吉林省部分学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（含答案）

这是一份吉林省部分学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（含答案），共12页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知直线与圆，已知双曲线，若直线，已知，分别是椭圆等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.双曲线的渐近线方程为（ ）
A.B.C.D.
2.圆：与圆：的位置关系为（ ）
A.外离B.相切C.相交D.内含
3.鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹.如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，其宽为，高为，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A.B.C.D.
4.在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ）
A.B.C.D.
5.已知直线与圆：交于，两点，则（ ）
A.2B.C.D.4
6.如图，此耳杯为新疆和田白玉雕琢而成，玉质莹润，工艺精巧，是汉代玉制品的精美之作，现藏于吉林博物院.此耳杯杯口的形状是一个椭圆，已知该椭圆的长轴长为13厘米，短轴长为9.5厘米，则该椭圆的离心率为（ ）
A.B.C.D.
7.已知双曲线：的虚轴长与实轴长的差为2，点，，坐标原点到直线的距离为，则的焦距为（ ）
A.B.C.D.
8.在三棱台中，，，的重心为，的中点为，与相交于点，则的长为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若直线：，：，：，且，，则（ ）
A.B.
C.，之间的距离为D.，的交点坐标为
10.已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在上，且，，则的值可能为（ ）
A.B.2C.D.
11.已知为抛物线：的焦点，过的直线与交于，两点，，的准线与轴的交点为，点在准线上的投影为点，且四边形的面积为，则（ ）
A.B.
C.直线的斜率为D.点的横坐标为
12.已知第一象限内的点在双曲线：上，，分别为的左、右焦点，的内切圆是半径为的圆，若直线的斜率小于，则的离心率可能为（ ）
A.B.C.D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知直线的倾斜角比直线：的倾斜角小，则直线的倾斜角为______.
14.在空间直角坐标系中，向量满足，且与向量的夹角的余弦值为，请写出一个向量的坐标：______.
15.如图，已知点，，从点同时出发的两个质点，均以每秒2个单位长度的速度做匀速直线运动，从运动到，从运动到，且到达的时间比到达的时间晚3秒，则的轨迹方程为______.
16.已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，则的最小值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
一条经过点且沿直线传播的光线被轴反射后经过点，求反射光线所在直线的一般式方程及入射点的坐标.
18.（12分）
已知点到的距离与它到轴的距离的差为4，的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）若直线与交于，两点，且弦中点的横坐标为，求的斜率.
19.（12分）
已知经过点的圆的圆心在轴上，且与轴相切.
（1）求圆的方程；
（2）若，，点在圆上，求的取值范围.
20.（12分）
如图，在棱长为4的正方体中，是的中点，点在棱上，且.
（1）求平面与平面夹角的余弦值；
（2）若为平面内的一点，且平面，求点到平面的距离.
21.（12分）
已知双曲线：，，是上关于坐标原点对称的两点.
（1）若直线的斜率为，求.
（2）试问在直线上是否存在点，使得直线与直线的斜率之积为定值？若存在，求出该定值及的坐标；若不存在，请说明理由.
22.（12分）
圆称为椭圆的蒙日圆.已知椭圆：的离心率为，的蒙日圆方程为.
（1）求的方程；
（2）若为的左焦点，过上的一点作的切线，与的蒙日圆交于，两点，过作直线与交于，两点，且，证明：是定值.
高二数学试卷参考答案
1.A 双曲线的渐近线方程为.
2.D 由题意得，圆与圆的半径之差为，所以圆与圆的位置关系为内含.
3.C 由题意得，设该抛物线的方程为，
则，得，所以该抛物线的焦点为.
4.A 设直线与平面所成的角为，则，所以.
5.B 由题意得圆：，
则圆心到直线的距离为，所以.
6.B 由题意得该椭圆的半长轴长为厘米，半短轴长为厘米，
所以该椭圆的离心率.
7.C 由题意得，则，得所以的焦距为.
8.D 如图，延长交于点，则为的中点，.
易得，则，
得，
所以.
9.BCD 由题意得得，
则，之间的距离为.
由得所以，的交点坐标为.
10.AC 由，，得.
由，得.
在中，由余弦定理得，
得或24，即或6，所以或.
11.ABD 如图.设点在的准线上的投影为点，取，的中点分别为，，过作，垂足为点.设，
则，，，，
所以四边形的面积为，解得，，A，B正确.
由，得，当在第一象限，在第四象限时，直线的斜率为，当在第四象限，在第一象限时，直线的斜率为，C错误.点的横坐标为，D正确.
12.ABC 如图，设圆与轴相切于点，与和分别相切于，两点.由内切圆的性质得，，.
则.
因为，所以，
则为的右顶点.因为直线的斜率小于，
所以.又平分，所以.易得，
则，，所以，
解得.在中，，
则，解得.
13. 由题意得直线的倾斜角为.所以直线的倾斜角为.
14.（答案不唯一，例如：，，坐标满足即可）
设，由，得
15.（备注：也可写成）
由题意得，
所以的轨迹是以，为焦点，且实轴长为6的双曲线的下支.由，，得，
所以的轨迹方程为.
16.8 如图，设的中点为，，，在直线：上的投影分别为，，.圆心到直线：的距离，所以直线与圆相离.易得，即（当，重合时，，当，重合时，），所以点在以为直径的圆上，其圆心为，半径为.
由题意得.因为，所以，所以.
17.解：设关于轴对称的点为，则，
所以直线的斜率为，
直线的斜截式方程为，即反射光线所在直线的一般式方程为.
令，得，所以入射点的坐标为，
18.解：（1）由题意可知点到的距离等于它到直线的距离，
则的轨迹是以为焦点的抛物线，
所以的方程为.
（2）设，，则
由
得，
所以的斜率为
19.解：（1）设圆：，
由题意得解得
所以圆的方程为
（2）设，，由，得
则.
当时，取得最小值，最小值为10；
当时，取得最大值，最大值为34；
故的取值范围为
20.解：（1）以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，
，.
设平面的法向量为，则
取，则，，得.
因为平面，所以平面的一个法向量为，
则平面与平面夹角的余弦值为
（2）设，则
因为平面，所以，则，得，，
即
因为，所以点到平面的距离为
21.解：（1）设直线的方程为，
由得或
所以
（2）因为，是上关于坐标原点对称的两点，且直线与直线的斜率存在.所以直线与直线的斜率均不为0.
设，，则，
所以
由，得，则
若直线与直线的斜率之积为定值，则
化简得，得或
此时.
故在直线上存在点或，使得直线与直线的斜率之积为定值.
22.（1）解：由题意得得
所以的方程为.
（2）证明：当，的斜率等于0时，，，
所以.
当，的斜率不等于0时，设：，则：.
由得，
令，得.
设到的距离为，则，
得.
设，，由得，
则
则.
故.
综上，是定值.