还剩8页未读，
继续阅读
黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题
展开
这是一份黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题，共11页。试卷主要包含了斜率为的直线与椭圆等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2．请将答案规范填写在答题卡上。
一、选择题：（本大题共8道小题，每题5分共40分。）
1. 直线l的倾斜角为45°，且过（0,1），则直线l的方程是（ ）
A. x+y+1=0B. x-y+1=0
C. x-y-1=0D. x+y-1=0
2. 在数列中，，，，则18是数列中的（ ）
A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项
3. 已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4. 已知等比数列的公比，，则（ ）
A．B．5C．10D．20
5. 已知数列中，，则数列的前项和为
A．B．C．D．
6. 已知点P是椭圆 上的动点，则点P到直线的距离最小值为（ ）
A. B. 5C. D.
7. 《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为尺，立夏当日日影长为尺，则春分当日日影长为（ ）
A．尺B．5尺C．尺D．尺
8．斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为，则的范围是（ ）
A．或B．
C．D．
二、多选题：（本大题共4道小题，每题5分共20分。多选零分，少选得2分）
9. 下列说法正确是（ ）
A. 若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限
B. 直线过定点
C. 过点且斜率为的直线的点斜式方程为
D. 斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为
10. 以椭圆＝1的顶点为顶点，离心率为的双曲线方程为（ ）
A. ＝1 B. ＝1 C. ＝1 D. 1
11.已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项不正确的是（ ）
A．数列为递减数列B．
C．的最大值为D．
12.在等比数列中，，，则（ ）
A．的公比为4B．的前20项和为170
C．的前10项积为D．的前n项和为
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，若，则______．
14. 已知数列满足，，则数列的通项公式为______．
15. 已知圆，则圆上到直线的距离为的点个数为______．
16. 已知双曲线方程为，左焦点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为__________.
四、解答题：（17题10分，18-22每题12分，共70分）
17. 已知是等差数列的前n项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）为何值时，取得最大值并求其最大值．
18. 已知圆的圆心为原点，且与直线相切，直线过点.
（1）若直线与圆相切，求直线的方程；
（2）若直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程.
19. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20. 已知等比数列满足：.
(1)求数列的通项公式：
(2)是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.
21. 已知等差数列的前项和为，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
22.已知椭圆的一个焦点为，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）不过原点的直线与椭圆C交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程.
宾县第二中学2023-2024学年度上学期第三次月考
高二数学参考答案
一、单选题（共40分）
1. 直线l的倾斜角为45°，且过（0,1），则直线l的方程是（ ）
A. x+y+1=0B. x-y+1=0
C. x-y-1=0D. x+y-1=0
【答案】B
【解析】
【分析】根据倾斜角先求出直线斜率，再由定点，即可求出直线方程.
【详解】因为直线l的倾斜角为45°，所以斜率为：
又直线过点（0,1），则直线l的方程
故选：B
【点睛】本题主要考查直线的方程，熟记直线的点斜式方程即可，属于常考题型
2. 在数列中，，，，则18是数列中的（ ）
A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项
【答案】C
3. 已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（ ）C
A． B． C． D．
4. 已知等比数列的公比，，则（ ）
A．B．5C．10D．20
【答案】C
5. 已知数列中，，则数列的前项和为
A．B．C．D．
【解答】解：，
，且，
数列是首项为4，公比为9的等比数列，
故的前项和为．
故选：．
6. 已知点P是椭圆 上的动点，则点P到直线的距离最小值为（ ）
A. B. 5C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意设，利用点到直线的距离公式表示出点P到直线的距离，结合辅助角公式化简即可求得答案.
【详解】由题意点P是椭圆 上的动点，设，
则点P到直线的距离为
，其中，
当时，取最小值，
故选：D
7. 《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为尺，立夏当日日影长为尺，则春分当日日影长为（ ）
A．尺B．5尺C．尺D．尺
【答案】D
8．斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为，则的范围是（ ）A
A．或B．
C．D．
二、多选题（共20分）
9. 下列说法正确是（ ）
A. 若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限
B. 直线过定点
C. 过点且斜率为的直线的点斜式方程为
D. 斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用直线方程的斜截式、点斜式，以及直线过定点问题进行逐个选项判断即可.
【详解】因为直线经过第一､二､四象限，
所以直线的斜率，截距.
故点在第二象限，所以A中说法错误.
由整理得.
所以无论取何值，都满足方程.所以B中说法正确.
由点斜式方程可知，
过点且斜率为的直线的方程为.
所以C中说法正确.
由斜截式方程可知，
斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为.
所以D中说法错误.
故选：BC
10. 以椭圆＝1的顶点为顶点，离心率为的双曲线方程为（ ）
A. ＝1
B. ＝1
C. ＝1
D. 1
【答案】CD
【解析】
【分析】由椭圆方程可得顶点坐标，分别在顶点为和两种情况下，根据离心率可求得双曲线的的值，由此得到双曲线方程.
【详解】由椭圆方程知椭圆顶点为：，；
若双曲线以为顶点，则，又，，，
双曲线方程为；
若双曲线以为顶点，则，又，，，
双曲线方程为；
综上所述：所求双曲线方程为：或.
故选：CD.
11.已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项不正确的是（ ）
A．数列为递减数列B．
C．的最大值为D．
【答案】ABC
12.在等比数列中，，，则（ ）
A．的公比为4B．的前20项和为170
C．的前10项积为D．的前n项和为
【答案】ABC
【分析】利用等比数列的性质、等差数列、等比数列的求和公式计算即可.
【详解】由题意可知，所以，
所以，，A对；
由上可知：，所以，
B对；
而，C对；
记的前n项和为，则
的前n项和，
D错，
故选：ABC.
第Ⅱ卷（非选择题）
填空题（共20分）
13. 已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，若，则______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义直接求解即可.
【详解】椭圆的长半轴长，而、为该椭圆的两个焦点，且弦过，
则，
于是，而，
所以.
故答案为：8
14. 已知数列满足，，则数列的通项公式为
【答案】
15. 已知圆，则圆上到直线的距离为的点个数为______．
【答案】
【解析】
【详解】圆是一个以为圆心，以为半径的圆，圆心到的距离为，圆上到直线的距离为的点个数为，故答案为.
16. 已知双曲线方程为，左焦点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据对称性求出渐近线的倾斜角，再根据渐近线的斜率得，再根据离心率公式可求出结果.
【详解】如图：设关于渐近线对称的点在渐近线上，
的中点在渐近线上，
则，又，
所以，
所以，所以.
故答案为：.
四、解答题（共70分）
17. 已知是等差数列的前n项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）为何值时，取得最大值并求其最大值．
【答案】（1）；（2）n=4时取得最大值.
【分析】（1）利用公式，进行求解；
（2）对进行配方，然后结合由，可以求出的最大值以及此时的值.
【详解】（1）由题意可知：，当时，，
当时，，
当时，显然成立，∴数列的通项公式；
（2），
由，则时，取得最大值28，
∴当为4时，取得最大值，最大值28．
18. 已知圆的圆心为原点，且与直线相切，直线过点.
（1）若直线与圆相切，求直线的方程；
（2）若直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程.
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）首先根据圆与直线相切的几何特征求解圆的方程，再分别讨论斜率存在与斜率不存在两种情况，采用待定系数法，根据圆心到直线的距离等于半径求解切线方程即可；
（2）首先根据弦长求出圆心到直线的距离，再分别讨论斜率存在与斜率不存在两种情况，采用待定系数法，根据圆心到直线的距离求解直线方程即可.
【小问1详解】
圆心到直线的距离，
圆的半径为2，所以圆的方程为；
当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为，不相切.
直线斜率存在，设直线，
由，得或
所以切线方程为，或.
【小问2详解】
设圆心到直线的距离为，则，由，解得.
当直线斜率不存在时，直线方程为，
圆心到直线的距离，即直线被圆所截得的弦长为，符合题意；
当直线斜率存在时，设直线，
则，解得：，
故的方程是，即，
综上所述，直线的方程为或.
19. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
【答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）根据正方体和中位线的性质得到四边形为平行四边形，即，然后根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）利用空间向量的方法求线面角即可；
【小问1详解】
连接交于点，连接，，
因为为正方体，
所以，点为中点，
因为分别为中点，
所以，，
所以，，四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以∥平面.
【小问2详解】
如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
，，，，，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20. 已知等比数列满足：.
(1)求数列的通项公式：
(2)是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，4
【分析】（1）设出公比，得到方程组，求出首项和公比，得到通项公式；
（2）先得到是首项为，公比为的等比数列，利用等比数列求和公式得到不等式，求出，得到答案.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
则由已知可得，
解得，
故；
（2）因为，则，
所以，
故是首项为，公比为的等比数列，
从而，
则，
即，
所以.
21. 已知等差数列的前项和为，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【解答】解：（1）不妨设等差数列的首项、公差分别为，，
由题意有，
所以有，即，
所以，
又因为，，成等比数列，
所以，整理得，
解得，所以，
由等差数列定义可知；
（2）由（1）可知，所以，
由题意当时，有，
所以，
以上两式相减得
，
所以，
且当时，有，
综上所述：．
22.已知椭圆的一个焦点为，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）不过原点的直线与椭圆C交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）由焦点和离心率即可求出，从而可得椭圆方程；
（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，由点直线的距离公式，结合韦达定理，把面积表示为的函数，再利用基本不等式即可求出结果.
【小问1详解】
由已知得，又离心率，得到，，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
设，
联立，消得，
，得到，
由韦达定理得，，
又因为，
又原点到直线的距离为，
所以，
当且仅当，即，满足，
所以，面积的最大值为，此时直线的方程为.
22. 已知椭圆的一个焦点为，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）不过原点的直线与椭圆C交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）由焦点和离心率即可求出，从而可得椭圆方程；
（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，由点直线的距离公式，结合韦达定理，把面积表示为的函数，再利用基本不等式即可求出结果.
【小问1详解】
由已知得，又离心率，得到，，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
设，
联立，消得，
，得到，
由韦达定理得，，
又因为，
又原点到直线的距离为，
所以，
当且仅当，即，满足，
所以，面积的最大值为，此时直线的方程为.
考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2．请将答案规范填写在答题卡上。
一、选择题：（本大题共8道小题，每题5分共40分。）
1. 直线l的倾斜角为45°，且过（0,1），则直线l的方程是（ ）
A. x+y+1=0B. x-y+1=0
C. x-y-1=0D. x+y-1=0
2. 在数列中，，，，则18是数列中的（ ）
A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项
3. 已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4. 已知等比数列的公比，，则（ ）
A．B．5C．10D．20
5. 已知数列中，，则数列的前项和为
A．B．C．D．
6. 已知点P是椭圆 上的动点，则点P到直线的距离最小值为（ ）
A. B. 5C. D.
7. 《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为尺，立夏当日日影长为尺，则春分当日日影长为（ ）
A．尺B．5尺C．尺D．尺
8．斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为，则的范围是（ ）
A．或B．
C．D．
二、多选题：（本大题共4道小题，每题5分共20分。多选零分，少选得2分）
9. 下列说法正确是（ ）
A. 若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限
B. 直线过定点
C. 过点且斜率为的直线的点斜式方程为
D. 斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为
10. 以椭圆＝1的顶点为顶点，离心率为的双曲线方程为（ ）
A. ＝1 B. ＝1 C. ＝1 D. 1
11.已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项不正确的是（ ）
A．数列为递减数列B．
C．的最大值为D．
12.在等比数列中，，，则（ ）
A．的公比为4B．的前20项和为170
C．的前10项积为D．的前n项和为
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，若，则______．
14. 已知数列满足，，则数列的通项公式为______．
15. 已知圆，则圆上到直线的距离为的点个数为______．
16. 已知双曲线方程为，左焦点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为__________.
四、解答题：（17题10分，18-22每题12分，共70分）
17. 已知是等差数列的前n项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）为何值时，取得最大值并求其最大值．
18. 已知圆的圆心为原点，且与直线相切，直线过点.
（1）若直线与圆相切，求直线的方程；
（2）若直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程.
19. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20. 已知等比数列满足：.
(1)求数列的通项公式：
(2)是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.
21. 已知等差数列的前项和为，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
22.已知椭圆的一个焦点为，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）不过原点的直线与椭圆C交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程.
宾县第二中学2023-2024学年度上学期第三次月考
高二数学参考答案
一、单选题（共40分）
1. 直线l的倾斜角为45°，且过（0,1），则直线l的方程是（ ）
A. x+y+1=0B. x-y+1=0
C. x-y-1=0D. x+y-1=0
【答案】B
【解析】
【分析】根据倾斜角先求出直线斜率，再由定点，即可求出直线方程.
【详解】因为直线l的倾斜角为45°，所以斜率为：
又直线过点（0,1），则直线l的方程
故选：B
【点睛】本题主要考查直线的方程，熟记直线的点斜式方程即可，属于常考题型
2. 在数列中，，，，则18是数列中的（ ）
A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项
【答案】C
3. 已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（ ）C
A． B． C． D．
4. 已知等比数列的公比，，则（ ）
A．B．5C．10D．20
【答案】C
5. 已知数列中，，则数列的前项和为
A．B．C．D．
【解答】解：，
，且，
数列是首项为4，公比为9的等比数列，
故的前项和为．
故选：．
6. 已知点P是椭圆 上的动点，则点P到直线的距离最小值为（ ）
A. B. 5C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意设，利用点到直线的距离公式表示出点P到直线的距离，结合辅助角公式化简即可求得答案.
【详解】由题意点P是椭圆 上的动点，设，
则点P到直线的距离为
，其中，
当时，取最小值，
故选：D
7. 《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为尺，立夏当日日影长为尺，则春分当日日影长为（ ）
A．尺B．5尺C．尺D．尺
【答案】D
8．斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为，则的范围是（ ）A
A．或B．
C．D．
二、多选题（共20分）
9. 下列说法正确是（ ）
A. 若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限
B. 直线过定点
C. 过点且斜率为的直线的点斜式方程为
D. 斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用直线方程的斜截式、点斜式，以及直线过定点问题进行逐个选项判断即可.
【详解】因为直线经过第一､二､四象限，
所以直线的斜率，截距.
故点在第二象限，所以A中说法错误.
由整理得.
所以无论取何值，都满足方程.所以B中说法正确.
由点斜式方程可知，
过点且斜率为的直线的方程为.
所以C中说法正确.
由斜截式方程可知，
斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为.
所以D中说法错误.
故选：BC
10. 以椭圆＝1的顶点为顶点，离心率为的双曲线方程为（ ）
A. ＝1
B. ＝1
C. ＝1
D. 1
【答案】CD
【解析】
【分析】由椭圆方程可得顶点坐标，分别在顶点为和两种情况下，根据离心率可求得双曲线的的值，由此得到双曲线方程.
【详解】由椭圆方程知椭圆顶点为：，；
若双曲线以为顶点，则，又，，，
双曲线方程为；
若双曲线以为顶点，则，又，，，
双曲线方程为；
综上所述：所求双曲线方程为：或.
故选：CD.
11.已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项不正确的是（ ）
A．数列为递减数列B．
C．的最大值为D．
【答案】ABC
12.在等比数列中，，，则（ ）
A．的公比为4B．的前20项和为170
C．的前10项积为D．的前n项和为
【答案】ABC
【分析】利用等比数列的性质、等差数列、等比数列的求和公式计算即可.
【详解】由题意可知，所以，
所以，，A对；
由上可知：，所以，
B对；
而，C对；
记的前n项和为，则
的前n项和，
D错，
故选：ABC.
第Ⅱ卷（非选择题）
填空题（共20分）
13. 已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，若，则______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义直接求解即可.
【详解】椭圆的长半轴长，而、为该椭圆的两个焦点，且弦过，
则，
于是，而，
所以.
故答案为：8
14. 已知数列满足，，则数列的通项公式为
【答案】
15. 已知圆，则圆上到直线的距离为的点个数为______．
【答案】
【解析】
【详解】圆是一个以为圆心，以为半径的圆，圆心到的距离为，圆上到直线的距离为的点个数为，故答案为.
16. 已知双曲线方程为，左焦点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据对称性求出渐近线的倾斜角，再根据渐近线的斜率得，再根据离心率公式可求出结果.
【详解】如图：设关于渐近线对称的点在渐近线上，
的中点在渐近线上，
则，又，
所以，
所以，所以.
故答案为：.
四、解答题（共70分）
17. 已知是等差数列的前n项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）为何值时，取得最大值并求其最大值．
【答案】（1）；（2）n=4时取得最大值.
【分析】（1）利用公式，进行求解；
（2）对进行配方，然后结合由，可以求出的最大值以及此时的值.
【详解】（1）由题意可知：，当时，，
当时，，
当时，显然成立，∴数列的通项公式；
（2），
由，则时，取得最大值28，
∴当为4时，取得最大值，最大值28．
18. 已知圆的圆心为原点，且与直线相切，直线过点.
（1）若直线与圆相切，求直线的方程；
（2）若直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程.
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）首先根据圆与直线相切的几何特征求解圆的方程，再分别讨论斜率存在与斜率不存在两种情况，采用待定系数法，根据圆心到直线的距离等于半径求解切线方程即可；
（2）首先根据弦长求出圆心到直线的距离，再分别讨论斜率存在与斜率不存在两种情况，采用待定系数法，根据圆心到直线的距离求解直线方程即可.
【小问1详解】
圆心到直线的距离，
圆的半径为2，所以圆的方程为；
当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为，不相切.
直线斜率存在，设直线，
由，得或
所以切线方程为，或.
【小问2详解】
设圆心到直线的距离为，则，由，解得.
当直线斜率不存在时，直线方程为，
圆心到直线的距离，即直线被圆所截得的弦长为，符合题意；
当直线斜率存在时，设直线，
则，解得：，
故的方程是，即，
综上所述，直线的方程为或.
19. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
【答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）根据正方体和中位线的性质得到四边形为平行四边形，即，然后根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）利用空间向量的方法求线面角即可；
【小问1详解】
连接交于点，连接，，
因为为正方体，
所以，点为中点，
因为分别为中点，
所以，，
所以，，四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以∥平面.
【小问2详解】
如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
，，，，，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20. 已知等比数列满足：.
(1)求数列的通项公式：
(2)是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，4
【分析】（1）设出公比，得到方程组，求出首项和公比，得到通项公式；
（2）先得到是首项为，公比为的等比数列，利用等比数列求和公式得到不等式，求出，得到答案.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
则由已知可得，
解得，
故；
（2）因为，则，
所以，
故是首项为，公比为的等比数列，
从而，
则，
即，
所以.
21. 已知等差数列的前项和为，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【解答】解：（1）不妨设等差数列的首项、公差分别为，，
由题意有，
所以有，即，
所以，
又因为，，成等比数列，
所以，整理得，
解得，所以，
由等差数列定义可知；
（2）由（1）可知，所以，
由题意当时，有，
所以，
以上两式相减得
，
所以，
且当时，有，
综上所述：．
22.已知椭圆的一个焦点为，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）不过原点的直线与椭圆C交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）由焦点和离心率即可求出，从而可得椭圆方程；
（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，由点直线的距离公式，结合韦达定理，把面积表示为的函数，再利用基本不等式即可求出结果.
【小问1详解】
由已知得，又离心率，得到，，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
设，
联立，消得，
，得到，
由韦达定理得，，
又因为，
又原点到直线的距离为，
所以，
当且仅当，即，满足，
所以，面积的最大值为，此时直线的方程为.
22. 已知椭圆的一个焦点为，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）不过原点的直线与椭圆C交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）由焦点和离心率即可求出，从而可得椭圆方程；
（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，由点直线的距离公式，结合韦达定理，把面积表示为的函数，再利用基本不等式即可求出结果.
【小问1详解】
由已知得，又离心率，得到，，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
设，
联立，消得，
，得到，
由韦达定理得，，
又因为，
又原点到直线的距离为，
所以，
当且仅当，即，满足，
所以，面积的最大值为，此时直线的方程为.
相关试卷
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学高二上学期第三次月考数学试题含答案： 这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学高二上学期第三次月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学高一上学期第三次月考数学试题含答案： 这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学高一上学期第三次月考数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学2023-2024学年高一上学期第三次月考数学试题（解析版）： 这是一份黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学2023-2024学年高一上学期第三次月考数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了请将答案规范填写在答题卡上， 三个数，，的大小关系， 函数的零点所在的区间为， 已知，则的最小值为， 下列命题为真命题的是等内容，欢迎下载使用。
