中考数学一轮复习专题18 解直角三角形-知识点梳理讲义（2份打包，原卷版+教师版）

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1.理解正弦、余弦、正切的概念，并能运用.
2.掌握特殊角三角函数值，并能运用特殊角的三角函数值进行计算和化简；
3.理解直角三角形的概念，灵活运用直角三角形中边与角的关系和勾股定理解直角三角形，提高把实际问题转化为解直角三角形问题的能力；
一、直角三角形的性质
1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90° SKIPIF 1 < 0 ∠A+∠B=90°
2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
可表示如下：
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
可表示如下：
4、勾股定理 直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即 SKIPIF 1 < 0
5、射影定理
在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项
6、常用关系式
由三角形面积公式可得：
AB SKIPIF 1 < 0 CD=AC SKIPIF 1 < 0 BC
二、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c有关系 SKIPIF 1 < 0 ，那么这个三角形是直角三角形。
三、锐角三角函数的概念
1、如图，在△ABC中，∠C=90°
①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即 SKIPIF 1 < 0
②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为csA，即 SKIPIF 1 < 0
③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即 SKIPIF 1 < 0
④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为ctA，即 SKIPIF 1 < 0
2、锐角三角函数的概念
锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数
3、一些特殊角的三角函数值
4、各锐角三角函数之间的关系
（1）互余关系
sinA=cs(90°—A)，csA=sin(90°—A) tanA=ct(90°—A)，ctA=tan(90°—A)
（2）平方关系
SKIPIF 1 < 0
（3）倒数关系
tanA SKIPIF 1 < 0 tan(90°—A)=1
（4）弦切关系
tanA= SKIPIF 1 < 0
5、锐角三角函数的增减性
当角度在0°~90°之间变化时，
（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
四、解直角三角形
1、解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的理论依据
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c
（1）三边之间的关系： SKIPIF 1 < 0 （勾股定理）
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
（3）边角之间的关系： SKIPIF 1 < 0
1．（2022·佛山市华英学校九年级期末）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的三边都缩小5倍，则 SKIPIF 1 < 0 的值（ ）
A．放大5倍B．缩小5倍C．不变D．无法确定
2．（2022·重庆实验外国语学校九年级开学考试）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则sinC=（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·重庆市南华中学校）西南大学附中初2020级小李同学想利用学过的知识测量一棵树的高度，假设树是竖直生长的，用图中线段AB表示，小李站在C点测得∠BCA=45°，小李从C点走4米到达了斜坡DE的底端D点，并测得∠CDE=150°，从D点上斜坡走了8米到达E点，测得∠AED=60°，B，C，D在同一水平线上，A、B、C、D、E在同一平面内，则大树AB的高度约为（ ）米．（结果精确到0.1米，参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
A．24.3B．24.4C．20.3D．20.4
4．（2022·如皋市实验初中九年级期末）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是锐角，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值是（ ）
A．4B．6C． SKIPIF 1 < 0 D．8
5．（2022·沙坪坝区·重庆八中九年级二模）如图，一棵松树AB挺立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为52米，坡度为i＝12：5，小张从与点C相距60米的点D处向上爬12米到达观景台DE的顶端点E，在此测得松树顶端点A的仰角为39°，则松树的高度AB约为（ ）（参考数据：sin39°≈0.63，cs39°≈0.78，tan39°≈0.81）
A．16.8米B．28.8米C．40.8米D．64.2米
6．（2022·宜兴市实验中学九年级二模）如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，点 SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 一点，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折叠，点 SKIPIF 1 < 0 落在矩形 SKIPIF 1 < 0 内的点 SKIPIF 1 < 0 处，连接 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．（2022·河南省淮滨县第一中学九年级开学考试）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是斜边 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为________．
8．（2022·沈阳实验中学九年级二模）如图，新疆部A位于学校主教学楼P南偏东45°方向，且距离教学楼60米，某同学从这里出发沿着正北方向走了一段时间后，到达位于主教学楼北偏东30°方向的综合楼B处，此时这位同学一共走的距离为______米．
9．（2022·南山实验教育集团南海中学九年级三模）如图，有甲、乙两建筑物，甲建筑物的高度为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，某数学学习小组开展测量乙建筑物高度的实践活动，从 SKIPIF 1 < 0 点测得 SKIPIF 1 < 0 点的仰角为 SKIPIF 1 < 0 ，从 SKIPIF 1 < 0 点测得 SKIPIF 1 < 0 点的仰角为 SKIPIF 1 < 0 ．求乙建筑物的高 SKIPIF 1 < 0 ．
10．（2022·北京市第十三中学九年级期中）已知：如图，在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝30°，AC＝2．求BC的长．
三角函数
0°
30°
45°
60°
90°
sinα
0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
1
csα
1
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
tanα
0
SKIPIF 1 < 0
1
SKIPIF 1 < 0
不存在
ctα
不存在
SKIPIF 1 < 0
1
SKIPIF 1 < 0
0