新高考数学二轮复习圆锥曲线专题突破提升练习第14讲 设点设线技巧之设线技巧归纳总结（2份打包，原卷版+解析版）

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1．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，短轴的两个端点分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若△ SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）若椭圆 SKIPIF 1 < 0 的短轴长为2，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，且以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆经过点 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
2．已知动圆过定点 SKIPIF 1 < 0 ，且在 SKIPIF 1 < 0 轴上截得的弦 SKIPIF 1 < 0 的长为8．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（Ⅱ）已知点 SKIPIF 1 < 0 ，设不垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线与轨迹 SKIPIF 1 < 0 交于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 轴是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，证明直线过定点．
3．设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，上顶点为 SKIPIF 1 < 0 ．已知椭圆的短轴长为4，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点，点 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 为原点），求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率．
4．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，经过点 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点．
（1）若抛物线的准线经过点 SKIPIF 1 < 0 ，求抛物线的标准方程和焦点坐标：
（2）是否存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积取得最大值？若存在，请求出这个最大值及 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由．
5．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点 SKIPIF 1 < 0 恰好为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率；
（2）与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率相同的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，求当 SKIPIF 1 < 0 的面积最大时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
6．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点（不同于点 SKIPIF 1 < 0 ，记直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，试判断是否存在定值 SKIPIF 1 < 0 ，使当 SKIPIF 1 < 0 变化时 SKIPIF 1 < 0 总成立？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由．
7．如图，已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，离心率 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（Ⅱ）设 SKIPIF 1 < 0 是经过右焦点 SKIPIF 1 < 0 的任一弦（不经过点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列．
8．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的线段的长为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）设动点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率大于 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 为原点）的斜率的取值范围．
9．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一点，且在第一象限，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（1）求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）已知经过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，经过定点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的直线与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，问直线 SKIPIF 1 < 0 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．
10．设直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相交于不同两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，与圆 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 是正三角形 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点），求此三角形的边长；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（3）试对 SKIPIF 1 < 0 进行讨论，请你写出符合条件的直线 SKIPIF 1 < 0 的条数（只需直接写出结果）
11．如图，已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 在第一象限相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都在圆 SKIPIF 1 < 0 上，且线段 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 的直径．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴相交于 SKIPIF 1 < 0 点， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
12．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，椭圆上一点 SKIPIF 1 < 0 与椭圆右焦点的连线垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相切于第一象限的直线 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 斜率的最小值．
13．已知圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，且与直线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点为 SKIPIF 1 < 0 ．判断 SKIPIF 1 < 0 是否为定值．若是，求出这个定值，若不是，说明理由．
14．下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整．
（1）圆 SKIPIF 1 < 0 上点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 ．理由如下： ．
（2）椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 外一点，过点 SKIPIF 1 < 0 作椭圆的两条切线，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如图，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程是 ．这是因为在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点处，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．两切线都过 SKIPIF 1 < 0 点，所以得到了 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，由这两个“同构方程”得到了直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（4）问题（3）中两切线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得△ SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．
若 SKIPIF 1 < 0 ，则由这个方程可知 SKIPIF 1 < 0 点一定在一个圆上，这个圆的方程为 ．
（5）抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（6）抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，过焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，分别过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 作抛物线的两条切线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ．则①点 SKIPIF 1 < 0 在以线段 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上；②点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线上．
15．如图1，在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆的左右顶点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是左、右焦点．
（1）已知椭圆内有一点 SKIPIF 1 < 0 ，在椭圆上有一动点 SKIPIF 1 < 0 ，则求 SKIPIF 1 < 0 的最大值和最小值分别是多少？
（2）如图1，若直线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴，点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆上异于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的任意一点，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，设过点 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 的直线为 SKIPIF 1 < 0 ．求证：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点，并求出定点的坐标．
（3）如图2，若直线 SKIPIF 1 < 0 过左焦点 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别交直线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，求证：以线段 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆恒过两个定点．
（4）如图3，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上关于原点对称的两点，点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆上除 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 外的任意一点，当直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率都存在，并记为 SKIPIF 1 < 0 为定值．
（5）如图4，若动直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个公共点，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上的两点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求四边形 SKIPIF 1 < 0 面积 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
（6）如图5，若过点 SKIPIF 1 < 0 且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．试探究：线段 SKIPIF 1 < 0 上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，若存在，求出实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，若不存在，说明理由．
（7）如图6，若点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的动点，设 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的 SKIPIF 1 < 0 ？①点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上；②点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，若存在，求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，若不存在，说明理由．
16．已知直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，过点 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直的直线交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．如图所示．
（1）求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标；
（2）求经过 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点的直线与 SKIPIF 1 < 0 轴交点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
（3）过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由．