AB中点M即为圆心，分别过A、B、M作直线的垂线，由抛物线定义得M到直线的距离等于AB距离的一半，判断B；
，韦达定理结合点满足抛物线方程，化简计算即可判断C；
写出两条直线方程并联立求出交点坐标，结合前面结论化简交点纵坐标，即可判断D．
【解答过程】解：由抛物线，知焦点，
由题意知直线l斜率存在，设直线l方程为，
联立，消x得，
所以，故A正确；
设AB中点为M，M为以AB为直径的圆的圆心，
又是抛物线的准线，利用抛物线定义，
分别过A、B、M作直线的垂线，垂足分别为、、，
得，
由抛物线定义知，即，
故B正确；
联立直线l与抛物线，得，，
因为，
所以
，
即
；
故C错误；
经过点B与x轴垂直的直线为
直线OA为，
联立得交点，
因为，
则；
所以经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线．
故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·上海市高三阶段练习）直线与抛物线至多有一个公共点，则的取值范围为 ．
【解题思路】分、两种情况讨论，联立直线与抛物线的方程，根据已知条件可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.
【解答过程】当时，联立可得，此时直线与抛物线有一个公共点，合乎题意；
当时，联立可得，
由题意可得，解得.
综上所述，的取值范围是.
故答案为：.
14．（4分）（2022·广东·高三阶段练习）若直线l经过抛物线的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为 8 .
【解题思路】求出焦点坐标，设出直线方程为，并设，直线方程代入抛物线方程，由韦达定理得，由中点纵坐标求得值，由弦长公式得结论．
【解答过程】抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，则其斜率存在，
设的方程为，，
则由得，
，，
又，所以，即，，
所以．
故答案为：8．
15．（4分）（2022·全国·高三阶段练习（文））在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，过点的直线l与抛物线交于，两点（其中），连接并延长交抛物线于点C，记直线l的斜率为k，直线的斜率为，则 0 .
【解题思路】根据给定条件写出直线l、直线BF方程，再分别与抛物线的方程联立，探求出点C，A的坐标关系即可作答.
【解答过程】依题意，直线的方程为：，由消去y并整理得：，则有，
抛物线的焦点为，令直线BF的方程为，
由消去y并整理得：，设，则有，因此有，
而A，C都在抛物线上，由对称性知，点A，C关于y轴对称，于是得.
所以.
故答案为：0.
16．（4分）（2022·全国·高三专题练习）如图，已知点F为抛物线的焦点过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，点D为准线l与x轴的交点，则的面积S的取值范围为 ．
【解题思路】设 坐标和直线AB的方程，让直线AB方程与抛物线进行联立可得，，接着利用弦长公式求出，再求出点到直线AB的距离，最后利用三角形的面积公式即可求出答案
【解答过程】由抛物线可得焦点，准线方程为，，
设，，直线AB的方程为，
由，可得，则，，
所以，
直线AB的一般方程为，
点到直线AB的距离，
所以，
所以的面积S的取值范围为，
故答案为：.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·全国·高二课时练习）设直线，抛物线，当为何值时，与相切 ？相交？相离？
【解题思路】联立直线方程和抛物线方程，分类讨论即可.
【解答过程】解：联立方程，得
消去并整理，得.
当时，方程为一元二次方程.
所以.
当，即时，与相切；
当，即且时，与相交；
当，即时，与相离.
当时，直线的方程为，显然与抛物线交于点.
综上所述，当时，与相切；当时，与相交； 当时，与相离.
18．（6分）（2022·江苏·高二）如图，一抛物线型拱桥的拱顶O离水面高4米，水面宽度AB＝10米．现有一船只运送一堆由小货箱码成的长方体形的货物欲从桥下中央经过，已知长方体形货物总宽6米，高1.5米，货箱最底面与水面持平．
(1)问船只能否顺利通过该桥？
(2)已知每加一层货箱，船只吃水深度增加1cm；每减一层货箱，船只吃水深度减少1cm．若每层小货箱高3cm，且货物与桥壁需上下留2cm间隙方可通过，问船只需增加或减少几层货箱可恰好能从桥下中央通过？
【解题思路】（1）以O为原点，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系：设抛物线方程为x2＝my，根据题意知点B（5，﹣4）在抛物线上，求解抛物线方程，设C（3，﹣4），过C作AB的垂线，交抛物线于D（3，y0），求出CD，即可判断货箱是否能顺利通过该桥．
（2）根据题意，结合（1）的结论进行求解即可．
【解答过程】(1)
以O为原点，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系：
设抛物线方程为x2＝my，根据题意知点B（5，﹣4）在抛物线上；
∴25＝﹣4m；∴；∴；
可设C（3，﹣4），过C作AB的垂线，交抛物线于D（3，y0），
则；∴；
∵；∴货箱能顺利通过该桥．
(2)
由题（1）知，货物超出高度为，
每增加一层，则船体连货物高度整体上升，
由货物与桥壁需留下2cm间隙．则需要增加层数为层，
答：船只能顺利通过该桥，可以增加26层可恰好能从中央通过．
19．（8分）（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线，，是C上两个不同的点．
(1)求证：直线与C相切；
(2)若O为坐标原点，，C在A，B处的切线交于点P，证明：点P在定直线上．
【解题思路】（1）联立直线与抛物线的方程消元，利用证明即可；
（2）设，由（1）可得出两条切线的方程，然后联立可得，然后由可得，即可证明.
【解答过程】（1）
联立得，
因为在C上，则，
所以，因此直线与C相切．
（2）
由（1）知，设，切线的方程为，切线的方程为，
联立得，
因为，，所以．
又因为，所以，
解得，所以．
故点P在定直线上．
20．（8分）（2022·江苏·高二）①为抛物线上的点，且；②焦点到准线的距离是1．在这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并求解．
已知抛物线的焦点为，______，若直线与抛物线相交于A、两点，求弦长．
【解题思路】若选①：根据焦半径公式 即可求出p，从而求出抛物线方程，联立抛物线方程和直线方程，根据韦达定理和弦长公式即可求；若选②：根据抛物线定义可知抛物线焦点到准线的距离为p，由此可求抛物线方程，从而采用和选①时相同的方法可求．
【解答过程】若选①：
在抛物线上，且，
，则p＝1；
若选②：
∵焦点到准线的距离是1，∴p＝1；
故抛物线的方程为．
联立，可得，
设，，则，，
．
21．（8分）（2021·湖北省高二阶段练习）已知点P是曲线C上任意一点，点P到点的距离与到直线y轴的距离之差为1.
(1)求曲线C的方程；
(2)若过不在曲线C上的一点M作互相垂直的两条直线，分别与曲线在y轴右侧的部分相切于A，B两点，求证：直线AB过定点，并求出定点坐标.
【解题思路】（1）根据给定条件结合抛物线定义求解作答.
（2）设出过点M的曲线C的切线方程，再与曲线C的方程联立，借助判别式为0求出两条切线斜率的关系、两切点坐标，求出直线AB方程即可作答.
【解答过程】(1)
设，当时，符合题意；
当时，因曲线C上的点P到点的距离与到y轴的距离之差为1，
则点P到点的距离与到直线的距离相等，
因此，曲线C是以点为焦点，顶点在原点的抛物线，其方程为：，
所以曲线C的方程是：，
(2)
显然，过点M的抛物线C的切线斜率存在且不为0，设切线方程为：，
由消去x并整理得：，
依题意，，
设切线，斜率分别为，则，，
设，，因此，，，于是得，，
，直线AB上任意点，，
由得：，化简整理得：，
则直线AB的方程为：，因直线，互相垂直，则，即，
于是得直线AB：，即，
无论取何值，直线AB都过点，
所以直线AB过定点，定点坐标为.
22．（8分）（2022·全国·高三专题练习）在①，②，③轴时，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
问题：已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且______．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线与抛物线C交于A，B两点，求的面积．
【解题思路】（1）选择条件①，由抛物线的定义可得，即可求解的值，进而得到抛物线的方程；选择条件②，可解得点坐标，进而得到抛物线的方程，选择条件③，可得，即可求解的值，进而得到抛物线的方程；
（2）由（1）可得焦点坐标，设两点坐标，联立直线的方程与抛物线的方程，利用韦达定理求解线段的值，利用点到直线的距离公式求解焦点到直线的距离，再利用三角形面积公式即可求解.
【解答过程】（1）
解：选择条件①，
由抛物线的定义可得，
因为，所以，解得，
故抛物线C的标准方程为．
选择条件②，
因为，所以，，
因为点在抛物线C上，
所以，即，解得，
所以抛物线C的标准方程为．
选择条件③．
当轴时，，所以．
故抛物线C的标准方程为．
（2）设，，由（1）知．
由，得，
则，，
所以，
故．
因为点F到直线l的距离，
所以的面积为．