人教A版高中数学(选择性必修二)同步培优讲义专题5.9 一元函数的导数及其应用全章综合测试卷（提高篇）（2份打包，原卷版+教师版）

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第五章 一元函数的导数及其应用全章综合测试卷（提高篇）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2022·广西玉林·高二期末（理））设是定义在R上的可导函数，若（a为常数），则（    ）A． B．2a C． D．a【解题思路】根据导数的定义及极限的性质计算可得；【解答过程】解：.故选：A.2．（5分）（2022·江西·高二开学考试（理））若函数的导函数为，且满足，则（    ）A． B． C． D．【解题思路】对求导，得到，令，得到，即可得到，然后求即可.【解答过程】由，得，令，则，解得，所以，.故选：D.3．（5分）（2022·陕西安康·高二期末（文））为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（    ）A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同；C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；D．在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同．【解题思路】根据图象以及导数的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【解答过程】A选项，根据图象可知，在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同，A选项结论正确.B选项，根据图象以及导数的知识可知，在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同，B选项结论正确.C选项，根据图象可知，在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同，C选项结论正确.D选项，根据图象可知，在这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率为大于在这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率D选项结论错误.故选：D.4．（5分）（2022·湖北·高三阶段练习）若直线是曲线与的公切线，则（     ）A． B． C． D．【解题思路】设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，求出，，由点、点在切线上，得切线方程，进而即得.【解答过程】设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，又，，所以，，由点在切线上，得切线方程为；由点在切线上，得切线方程为，故，解得，，故.故选：B.5．（5分）（2022·四川自贡·一模（理））已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B． C． D．【解题思路】首先证明此函数为偶函数，再利用其导函数得到其单调性，利用其是偶函数得到，，通过指数函数单调性得，再根据幂函数性质证明出，同取对数得到，则有，再利用单调性即可得到大小关系.【解答过程】因为，定义域关于原点对称，，所以为上的偶函数，当时,，设，则，，，所以即在上单调递减,所以,所以在上单调递减,又因为为偶函数,所以在上单调递增，又因为,,，又因为,因为,，所以,所以，即,所以,所以,即.故选：D.6．（5分）已知定义在上的函数的导函数为，对任意的满足．若的最小值为，则不等式的解集是（    ）A． B． C． D．【解题思路】构造函数，利用导数可得出，可得出，其中为常数，利用导数求出函数的最小值，可得出的值，然后再解不等式即可.【解答过程】构造函数，该函数的定义域为，则，所以，，可得，其中为常数，则，当，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，，解得，故，由可得，所以，不等式的解集是.故选：B.7．（5分）（2022·江苏南京·模拟预测）已知函数（），且在有两个零点，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【解题思路】根据给定条件，利用零点的意义等价转化，构造函数，再借助导数探讨函数在有两个零点作答.【解答过程】，，由得，，则，令，依题意，函数在有两个零点，显然，而在上单调递增，则有，当或，即或时，在上单调递增或单调递减，即有函数在只有一个零点1，因此，此时当时，，当时，，函数在上单调递减，在单调递增，则，要函数在有两个零点，当且仅当在上有一个零点，即有，解得，所以的取值范围.故选：C.8．（5分）（2022·江西·高三阶段练习（理））设函数是定义域为的增函数，且关于对称，若不等式有解，则实数a的最小值为（    ）A． B．5 C． D．6【解题思路】由题意令关于对称，有，由此变换化简得，然后由函数是定义域为的增函数得到相应的不等式，分离参数构造新函数，对新函数求导，利用导数来研究最值即可【解答过程】设，所以关于对称，所以所以即令所以即所以由不等式有解，即，因为函数是定义域为的增函数，所以成立，即成立，即求，设，所以，令，所以，因为，所以，所以在上单调递增，又，所以在上存在唯一的零点 满足，此时当时，，当时，，所以在单调递减，在上单调递增，所以，因为，所以，所以，所以，所以有最小值：5，故选：B.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2022·黑龙江·高二阶段练习）（多选）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量，甲、乙两人服用该药物后，血管中的药物浓度（单位：）随时间（单位：）变化的关系如图所示，则下列四个结论中正确的是（    ）A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同B．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率相同C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率相同D．在，两个时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率不相同【解题思路】根据已知血管中的药物浓度随时间变化图象，结合瞬时变化率、平均变化率的概念判断各选项的正误.【解答过程】A：在时刻，两图象相交，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，正确；B：两条曲线在时刻的切线的斜率不相等，所以甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率不相同，错误；C：根据平均变化率公式，可知在这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率都是，正确；D：在时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率是，在时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率是，显然不相等，正确．故选：ACD．10．（5分）（2022·福建宁德·高三期中）已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”，下列选项中有“巧值点”的函数是（    ）A． B． C． D．【解题思路】根据“巧值点”的定义，结合导数运算，对每个选项进行逐一判断，即可选择.【解答过程】对A：，则 ，令 ，则，故有“巧值点”；对B：，则 ，因为 恒成立，故任意的，都是的“巧值点”；对：，则 ，令，整理得，方程无根，故没有“巧值点”；对：定义域为，则 ，而，显然 无根，故没有“巧值点”.故选：.11．（5分）（2022·江苏·高三期中）已知函数，其导函数为，下列说法正确的是（    ）A．函数的单调减区间为B．函数的极小值是C．当时，对于任意的，都有D．函数的图像有条切线方程为【解题思路】对函数进行求导，对A令即可解决问题；B选项把增减区间求出来后即可得极值；C选项做差法证明即可；D由切线斜率为3出发反向分析即可得答案.【解答过程】因为所以，，所以的单调减区间为，故A正确．令，则或 所以在，单调递增在单调递减所以函数的极小值为，故选项B正确；由，若，即 矛盾，故选项C错误．，解的或，当时切点不在上当时切点不在上，故选项D错误，故选：AB．12．（5分）（2022·黑龙江·高三期中）已知函数则下列结论正确的有（    ）A．当时，是的极值点B．当时，恒成立C．当时，有2个零点D．若是关于x的方程的2个不等实数根，则【解题思路】对于A，代入后对求导，利用导数与函数极值的关系即可得证；对于B，构造函数，利用导数求得，从而可证得；对于C，举反例排除即可；对于D，利用极值点偏移的证明方法即可证得.【解答过程】对于A，当时，，则，令，得；令，得；所以在上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点，故A正确；对于B，令，得，令，则，令，解得，故当，，单调递增；当，，单调递减；所以，因为，所以，故，整理得，即恒成立，故B正确；对于C，令，则，令，解得，故只有1个零点，故C错误；对于D，因为是关于的方程的2个不等实数根，所以，即，所以问题等价于有两个零点，证明，不妨设，则由得到，要证，只需要证明，即只需证明：，只需证明：，即，令，只需证明：，令，则，即在上单调递增，又，所以，即恒成立，综上所述，原不等式成立，即成立，故D正确.故选：ABD.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2022·广东·高二阶段练习）酒杯的形状为倒立的圆锥(如图)，杯深8 cm，上口宽6 cm，水以20 cm3/s的流量倒入杯中，当水深为4 cm时，水升高的瞬时变化率为 ．【解题思路】利用体积公式计算得到，再求出水深为，对应的时间为的大小，最后利用导数可求瞬时变化率.【解答过程】由题意，设时刻水面高为，水面圆半径为, 则可得 此时水的体积为 ，又由题设条件知，此时的水量为20t，故有 故有，，当水深为，对应的时间为，则， ，所以当水深为4 cm时，水升高的瞬时变化率为，故答案为：.14．（5分）（2022·全国·高二专题练习）已知，且，，那么 2 .【解题思路】在题中等式两边同乘可得，可得出，由可求得的值，进而可求得的值.【解答过程】因为，所以，，即，所以，，因为，则，所以，，解得，所以，，因此，.故答案为：.15．（5分）（2022·广东·高三阶段练习）已知函数，给出以下说法：①当有三个零点时，的取值范围为；②是偶函数；③设的极大值为，极小值为，若，则；④若过点可以作图象的三条切线，则的取值范围为.其中所有正确说法的序号为 ①②④ .【解题思路】利用导数分析函数的单调性，结合零点存在性定理判断①，根据偶函数的定义判断②，结合函数的单调性求出函数的极值，判断③，结合导数的几何意义判断④.【解答过程】因为，所以，所以当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以当时，，函数在上单调递减，又，所以函数在时取极小值，极小值为，在时取极大值，极大值为，当有三个零点时，则解得，①正确.，，所以是偶函数，②正确.由，得，③错误.设切点为，则切线的斜率为，化简得，设，则，令，解得或；令，解得， 可得在和上是减函数，在上是增函数，可知的极小值为，极大值为，要使有三个实数根，则，解得，即存在三条切线，所以④正确，故所有正确说法的序号为①②④.故答案为：①②④.16．（5分）（2022·四川省高三阶段练习（理））已知函数，若存在，使得成立，则下列命题正确的有 ①③④ ．①当时，     ②当时，③当时，     ④当时，的最小值为【解题思路】根据可求得在上单调递增，在上单调递减，则可画出的图像；利用同构可知等价于，结合图像则可判断① ②③；当时，可得，，构造函数可判断④．【解答过程】解：①，令得，在上递增，且值域；令得，在上递减，且值域；作图如下：当时，由知：若，使得，则，当时，若，使得，则，由得：，令得，在上递增，且值域；令得，在上递减，且值域；作出图象如下：当时，由知：若使得，则，当时， 若使得，则，∴当时，．故①正确．②当时，由得：，即，∴可看成的两零点，作出的图象如下：由图象易知：或均可趋向于，故②错误；③当时，由①的讨论知：，，．故③正确；④当时，此时，由②知：，，则，∴要求的最小值即求的最小值即可，令，则，令，解得：，易知为极小值点，故的最小值为．故④正确．故答案为：①③④．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2022·全国·高二课时练习）已知三个函数f1(x)＝2x，f2(x)＝x2，f3(x)＝2x.（1）指出三个函数在[0，＋∞)上的单调性；（2）取x1＝0，x2＝2，x3＝4，x4＝6，Δx＝2.求三个函数分别在区间[xi，xi＋Δx](i＝1,2,3,4)上的平均变化率(列成表格即可)；（3）分析三个函数在[xi，xi＋Δx](i＝1,2,3,4，…)上随自变量的增加，其平均变化率的变化情况.【解题思路】（1）利用一次函数、二次函数和指数函数性质解答；（2）计算平均变化率填表；（3）根据（2）的表格数据分析平均变化率的变化情况.【解答过程】(1)根据一次函数、二次函数和指数函数性质可知.函数f1(x)＝2x，f2(x)＝x2，f3(x)＝2x在[0，＋∞)上都是增函数.(2)列表：(3)由上表可知：函数f1(x)＝2x随着自变量的增大，在自变量增量Δx的条件下，各区间上的函数平均变化率都相等，这说明函数呈匀速增长状态；函数f2(x)＝x2在各区间上的平均变化率不相等，并且越来越大，这说明函数值随自变量增长的速度越来越快；函数f3(x)＝2x在各区间上的平均变化率不相等，并且越来越大，这说明f3(x)的函数值随自变量增长的速度越来越快，并且比f2(x)的增长速度快的多.18．（12分）（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【解题思路】（1）（2）（3）（4）（5）（6）根据复合函数的求导法则和基本函数的求导公式逐个求解即可.【解答过程】（1）函数可以看作函数和的复合函数，∴ ．（2）函数可以看作函数和的复合函数，∴ .（3）函数可以看作函数和的复合函数，∴ ．（4）函数可以看作函数和的复合函数，∴ ．（5）函数可以看作函数和的复合函数，∴ ．（6）函数可以看作函数和的复合函数，∴ ．19．（12分）（2022·山东·高三阶段练习）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若，讨论的单调性．【解题思路】（1）先将代入得到，并求出的值，再利用导数的几何意义求出切线方程的斜率，然后通过直线的点斜式方程即可写出切线方程.（2）先求出的导函数并进行因式分解，可得到一个含参的二次式，然后对参数进行分类讨论即可得到函数的单调性.【解答过程】（1）因为，所以，所以，因为，所以切线方程的斜率为，又因为切线方程过点，所以切线方程为，即，故当时，曲线在点处的切线方程为.（2）因为的定义域为，，令，解得或，当时，即，，所以函数在区间上单调递减；当，即时，令，解得或，所以函数在区间和上单调递减，令，解得，所以函数在区间上单调递增；当，即时，令，解得或，所以函数在区间和上单调递减，令，解得，所以函数在区间上单调递增.综上所述，当时，函数在区间上单调递减；当时，函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增；当时，函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增.20．（12分）（2022·四川高三期中）已知函数.(1)求函数的极值；(2)设 有两个不同的零点，，为其极值点，证明：．【解题思路】(1)利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的极值；(2)利用导数研究函数的单调性，即可求出函数，得；设，利用导数研究函数的单调性求出，可得，有；根据零点的定义可得，只需证，利用换元法，构造函数，利用导数研究函数的性质，即可求解.【解答过程】（1）由题意知，函数的定义域为，，令，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值，无极大值，且极小值为；（2）()，，令，令，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，所以，则.又函数在上有2个零点，所以，解得.设，则，令，令，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，即，即，所以，又，，两式相减，得，设，要证，只需证，即证，即证，令，则，设，则，所以函数在上单调递增，有，即在上恒成立，所以.综上，.21．（12分）（2022·河北·高三阶段练习）已知函数.(1)若，讨论的单调性；(2)若（i）证明恰有两个零点；（ii）设为的极值点，为的零点且，证明：.【解题思路】（1）对函数求导，利用导函数在定义域内的正负来确定函数的单调性即可；（2）（i）根据解析式可知：，然后结合（1）对导函数再次求导，判断导函数的单调性，进而确定函数的单调性，利用零点存在性定理可得函数在上存在一个零点，进而求解；（ii）由得到；再利用为的零点且，不等式进行转化可得，进一步利用不等式的传递性即可证明.【解答过程】（1）由题意可知：函数的定义域为，则，当时，，所以函数在上单调递增.（2）（i）由题意可知：，由（1）知：，则，所以在上单调递减，当时，，此时递增，，函数无零点.易证当时，，，下证：当时，，令，则，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故，也即，故， 当时，单调递减，，，所以存在唯一的，使得.函数在上单调递增，在上单调递减，，所以在上存在一个零点.综上：函数恰有两个零点.（ii）由得到；由得到，所以由可得，即，又因为，所以.22．（12分）（2022·全国·模拟预测）设函数，为的导函数.(1)当时，①若函数的最大值为0，求实数的值；②若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.(2)当时，设，若，其中，证明：.【解题思路】(1)① 当时，对求导，得到函数单调性，即可求得函数的最值.② 要求恒成立时的取值范围，等价于，构造新的函数，将问题转化为求新构造函数的最大值，问题即可解决.(2)当时，，求导即可得到的函数表达式，对求导，得到函数的图像，设，则要证明，只需要证明，构造新函数，求导研究函数的单调性，证明在上恒成立即可.【解答过程】（1）当时，.①易知，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，故，所以.②解法一，不等式.设（），，则由① 知，所以存在实数，使得不等式成立，等价于存在实数，使得成立.易知在上单调递减，所以，所以，即实数的取值范围为.解法二，不等式.设，则存在实数，使得不等式成立，等价于存在实数，使得成立.易知，当时，易知，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即实数的取值范围为.（2）当时，，，所以，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，且当时，，当时，，故可作出的大致图象如图所示.-2不妨设，由图易知.要证，只需证.因为在上单调递减，所以只需证，又，所以只需证对任意的恒成立.设，则.设，则，因为当时，，，所以所以在上单调递减，所以，又当时，，所以，所以在上单调递增，所以，即在上恒成立，又，所以，原不等式得证. 函数区间[0,2][2,4][4,6][6,8]f1(x)＝2x2222f2(x)＝x2261014f3(x)＝2x62496