中考数学一轮复习专题19 相似三角形-知识点梳理讲义（2份打包，原卷版+教师版）

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1.了解相似图形和相似三角形的概念。
2.掌握三角形相似的判定方法和性质并学会运用。
一、相似图形
1.形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.
2.比例线段的相关概念
如果选用同一单位量得两条线段 SKIPIF 1 < 0 的长度分别为 SKIPIF 1 < 0 ，那么就说这两条线段的比是 SKIPIF 1 < 0 ，或写成 SKIPIF 1 < 0 ．
注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．
在四条线段 SKIPIF 1 < 0 中，如果 SKIPIF 1 < 0 的比等于 SKIPIF 1 < 0 的比，那么这四条线段 SKIPIF 1 < 0 叫做成比例线段，简称比例线段．
注意：
(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．
(2)比例线段是有顺序的，如果说 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的第四比例项，那么应得比例式为： SKIPIF 1 < 0 ．
3. 比例的性质
基本性质：
(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
注意：
由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如 SKIPIF 1 < 0 ，除
了可化为 SKIPIF 1 < 0 ，还可化为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
更比性质(交换比例的内项或外项)：
SKIPIF 1 < 0
反比性质(把比的前项、后项交换)：
SKIPIF 1 < 0 ．
合比性质：
SKIPIF 1 < 0 ．
注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间
发生同样和差变化比例仍成立．如： SKIPIF 1 < 0 等等．
等比性质：
如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ．
注意：
(1)此性质的证明运用了“设 SKIPIF 1 < 0 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
4.比例线段的有关定理
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：
(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．
(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．
定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边．
5.黄金分割
把线段 SKIPIF 1 < 0 分成两条线段 SKIPIF 1 < 0 ，且使 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的比例中项，叫做把线段 SKIPIF 1 < 0 黄金分割，点 SKIPIF 1 < 0 叫做线段 SKIPIF 1 < 0 的黄金分割点，其中 SKIPIF 1 < 0 ≈0.618 SKIPIF 1 < 0
例1．如果 SKIPIF 1 < 0 ，则下列正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
根据比例的基本性质，列出比例式即可．
【详解】
解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B．
例2．两个相似多边形的一组对应边的长分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么它们的相似比为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
根据相似多边形的性质求解即可；
【详解】
两个相似多边形一组对应边的长分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴它们的相似比为： SKIPIF 1 < 0 ．
故选A．
二、相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．
相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．
相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．
相似三角形对应角相等，对应边成比例．
注意：
①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．
②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．
③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．
= 4 \* GB3 ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．
三、相似三角形的等价关系
(1)反身性：对于任一 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ．
(2)对称性：若 SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ．
(3)传递性：若 SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ．
四、相似三角形的基本定理
定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原
三角形相似．
定理的基本图形：
五、三角形相似的判定方法
1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．
2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角
形与原三角形相似．
3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两
个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．
4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹
角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这
两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．
6、判定直角三角形相似的方法：
(1)以上各种判定均适用．
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．
直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
（1）（AD）2=BD·DC，
（2）（AB）2=BD·BC ，
（3）（AC）2=CD·BC 。
证明：在 △BAD与△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴ AD/BD＝CD/AD，即
（AD）2=BD·DC。其余类似可证。
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得：
（AB）2+（AC）2=BD·BC+CD·BC =（BD+CD)·BC=（BC）2，
即 （AB）2+（AC）2=（BC）2。
这就是勾股定理的结论。
例3．下列能够相似的一组三角形为（ ）
A．所有的直角三角形B．所有的等腰三角形
C．所有的等腰直角三角形D．所有的一边和这边上的高相等的三角形
【答案】C
【分析】
根据相似三角形的判定条件：有两组对应角相等和三边对应成比例，两边成比例并且两边的夹角相等，进行判断即可．
【详解】
解：A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知，故不符合题意；
B中什么条件都不满足，故不符合题意；
C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，故不符合题意；
D中只有一条对应边的比相等，故不符合题意．
故选C．
例4．如图，等边 SKIPIF 1 < 0 中，点E是 SKIPIF 1 < 0 的中点，点D在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
由等边三角形的性质，中点的定义得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】
解：∵ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵点E是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
六、相似三角形性质
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
(3)相似三角形周长的比等于相似比．
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等．
例5．两个三角形的相似比是3：2，则其面积之比是（ ）
A．3：2B．2：3C．9：4D．27：8
【答案】C
【分析】
由两个相似三角形，其相似比3：2，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【详解】
解：因为两个三角形的相似比是3：2，则其面积之比是9：4；
故选C．
例6．如图， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】
根据相似三角形的性质可以得到 SKIPIF 1 < 0 ，再利用三角形内角和定理求出∠Ｃ即可得到答案．
【详解】
解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠C=180°-∠A-∠B=73°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选C．
1．（2022·福建省泉州实验中学九年级期中）如图，已知 SKIPIF 1 < 0 内接于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的长是方程 SKIPIF 1 < 0 的两实数根，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
连接BE，，由角平分线的定义得到 SKIPIF 1 < 0 ，再由圆周角定理解得 SKIPIF 1 < 0 ，可证明 SKIPIF 1 < 0 ，再利用相似三角形对应边成比例的性质，解得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据一元二次方程根与系数的关系得到 SKIPIF 1 < 0 ，结合已知条件可解题．
【详解】
解：连接BE，如图，
SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的长是方程 SKIPIF 1 < 0 的两实数根，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B．
2．（2022·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级开学考试）如图，如果l1∥l2∥l3，则下列各式错误的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
利用平行线分线段成比例定理和比例的性质对各选项进行判断．
【详解】
解：∵l1∥l2∥l3，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D．
3．（2022·广西贺州市·九年级期中）如图所示，已知点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB＝2，则AC的长约为（ ）
A．1.543B．1.236C．1.123D．1.618
【答案】B
【分析】
根据黄金分割点的定义，当AC是较长线段时，AC= SKIPIF 1 < 0 AB，代入数据即可得出AC的长度．
【详解】
解：∵线段AB=2，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC时，
∴AC= SKIPIF 1 < 0 AB= SKIPIF 1 < 0 ×2= SKIPIF 1 < 0 -1≈1.236，
故选：B．
4．（2022·广西贺州市·九年级期中）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则下列式子成立的是（ ）
A．3x＝5yB．xy＝15C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
根据比例的性质逐个判断即可．
【详解】
解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴两边都乘以5y，得5x=3y，故选项A、B都不符合题意；
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴两边都乘以3y，得xy=15，故选项C不符合题意；
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴两边都乘以3x，得3y=5x，故选项D符合题意；
故选：D．
5．（2022·全国九年级专题练习）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（－1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，则点B的横坐标是（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
过点B作 SKIPIF 1 < 0 轴于E，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于F，根据位似变换的性质得出 SKIPIF 1 < 0 的边长放大到原来的2倍， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而得出点B的横坐标．
【详解】
解：如图，过点B作 SKIPIF 1 < 0 轴于E，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于F，
SKIPIF 1 < 0 点C的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，
以点C为位似中心，在x轴的下方作把 SKIPIF 1 < 0 的边长放大到原来的2倍的位似图形 SKIPIF 1 < 0 ，
点B的对应点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标是a，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点B的横坐标是： SKIPIF 1 < 0 ．
故选D．
6．（2022·全国九年级专题练习）下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】
根据位似图形的定义逐一判定即可得答案．
【详解】
①两个正方形是相似图形，但对应点的连线不一定交于一点，故不一定是位似图形，
②两个等边三角形是相似图形，但对应点的连线不一定交于一点，故不一定是位似图形，
③两个同心圆符合位似图形的定义，是位似图形，
④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形，
∴正确的有③④，共2个，
故选：B．
7．（2022·全国九年级专题练习）如图，直线l1∥l2∥l3，若AB=2，BC=3，DE=1，则EF的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．6D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
根据平行线分线段成比例求解即可．
【详解】
解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵AB=2，BC=3，DE=1，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴EF= SKIPIF 1 < 0 ，
故选B．
8．（2022·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级开学考试）如图，DE∥BC，且DB＝AE，若AB＝5，AC＝10，则AE的长是____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
根据平行线分线段成比例，列出比例式即可求得 SKIPIF 1 < 0 的长．
【详解】
SKIPIF 1 < 0 DE∥BC，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 DB＝AE，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 AB＝5，AC＝10，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
9．（2022·诸暨市滨江初级中学）如图，已知AB∥DC，点E、F在线段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF．
（1）求证：△ABE∽△CDF．
（2）若BD＝8，DF＝2，求EF的长．
【答案】（1）见解析；（2）EF＝2．
【分析】
（1）根据AB∥DC，可得∠B＝∠D，再由AB＝2DC，BE＝2DF，可得AB：DC＝BE：DF＝2，即可证得；
（2）根据BE＝2DF，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解．
【详解】
（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠B＝∠D，
∵AB＝2DC，BE＝2DF，
∴AB：DC＝BE：DF＝2，
∴△ABE∽△CDF；
（2）解：∵BE＝2DF，DF＝2，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∵BD＝8，
∴EF＝BD﹣DF﹣BE＝2．
10．（2022·全国九年级专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 值．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【分析】
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再代入求值即可.
【详解】
解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．