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选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置课时练习
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这是一份选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置课时练习，文件包含人教A版高中数学选择性必修一同步培优讲义专题213直线与圆的位置关系-重难点题型精讲教师版doc、人教A版高中数学选择性必修一同步培优讲义专题213直线与圆的位置关系-重难点题型精讲原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
1．直线与圆的位置关系及判定方法
(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下：
(2)直线与圆的位置关系的判定方法
①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的
实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离.
②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当dr时，直线与圆相离.
2．圆的切线及切线方程
(1)自一点引圆的切线的条数：
①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；
②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；
③若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.
(2)求过圆上的一点 SKIPIF 1 < 0 的圆的切线方程：
①求法：先求切点与圆心连线的斜率k( SKIPIF 1 < 0 )，则由垂直关系可知切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，由点斜式方程可求
得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.
②重要结论：
a.经过圆 SKIPIF 1 < 0 上一点P SKIPIF 1 < 0 的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
b.经过圆 SKIPIF 1 < 0 上一点P SKIPIF 1 < 0 的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
c.经过圆 SKIPIF 1 < 0 +Dx+Ey+F=0上一点P SKIPIF 1 < 0 的切线方程为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
3．圆的弦长问题
设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，求弦长的方法有以下几种：
(1)几何法
如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式： SKIPIF 1 < 0 .
(2)代数法
将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A SKIPIF 1 < 0 ,B SKIPIF 1 < 0 .
①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.
②若交点坐标无法简单求出，则将方程组 SKIPIF 1 < 0 消元后得一元二次方程，由一元
二次方程中根与系数的关系可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 的关系式，通常把 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 叫作弦长公式.
4．解与圆有关的最值问题
(1)利用圆的几何性质求最值的问题
求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线.
①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d
为圆心到直线的距离；
②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r；
③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r.
(2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题
解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选
用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.
①形如u= SKIPIF 1 < 0 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.
②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
③形如 SKIPIF 1 < 0 的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
(3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦.
5．直线与圆的方程的应用
(1)解决实际问题的步骤：
(2)建系原则
建立适当的平面直角坐标系要把握两个原则：
①对称性原则.可以选择对称中心为坐标原点，对称轴所在的直线为坐标轴.到两个定点的距离问题，可
以选择两个定点所在的直线以及线段的垂直平分线为坐标轴等.有两条相互垂直的直线的问题则可选其为坐标轴.
②集中性原则.可以让曲线上尽可能多的特殊点在坐标轴上.如与三角形有关的问题，可以考虑将三角形的三个顶点全部放在坐标轴上.
【题型1 直线与圆的位置关系及判定】
【方法点拨】
①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数
解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，
则直线与圆相离.
②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d圆相切；当d>r时，直线与圆相离.
【例1】（2022·江西省高一阶段练习（理））直线mx-2y-m+1=0与圆x2+y2-4x-2y+1=0的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【解题思路】先根据圆的方程求出圆心和半径，然后根据不等式恒成立的法则可知对任意恒成立，即可知恒成立，即直线与圆相交.
【解答过程】解：由题意得：
已知圆的方程可化为，即圆心的坐标为，半径为
圆心到直线的距离为
当时，即 ，则整理可知：，根据二次函数的性质，，故不等式恒成立，直线与圆相交；
当时，即 ，不等式无解；
故直线mx-2y-m+1=0与圆x2+y2-4x-2y+1=0的位置关系是相交；
故选：A.
【变式1-1】（2022·河南·高二阶段练习）对于任意实数，圆与直线的位置关系是（ ）
A．相交B．相切
C．相离D．与的取值有关
【解题思路】根据直线方程得到直线经过定点，再通过比较点到圆心的距离和半径的大小得到点在圆的内部，从而得到直线与圆的位置关系.
【解答过程】∵直线的方程，整理得，令，解得，∴直线过定点，
∵圆的方程为，整理得，
∴圆的圆心，半径，
∴圆心到定点的距离为：，
∴点在圆的内部，直线与圆的位置关系是相交.
故选：A.
【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）已知直线与圆相离，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】由圆心到直线的距离大于半径即可求解.
【解答过程】由，得，
∵直线与圆相离，
∴解得．
∴实数m的取值范围是，
故选:D．
【变式1-3】（2022·全国·高二课时练习）已知点在圆内，直线是以为中点的弦所在直线，直线的方程为，则（ ）
A．且与圆相离B．且与圆相切
C．且与圆相交D．且与圆相离
【解题思路】由圆的性质可确定直线的斜率，进而得到方程，可知；结合点在圆内的特点，利用点到直线距离公式可确定圆心到直线的距离，由此可得结论.
【解答过程】直线以为中点，直线的斜率，
直线的方程为：，即，则，
在圆内，，
则圆心到直线的距离，与圆相离.
故选：A.
【题型2 圆的切线问题及切线方程的求解】
【方法点拨】
①当一条直线l与圆C相切时，毫无疑问地要用到圆心C到直线l的距离d=r(r为圆C的半径).
②当一条直线l与圆C相切于点P时，则lPC.
③过圆外一点P向圆C作切线，切点为Q，则必定会用到 SKIPIF 1 < 0 .
【例2】（2022·全国·高三专题练习）过点作圆的切线，则的方程为（ ）
A．B．或
C．D．或
【解题思路】根据题意，设圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0的圆心为C，分析可得点M在圆上，求出直线MC的斜率，即可得切线的斜率k，由直线的点斜式方程分析可得答案．
【解答过程】解：根据题意，设圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0的圆心为C，
圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0，即，其圆心为（1，3），
又由点M的坐标为（3，1），有，即点M在圆上，
则，则切线的斜率k＝1，
则切线的方程为y﹣1＝（x﹣3），即x﹣y﹣2＝0；
故选：C．
【变式2-1】（2021·山西大同·高三阶段练习（文））已知圆心在轴上，半径为的圆上有一点，则圆在点M处的切线方程是（ ）
A．B．或
C．D．或
【解题思路】求得圆心坐标，根据点斜式求得切线方程.
【解答过程】设圆心，
则，解得或.
当时，，，切线方程为.
当时，，，切线方程为.
所以切线方程为或.
故选：D.
【变式2-2】（2022·安徽蚌埠·一模）过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】要切线长最小，就要直线上的点到圆心的距离最小，则此最小值为圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理可求出切线长的最小值.
【解答过程】圆的圆心为，半径为，
因为圆心到直线的距离，
所以切线长最小值为.
故选：B.
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知圆：，点是轴上的一个动点，，分别切圆C于P，Q两点，则线段长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】设，利用面积相等得到，再根据即可求得的取值范围.
【解答过程】设，则，
由可知，
∵AC垂直平分PQ，
∴，
∴当时，PQ取得最小值，
又，∴，
∴．
故选：B．
.
【题型3 圆的弦长问题】
【方法点拨】
当直线与圆相交时，因几何法求弦长较方便，一般不用代数法.
用几何法求解圆的弦长的一般步骤：第一步：确定圆的半径r；第二步：求解圆心到直线的距离d；第三步：
代入公式求解弦长.
【例3】（2022·全国·高二课时练习）直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．B．4C．D．
【解题思路】直接利用直线被圆截得的弦长公式求解即可.
【解答过程】由题意圆心，圆C的半径为3，
故C到的距离为，
故所求弦长为.
故选：A.
【变式3-1】（2022·全国·高三专题练习）过点，作倾斜角为的直线l，则直线l被圆截得的弦长为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由题，由点斜式写出直线，由点线距离公式求出圆心到直线距离，可结合垂径定理得出所截弦长
【解答过程】依题意，直线l的方程为，即，则圆心O到直线l的距离.又因为圆的半径，所以所求的弦长为，
故选：D.
【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．4D．
【解题思路】写出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定最小时直线与直线的位置关系，即可得结果.
【解答过程】由恒过，
又，即在圆C内，
要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短，
由，圆的半径为5，
所以.
故选：A.
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知圆O：，已知直线l：与圆O的交点分别M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时，（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】直线过定点，当直线与垂直时，弦长最短．
【解答过程】直线l：，即，所以直线过定点，，圆半径，
点在圆内，所以当直线与垂直的时候，最短，
此时．
故选：C．
【题型4 直线与圆有关的最值问题】
【方法点拨】
解直线与圆的最值问题主要有以下两种思路：
①代数法：利用平面几何中的有关公式，构造函数，把问题转化为函数的最值，然后根据函数最值的求法
进行求解.在转化过程中常用到向量的数量积、一元二次方程根与系数的关系、换元等知识和方法.
②几何法：找到所求式的几何意义，在坐标系中与圆建立联系，分析其与圆的位置变化情况，找到最大、
最小取值点.
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用面积相等求出.设，得到.利用几何法分析出，即可求出的最小值.
【解答过程】圆：化为标准方程：，其圆心,半径.
过点P引圆C的两条切线,切点分别为点A、B,如图：
在△PAC中,有，即，变形可得：.
设，则.
所以当的值即x最小时，的值最大，此时最小.
而的最小值为点C到直线的距离，即，
所以.
故选：B.
【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，，点，点，过其“欧拉线”上一点Р作圆O：的两条切线，切点分别为M，N，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】求中垂线方程，结合点线距离判断“欧拉线”与圆O的位置关系并求出圆心到直线的距离，由几何关系判断的最小时的位置，进而求的最小值.
【解答过程】由题设，中点为，“欧拉线”斜率为，
所以“欧拉线”方程为，即，
又到的距离为，即“欧拉线”与圆O相离，
要使的最小，则在△与△中最小，即最大，而仅当“欧拉线”时最大，
所以，则，且圆O半径 ，，
所以，即.
故选：B.
【变式4-2】（2022·江苏·高二专题练习）已知点在圆上，直线与轴、轴分别交于点、，则下列结论中正确的有（ ）
①点到直线的距离小于
②点到直线的距离大于
③当最小时，
④当最大时，
A．个B．个C．个D．个
【解题思路】计算出点到直线的距离的最大值和最小值，可判断①②的正误；利用最小和最大时，确定点的位置，求出的值，可判断③④的正误.
【解答过程】圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，
所以，直线与圆相离，
点到直线的距离的最大值为，最小值为，
因为，，故①对，②错；
直线交轴于点，交轴于点，，
过点作圆的两条切线，切点分别为、，如下图所示：
当最小时，点与点重合，此时，
当最大时，点与点重合，此时，③④都对.
故选：C.
【变式4-3】（2021·湖北·高二期中）已知圆，圆，、分别是圆、上动点，是轴上动点，则的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据两圆及的位置关系，将的最大转化为求最大，再应用将军饮马模型作关于轴的对称点，利用三角形的三边关系确定的最大值，进而求的最大值.
【解答过程】要使的最大，需尽可能大，尽可能小，
∴连接、，让两直线与两圆的交点，离尽可能远，离尽可能近，如下图示：
在△中最大即可，令，关于轴的对称点为，
∴最大，故共线时的最大值为，
∴的最大值为.
故选：D.
【题型5 直线与部分圆的相交问题】
【方法点拨】
一条直线和一个圆的一部分有交点时，如果用代数法去研究，则要转化为一元二次方程根的取值情况，过
程比较繁琐，因此这类问题一般采用数形结合的方法去研究，研究应抓住两类直线：一是切线；二是过端
点的直线.
【例5】（2022·湖南·高二阶段练习）若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】确定直线恒过定点，确定曲线表示以点为圆心，1为半径，且位于直线右侧的半圆，包括点，．由直线与圆的位置关系可得结论（需要求出切线的斜率）
【解答过程】直线恒过定点，曲线表示以点为圆心，1为半径，且位于直线右侧的半圆，包括点，．
如图，当直线l经过点时，l与曲线C有两个交点，此时，直线记为；
当l与半圆相切时，由，得，切线记为．
由图可知当时，l与曲线C有两个交点，
故选：A．
【变式5-1】（2021·山东泰安·高二期中）设点是曲线上的任意一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】点是曲线上的任意一点，故点满足方程，可表示点与点连线斜率，由几何意义易得结论.
【解答过程】曲线表示以为圆心，为半径的下半圆，如图所示：
可表示点与点连线斜率
当直线与圆相切时：设直线方程为，即
圆心到直线距离，
解得或，
又，所以，
当直线经过点时，，
综上，
故选：B.
【变式5-2】（2021·天津高二阶段练习）设曲线上的点到直线的距离的最大值为，最小值为，则的值为( )
A．B．C．D．
【解题思路】将曲线化成圆的方程的形式，结合图像，过曲线上任意一点作平行于直线的直线，可得到当直线的方程为时，直线与直线的距离为，然后利用圆心到直线的距离减去半径可得，进而可得到答案.
【解答过程】由可知，，且，即曲线是以为圆心，半径为1的半圆，
过曲线上任一点作平行于直线的直线，如下图所示：
其中实线为直线，虚线为直线，
曲线上的点到直线的距离可转化为直线与直线之间的距离，
结合图像易知，当直线过时，直线与直线之间的距离最大，
即曲线上的点到直线的距离最大，易知此时直线的方程为：，
由平行线间的距离公式可得，，
因为到直线的距离为，
所以曲线上的点到直线的距离的最小值为，
从而.
故选：D.
【变式5-3】（2021·山东·高二阶段练习）过点引直线与曲线相交于､两点，则直线的斜率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】画出曲线表示的图象，数形结合即可求出.
【解答过程】设直线为，
曲线表示圆心在原点，半径为1的圆的上半部分，
如图：当直线与圆相切于第一象限时，则由，
解得（舍去）或，
又，
因为直线与曲线相交于､两点，
所以数形结合可得.
故选：B.
【题型6 直线与圆的方程的应用】
【方法点拨】
用坐标法解决几何问题时应注意以下几点：
①应在利于解题的原则下建立适当的平面直角坐标系，不可随便建立；
②在实际问题中，有些量具有一定的限制条件，转化成代数问题时要注意取值范围；
③最后一定要将代数结果转化成几何结论.
【例6】（2022·全国·高二课时练习）如图，某海面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险?
【解题思路】（1）根据给定条件，求出点A，B的坐标，设出圆C的一般方程，利用待定系数法求解作答.
（2）求出船D的航线所在直线的方程，再利用点到直线距离公式计算判断作答.
【解答过程】（1）
依题意，因A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛千米处，则点，
又B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处，则，
设过O，A，B三点的圆C的方程为，
则，解得，
所以圆C的方程为．
（2）
因船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，则，
而船D沿着北偏东45°方向行驶，则船D的航线所在直线l的斜率为1，直线l的方程为，
由（1）知，圆C的圆心为，半径，
则圆心C到直线l的距离，则，
所以该船有触礁的危险.
【变式6-1】（2022·湖北·高二期末）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系．
(1)试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离；
(2)某日经观测发现，在该平台O正南10km C处，有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？
【解题思路】（1）先求出A，B的坐标，再由距离公式得出A，B之间的距离；
（2）由三点的坐标列出方程组得出经过三点的圆的方程，设轮船航线所在的直线为，再由几何法得出直线与圆截得的弦长，进而得出安全警示区内行驶时长.
【解答过程】(1)
由题意得，∴；
(2)
设圆的方程为，
因为该圆经过三点，∴，得到.
所以该圆的方程为：，
化成标准方程为：.
设轮船航线所在的直线为，则直线的方程为：，
圆心（6，8）到直线的距离，
所以直线与圆相交，即轮船会驶入安全预警区.
直线与圆截得的弦长为 ，行驶时长小时.
即在安全警示区内行驶时长为半小时.
【变式6-2】（2022·浙江·高二期末）如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥（是圆的直径）.规划在公路上选两个点､，并修建两段直线型道路､.规划要求，线段､上的所有点到点的距离均不小于圆的半径.已知点到直线的距离分别为和（为垂足），测得，，（单位：百米）.
(1)若道路与桥垂直，求道路的长；
(2)在规划要求下，点能否选在处？并说明理由.
【解题思路】（1）建立适当的坐标系，得圆及直线的方程，进而得解.
（2）不妨点选在处，求方程并求其与圆的交点，在线段上取点不符合条件，得结论.
【解答过程】(1)
如图，过作，垂足为.
以为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系.
因为为圆的直径，，所以圆的方程为.
因为，，所以，故直线的方程为，
则点，的纵坐标分别为3，
从而，，
直线的斜率为.
因为，所以直线的斜率为，
直线的方程为.令，得，，
所以.
因此道路的长为15（百米）.
(2)
若点选在处，连结，可求出点，又，
所以线段.
由解得或，
故不妨取，得到在线段上的点，
因为，
所以线段上存在点到点的距离小于圆的半径5.
因此点选在处不满足规划要求.
【变式6-3】（2022·全国·高二课时练习）为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了两个观测站（点在点、点之间），它们到平台的距离分别为海里和海里，记海平面上到两观测站距离，之比为的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区（如图）．
(1)以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求曲线的方程；
(2)某日在观测站处发现，在该海上平台正南海里的处，有一艘轮船正以每小时海里的速度向北偏东方向航行，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，说明理由；如果进入，则它在安全预警区中的航行时间是几小时．
【解题思路】（1）、根据题意可知，利用两点间距离公式化简即可得到曲线的方程；
（2）、先求出轮船航行直线方程，再判断航行直线与安全预警区的位置关系，然后计算出航行直线被安全预警区截得的弦长，进而可以求出轮船在安全预警区中的航行时间；
【解答过程】（1）
设，则由题意，根据题意可知，
，，曲线的方程为:
（2）
在该海上平台正南海里处,，
轮船向北偏东方向航行, 轮船航行直线的倾斜角为，即直线的斜率为，
轮船航行直线方程：，即.
曲线的方程为: ,圆心，半径为
圆心到直线的距离,
如果轮船不改变航向，轮船一定会进入安全预警区.
直线被圆截得的弦长
轮船的速度为每小时海里，它在安全预警区中的航行时间
答：如果轮船不改变航向，轮船一定会进入安全预警区，它在安全预警区中的航行时间为个小时．
1．直线与圆的位置关系及判定方法
(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下：
(2)直线与圆的位置关系的判定方法
①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的
实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离.
②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d
2．圆的切线及切线方程
(1)自一点引圆的切线的条数：
①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；
②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；
③若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.
(2)求过圆上的一点 SKIPIF 1 < 0 的圆的切线方程：
①求法：先求切点与圆心连线的斜率k( SKIPIF 1 < 0 )，则由垂直关系可知切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，由点斜式方程可求
得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.
②重要结论：
a.经过圆 SKIPIF 1 < 0 上一点P SKIPIF 1 < 0 的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
b.经过圆 SKIPIF 1 < 0 上一点P SKIPIF 1 < 0 的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
c.经过圆 SKIPIF 1 < 0 +Dx+Ey+F=0上一点P SKIPIF 1 < 0 的切线方程为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
3．圆的弦长问题
设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，求弦长的方法有以下几种：
(1)几何法
如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式： SKIPIF 1 < 0 .
(2)代数法
将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A SKIPIF 1 < 0 ,B SKIPIF 1 < 0 .
①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.
②若交点坐标无法简单求出，则将方程组 SKIPIF 1 < 0 消元后得一元二次方程，由一元
二次方程中根与系数的关系可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 的关系式，通常把 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 叫作弦长公式.
4．解与圆有关的最值问题
(1)利用圆的几何性质求最值的问题
求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线.
①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d
为圆心到直线的距离；
②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r；
③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r.
(2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题
解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选
用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.
①形如u= SKIPIF 1 < 0 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.
②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
③形如 SKIPIF 1 < 0 的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
(3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦.
5．直线与圆的方程的应用
(1)解决实际问题的步骤：
(2)建系原则
建立适当的平面直角坐标系要把握两个原则：
①对称性原则.可以选择对称中心为坐标原点，对称轴所在的直线为坐标轴.到两个定点的距离问题，可
以选择两个定点所在的直线以及线段的垂直平分线为坐标轴等.有两条相互垂直的直线的问题则可选其为坐标轴.
②集中性原则.可以让曲线上尽可能多的特殊点在坐标轴上.如与三角形有关的问题，可以考虑将三角形的三个顶点全部放在坐标轴上.
【题型1 直线与圆的位置关系及判定】
【方法点拨】
①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数
解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，
则直线与圆相离.
②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d
【例1】（2022·江西省高一阶段练习（理））直线mx-2y-m+1=0与圆x2+y2-4x-2y+1=0的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【解题思路】先根据圆的方程求出圆心和半径，然后根据不等式恒成立的法则可知对任意恒成立，即可知恒成立，即直线与圆相交.
【解答过程】解：由题意得：
已知圆的方程可化为，即圆心的坐标为，半径为
圆心到直线的距离为
当时，即 ，则整理可知：，根据二次函数的性质，，故不等式恒成立，直线与圆相交；
当时，即 ，不等式无解；
故直线mx-2y-m+1=0与圆x2+y2-4x-2y+1=0的位置关系是相交；
故选：A.
【变式1-1】（2022·河南·高二阶段练习）对于任意实数，圆与直线的位置关系是（ ）
A．相交B．相切
C．相离D．与的取值有关
【解题思路】根据直线方程得到直线经过定点，再通过比较点到圆心的距离和半径的大小得到点在圆的内部，从而得到直线与圆的位置关系.
【解答过程】∵直线的方程，整理得，令，解得，∴直线过定点，
∵圆的方程为，整理得，
∴圆的圆心，半径，
∴圆心到定点的距离为：，
∴点在圆的内部，直线与圆的位置关系是相交.
故选：A.
【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）已知直线与圆相离，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】由圆心到直线的距离大于半径即可求解.
【解答过程】由，得，
∵直线与圆相离，
∴解得．
∴实数m的取值范围是，
故选:D．
【变式1-3】（2022·全国·高二课时练习）已知点在圆内，直线是以为中点的弦所在直线，直线的方程为，则（ ）
A．且与圆相离B．且与圆相切
C．且与圆相交D．且与圆相离
【解题思路】由圆的性质可确定直线的斜率，进而得到方程，可知；结合点在圆内的特点，利用点到直线距离公式可确定圆心到直线的距离，由此可得结论.
【解答过程】直线以为中点，直线的斜率，
直线的方程为：，即，则，
在圆内，，
则圆心到直线的距离，与圆相离.
故选：A.
【题型2 圆的切线问题及切线方程的求解】
【方法点拨】
①当一条直线l与圆C相切时，毫无疑问地要用到圆心C到直线l的距离d=r(r为圆C的半径).
②当一条直线l与圆C相切于点P时，则lPC.
③过圆外一点P向圆C作切线，切点为Q，则必定会用到 SKIPIF 1 < 0 .
【例2】（2022·全国·高三专题练习）过点作圆的切线，则的方程为（ ）
A．B．或
C．D．或
【解题思路】根据题意，设圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0的圆心为C，分析可得点M在圆上，求出直线MC的斜率，即可得切线的斜率k，由直线的点斜式方程分析可得答案．
【解答过程】解：根据题意，设圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0的圆心为C，
圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0，即，其圆心为（1，3），
又由点M的坐标为（3，1），有，即点M在圆上，
则，则切线的斜率k＝1，
则切线的方程为y﹣1＝（x﹣3），即x﹣y﹣2＝0；
故选：C．
【变式2-1】（2021·山西大同·高三阶段练习（文））已知圆心在轴上，半径为的圆上有一点，则圆在点M处的切线方程是（ ）
A．B．或
C．D．或
【解题思路】求得圆心坐标，根据点斜式求得切线方程.
【解答过程】设圆心，
则，解得或.
当时，，，切线方程为.
当时，，，切线方程为.
所以切线方程为或.
故选：D.
【变式2-2】（2022·安徽蚌埠·一模）过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】要切线长最小，就要直线上的点到圆心的距离最小，则此最小值为圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理可求出切线长的最小值.
【解答过程】圆的圆心为，半径为，
因为圆心到直线的距离，
所以切线长最小值为.
故选：B.
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知圆：，点是轴上的一个动点，，分别切圆C于P，Q两点，则线段长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】设，利用面积相等得到，再根据即可求得的取值范围.
【解答过程】设，则，
由可知，
∵AC垂直平分PQ，
∴，
∴当时，PQ取得最小值，
又，∴，
∴．
故选：B．
.
【题型3 圆的弦长问题】
【方法点拨】
当直线与圆相交时，因几何法求弦长较方便，一般不用代数法.
用几何法求解圆的弦长的一般步骤：第一步：确定圆的半径r；第二步：求解圆心到直线的距离d；第三步：
代入公式求解弦长.
【例3】（2022·全国·高二课时练习）直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．B．4C．D．
【解题思路】直接利用直线被圆截得的弦长公式求解即可.
【解答过程】由题意圆心，圆C的半径为3，
故C到的距离为，
故所求弦长为.
故选：A.
【变式3-1】（2022·全国·高三专题练习）过点，作倾斜角为的直线l，则直线l被圆截得的弦长为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由题，由点斜式写出直线，由点线距离公式求出圆心到直线距离，可结合垂径定理得出所截弦长
【解答过程】依题意，直线l的方程为，即，则圆心O到直线l的距离.又因为圆的半径，所以所求的弦长为，
故选：D.
【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．4D．
【解题思路】写出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定最小时直线与直线的位置关系，即可得结果.
【解答过程】由恒过，
又，即在圆C内，
要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短，
由，圆的半径为5，
所以.
故选：A.
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知圆O：，已知直线l：与圆O的交点分别M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时，（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】直线过定点，当直线与垂直时，弦长最短．
【解答过程】直线l：，即，所以直线过定点，，圆半径，
点在圆内，所以当直线与垂直的时候，最短，
此时．
故选：C．
【题型4 直线与圆有关的最值问题】
【方法点拨】
解直线与圆的最值问题主要有以下两种思路：
①代数法：利用平面几何中的有关公式，构造函数，把问题转化为函数的最值，然后根据函数最值的求法
进行求解.在转化过程中常用到向量的数量积、一元二次方程根与系数的关系、换元等知识和方法.
②几何法：找到所求式的几何意义，在坐标系中与圆建立联系，分析其与圆的位置变化情况，找到最大、
最小取值点.
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用面积相等求出.设，得到.利用几何法分析出，即可求出的最小值.
【解答过程】圆：化为标准方程：，其圆心,半径.
过点P引圆C的两条切线,切点分别为点A、B,如图：
在△PAC中,有，即，变形可得：.
设，则.
所以当的值即x最小时，的值最大，此时最小.
而的最小值为点C到直线的距离，即，
所以.
故选：B.
【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，，点，点，过其“欧拉线”上一点Р作圆O：的两条切线，切点分别为M，N，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】求中垂线方程，结合点线距离判断“欧拉线”与圆O的位置关系并求出圆心到直线的距离，由几何关系判断的最小时的位置，进而求的最小值.
【解答过程】由题设，中点为，“欧拉线”斜率为，
所以“欧拉线”方程为，即，
又到的距离为，即“欧拉线”与圆O相离，
要使的最小，则在△与△中最小，即最大，而仅当“欧拉线”时最大，
所以，则，且圆O半径 ，，
所以，即.
故选：B.
【变式4-2】（2022·江苏·高二专题练习）已知点在圆上，直线与轴、轴分别交于点、，则下列结论中正确的有（ ）
①点到直线的距离小于
②点到直线的距离大于
③当最小时，
④当最大时，
A．个B．个C．个D．个
【解题思路】计算出点到直线的距离的最大值和最小值，可判断①②的正误；利用最小和最大时，确定点的位置，求出的值，可判断③④的正误.
【解答过程】圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，
所以，直线与圆相离，
点到直线的距离的最大值为，最小值为，
因为，，故①对，②错；
直线交轴于点，交轴于点，，
过点作圆的两条切线，切点分别为、，如下图所示：
当最小时，点与点重合，此时，
当最大时，点与点重合，此时，③④都对.
故选：C.
【变式4-3】（2021·湖北·高二期中）已知圆，圆，、分别是圆、上动点，是轴上动点，则的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据两圆及的位置关系，将的最大转化为求最大，再应用将军饮马模型作关于轴的对称点，利用三角形的三边关系确定的最大值，进而求的最大值.
【解答过程】要使的最大，需尽可能大，尽可能小，
∴连接、，让两直线与两圆的交点，离尽可能远，离尽可能近，如下图示：
在△中最大即可，令，关于轴的对称点为，
∴最大，故共线时的最大值为，
∴的最大值为.
故选：D.
【题型5 直线与部分圆的相交问题】
【方法点拨】
一条直线和一个圆的一部分有交点时，如果用代数法去研究，则要转化为一元二次方程根的取值情况，过
程比较繁琐，因此这类问题一般采用数形结合的方法去研究，研究应抓住两类直线：一是切线；二是过端
点的直线.
【例5】（2022·湖南·高二阶段练习）若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】确定直线恒过定点，确定曲线表示以点为圆心，1为半径，且位于直线右侧的半圆，包括点，．由直线与圆的位置关系可得结论（需要求出切线的斜率）
【解答过程】直线恒过定点，曲线表示以点为圆心，1为半径，且位于直线右侧的半圆，包括点，．
如图，当直线l经过点时，l与曲线C有两个交点，此时，直线记为；
当l与半圆相切时，由，得，切线记为．
由图可知当时，l与曲线C有两个交点，
故选：A．
【变式5-1】（2021·山东泰安·高二期中）设点是曲线上的任意一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】点是曲线上的任意一点，故点满足方程，可表示点与点连线斜率，由几何意义易得结论.
【解答过程】曲线表示以为圆心，为半径的下半圆，如图所示：
可表示点与点连线斜率
当直线与圆相切时：设直线方程为，即
圆心到直线距离，
解得或，
又，所以，
当直线经过点时，，
综上，
故选：B.
【变式5-2】（2021·天津高二阶段练习）设曲线上的点到直线的距离的最大值为，最小值为，则的值为( )
A．B．C．D．
【解题思路】将曲线化成圆的方程的形式，结合图像，过曲线上任意一点作平行于直线的直线，可得到当直线的方程为时，直线与直线的距离为，然后利用圆心到直线的距离减去半径可得，进而可得到答案.
【解答过程】由可知，，且，即曲线是以为圆心，半径为1的半圆，
过曲线上任一点作平行于直线的直线，如下图所示：
其中实线为直线，虚线为直线，
曲线上的点到直线的距离可转化为直线与直线之间的距离，
结合图像易知，当直线过时，直线与直线之间的距离最大，
即曲线上的点到直线的距离最大，易知此时直线的方程为：，
由平行线间的距离公式可得，，
因为到直线的距离为，
所以曲线上的点到直线的距离的最小值为，
从而.
故选：D.
【变式5-3】（2021·山东·高二阶段练习）过点引直线与曲线相交于､两点，则直线的斜率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】画出曲线表示的图象，数形结合即可求出.
【解答过程】设直线为，
曲线表示圆心在原点，半径为1的圆的上半部分，
如图：当直线与圆相切于第一象限时，则由，
解得（舍去）或，
又，
因为直线与曲线相交于､两点，
所以数形结合可得.
故选：B.
【题型6 直线与圆的方程的应用】
【方法点拨】
用坐标法解决几何问题时应注意以下几点：
①应在利于解题的原则下建立适当的平面直角坐标系，不可随便建立；
②在实际问题中，有些量具有一定的限制条件，转化成代数问题时要注意取值范围；
③最后一定要将代数结果转化成几何结论.
【例6】（2022·全国·高二课时练习）如图，某海面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险?
【解题思路】（1）根据给定条件，求出点A，B的坐标，设出圆C的一般方程，利用待定系数法求解作答.
（2）求出船D的航线所在直线的方程，再利用点到直线距离公式计算判断作答.
【解答过程】（1）
依题意，因A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛千米处，则点，
又B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处，则，
设过O，A，B三点的圆C的方程为，
则，解得，
所以圆C的方程为．
（2）
因船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，则，
而船D沿着北偏东45°方向行驶，则船D的航线所在直线l的斜率为1，直线l的方程为，
由（1）知，圆C的圆心为，半径，
则圆心C到直线l的距离，则，
所以该船有触礁的危险.
【变式6-1】（2022·湖北·高二期末）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系．
(1)试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离；
(2)某日经观测发现，在该平台O正南10km C处，有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？
【解题思路】（1）先求出A，B的坐标，再由距离公式得出A，B之间的距离；
（2）由三点的坐标列出方程组得出经过三点的圆的方程，设轮船航线所在的直线为，再由几何法得出直线与圆截得的弦长，进而得出安全警示区内行驶时长.
【解答过程】(1)
由题意得，∴；
(2)
设圆的方程为，
因为该圆经过三点，∴，得到.
所以该圆的方程为：，
化成标准方程为：.
设轮船航线所在的直线为，则直线的方程为：，
圆心（6，8）到直线的距离，
所以直线与圆相交，即轮船会驶入安全预警区.
直线与圆截得的弦长为 ，行驶时长小时.
即在安全警示区内行驶时长为半小时.
【变式6-2】（2022·浙江·高二期末）如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥（是圆的直径）.规划在公路上选两个点､，并修建两段直线型道路､.规划要求，线段､上的所有点到点的距离均不小于圆的半径.已知点到直线的距离分别为和（为垂足），测得，，（单位：百米）.
(1)若道路与桥垂直，求道路的长；
(2)在规划要求下，点能否选在处？并说明理由.
【解题思路】（1）建立适当的坐标系，得圆及直线的方程，进而得解.
（2）不妨点选在处，求方程并求其与圆的交点，在线段上取点不符合条件，得结论.
【解答过程】(1)
如图，过作，垂足为.
以为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系.
因为为圆的直径，，所以圆的方程为.
因为，，所以，故直线的方程为，
则点，的纵坐标分别为3，
从而，，
直线的斜率为.
因为，所以直线的斜率为，
直线的方程为.令，得，，
所以.
因此道路的长为15（百米）.
(2)
若点选在处，连结，可求出点，又，
所以线段.
由解得或，
故不妨取，得到在线段上的点，
因为，
所以线段上存在点到点的距离小于圆的半径5.
因此点选在处不满足规划要求.
【变式6-3】（2022·全国·高二课时练习）为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了两个观测站（点在点、点之间），它们到平台的距离分别为海里和海里，记海平面上到两观测站距离，之比为的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区（如图）．
(1)以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求曲线的方程；
(2)某日在观测站处发现，在该海上平台正南海里的处，有一艘轮船正以每小时海里的速度向北偏东方向航行，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，说明理由；如果进入，则它在安全预警区中的航行时间是几小时．
【解题思路】（1）、根据题意可知，利用两点间距离公式化简即可得到曲线的方程；
（2）、先求出轮船航行直线方程，再判断航行直线与安全预警区的位置关系，然后计算出航行直线被安全预警区截得的弦长，进而可以求出轮船在安全预警区中的航行时间；
【解答过程】（1）
设，则由题意，根据题意可知，
，，曲线的方程为:
（2）
在该海上平台正南海里处,，
轮船向北偏东方向航行, 轮船航行直线的倾斜角为，即直线的斜率为，
轮船航行直线方程：，即.
曲线的方程为: ,圆心，半径为
圆心到直线的距离,
如果轮船不改变航向，轮船一定会进入安全预警区.
直线被圆截得的弦长
轮船的速度为每小时海里，它在安全预警区中的航行时间
答：如果轮船不改变航向，轮船一定会进入安全预警区，它在安全预警区中的航行时间为个小时．
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