专题10：含圆的不规则、组合、阴影图形的面积“奥数思维训练版”-2023-2024学年六年级数学上册期末专项复习（人教版）

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“奥数思维训练版”[]
1．求图中阴影部分的面积。（单位：cm）（π取3.14）
【答案】6cm2
【分析】阴影部分的面积＝直径3cm的半圆面积＋直径4cm的半圆面积＋直角三角形的面积－直径5cm的半圆面积，半圆的面积＝圆周率×半径的平方÷2，三角形面积＝底×高÷2，据此列式计算。
【详解】3.14×（3÷2）2÷2＋3.14×（4÷2）2÷2＋3×4÷2－3.14×（5÷2）2÷2
＝3.14×1.52÷2＋3.14×22÷2＋6－3.14×2.52÷2
＝3.14×2.25÷2＋3.14×4÷2＋6－3.14×6.25÷2
＝3.5325＋6.28＋6－9.8125
＝6（cm2）
图中阴影部分的面积是6cm2。
2．求涂色部分的面积。（单位：cm）（π取3.14）

【答案】30.5cm2
【分析】
如上图，空白1的面积是长方形面积减半径为6的圆的面积的；涂色部分面积是半径为8厘米圆的面积的减去空白1的面积。长方形面积＝长×宽，圆的面积＝半径×半径×3.14，将数值代入计算即可。
【详解】空白1的面积：
6×8－3.14×62÷4
＝48－28.26
＝19.74（cm2）
涂色部分的面积：
3.14×82÷4－19.74
＝50.24－19.74
＝30.5（cm2）
【点睛】本题考查了圆的面积与长方形面积的应用。将不规则的空白1面积转化为长方形面积减圆面积的，是解答本题的关键。
3．下图中，底边和高都是6厘米的等腰三角形，分别以高的长为直径画圆，以底的一半长为直径画两个半圆，求阴影部分的面积。（单位：cm）（π取3.14）
【答案】17.325平方厘米
【分析】由题意可知：阴影部分的面积＝大圆的面积＋小半圆的面积×2（小圆的面积）－三角形的面积，大圆的直径＝6厘米，两个小圆的直径之和也是6厘米，三角形的底和高都是6厘米，据此代入数据即可求解。
【详解】根据分析可得：
3.14×（6÷2）2＋3.14×（6÷2÷2）2－6×6×
＝3.14×32＋3.14×1.52－18
＝3.14×9＋3.14×2.25－18
＝28.26＋7.065－18
＝17.325（平方厘米）
所以，阴影部分的面积是17.325平方厘米。
4．如下图，小半圆的直径是4cm，求阴影部分的面积。（单位：cm）（π取3.14）
【答案】25.12cm2
【分析】阴影部分的面积可以用大圆的面积减去4个小半圆的面积，小半圆的半径是2，大圆的半径是4，根据面积公式计算即可。
【详解】（cm）
（cm2）
5．求下面正方形中阴影部分的面积。（单位：cm）（π取3.14）
【答案】2.28cm2
【分析】
将阴影部分分成相等的两部分，根据正方形和圆的性质，我们可以知道1、2、3部分面积完全相等。求阴影部分的面积就是求1、3部分的面积和。
阴影部分的面积＝直径为4cm的半圆面积－底为4cm、高为2cm的三角形面积
【详解】3.14×（4÷2）2÷2
＝12.56÷2
＝6.28（cm2）
4×（4÷2）÷2
＝4×2÷2
＝4（cm2）
6.28－4＝2.28（cm2）
【点睛】本题考查求阴影部分的面积，注意图形的转换。圆的面积：S＝πr2，三角形面积＝底×高÷2。
6．如图，从这张三角形纸上剪下3个扇形。这3个扇形的面积之和是多少？（单位：cm）（π取3.14）
【答案】157平方厘米
【分析】从图中得知：此三角形为等腰直角三角形，所以把这3个扇形拼在一起，能得到半径为10厘米的半圆，由此得出这3个扇形的面积和是半径为10厘米的半圆的面积；所以利用圆的面积公式S＝πr2进行解答。
【详解】3.14×102÷2
＝3.14×100÷2
＝157（平方厘米）
7．如图，正方形ABCD的边长为6cm，点E在BC上，四边形EBGF也是正方形，边长为2cm，以B为圆心，BA长为半径画弧AC，连接AF，CF，求图中阴影部分面积。（单位：cm）（π取3.14）
【答案】28.26平方厘米
【分析】阴影部分的面积等于四分之一圆的面积加上梯形FGBC的面积，再减去三角形AFG的面积，据此列式计算出阴影部分的面积即可。
【详解】3.14×62÷4＋（2＋6）×2÷2－2×（2＋6）÷2
＝28.26＋8－8
＝28.26（平方厘米）
8．如图，正方形ABCD的边长为6厘米，以CD为直径作圆，点E为半圆周上的中点，点F为BC的中点，求阴影部分的面积。（单位：cm）（π取3.14）
【答案】18.63平方厘米
【分析】如图：连接BE，三角形ABE的底AB长6cm，高是正方形的边长加上圆的半径长，半径长等于正方形边长的一半，即6＋3＝9cm，根据三角形的面积公式可以得出：三角形ABE的面积：6×9÷2＝27cm2；三角形BFE的底是正方形边长BC的一半3cm，高是圆的半径3cm，三角形BFE的面积：3×3÷2＝4.5cm2；四边形ABCD的面积：6×6＝36cm2，半圆DCE的面积：3.14×3×3÷2＝14.13cm2；阴影部分面积＝四边形ABCD的面积＋半圆DCE的面积－三角形ABE的面积－三角形BFE的面积。由此计算即可。
【详解】连接BE，
三角形ABE的面积：
6×（6＋6÷2）÷2
＝6×9÷2
＝27（平方厘米），
三角形BFE的面积：
（6÷2）×（6÷2）÷2
＝3×3÷2
＝4.5（平方厘米），
四边形ABCD的面积：6×6＝36（平方厘米），
半圆DCE的面积：
3.14×（6÷2）×（6÷2）÷2
＝3.14×3×3÷2
＝28.26÷2
＝14.13（平方厘米）
36＋14.13－27－4.5
＝50.13－27－4.5
＝23.13－4.5
＝18.63（平方厘米）
9．如图，O为圆心，AB＝BC＝8厘米，求阴影部分的面积。（单位：cm）（π取3.14）
【答案】20.56平方厘米
【分析】如图，将阴影部分进行拆分，先计算弓形面积，再计算三角形面积，相加的阴影部分的面积。
【详解】如图所示，弓形面积可以用圆的面积减去三角形面积，右图三角形面积直接利用底和高来计算；
（厘米）
（平方厘米）
10．求下图中阴影部分面积。（单位：cm）（π取3.14）
【答案】257
【分析】图中圆的面积减去菱形的面积能得到四周四个阴影部分的面积，有2个阴影部分在平行四边形内部，所以求出的面积除以2，再加上平行四边形面积减去菱形面积即可求出阴影部分面积。
【详解】圆内部阴影部分面积的：
3.14×－20×20÷2
＝3.14×100－200
＝114
114÷2＝57
平行四边形内部阴影部分面积：
20×20－20×20÷2
＝400－200
＝200
阴影部分面积：200＋57＝257
故阴影部分的面积为257。
【点睛】本题主要考查圆的面积，同时要注意平行四边形中的阴影部分面积包含了2个圆四周的阴影部分面积。
11．求图中阴影部分的面积。（单位：cm）（π取3.14）
【答案】28.5平方厘米
【分析】我们可以把空白部分对角线用虚线连接，这时虚线的长度刚好等于圆的半径。两条虚线把空白面积分成了4个等腰直角三角形。可以通过三角形的面积公式求出一个三角形的面积再乘4，即可求出空白部分的面积。最后用圆的面积减去空白部分的面积即可求出答案。
【详解】
作两条对角线的辅助线。由图可知：虚线的长度＝圆的半径＝10厘米，虚线一半的长度刚好等于是三角形的底和高：10÷2＝5（厘米）。所以三角形的面积：
5×5÷2
＝25÷2
＝12.5（平方厘米）
4个三角形的面积：12.5×4＝50（平方厘米）；
圆的面积：
×（3.14×102）
＝×（3.14×100）
＝×314
＝78.5（平方厘米）
阴影部分面积：78.5－50＝28.5（平方厘米）
【点睛】此题考查的是阴影部分面积的题目，关键作辅助线变成四个等腰直角三角形。
12．如图，△ABC是等腰直角三角形，以直角边AB为直径作半圆，与斜边AC交于D，且AB=20厘米，求阴影部分的面积。（单位：cm）（π取3.14）
【答案】100平方厘米
【详解】试题分析：如图所示，连接BD，则图中阴影①和空白②的面积相等，阴影不部分就成了三角形ABC的一半，从而可以求出其面积．
解：阴影部分的面积：20×20÷2÷2，
=400÷2÷2，
=100（平方厘米）；
答：阴影部分的面积是100平方厘米．
点评：解答此题的关键是作出辅助线，将阴影部分转化到三角形中，即可得解．
13．如图，已知图中阴部分的面积是57平方厘米，请求出这个正方形ABCD的面积。（单位：cm）（π取3.14）
【答案】400平方厘米
【详解】试题分析：根据题意和图形可知，阴影部分是由以正方形的边长为直径的两个半圆经过旋转得到的，因此，设这个正方形的边长为2x（因为要涉及到求圆的面积，所以将圆的半径看作为x，则正方形的边长为2x．），两个半圆的面积减去两个阴影部分的面积=正方形面积的一半，可以将阴影部分的面积平均分成两半，分别旋转移动到如图的位置，列方程求出半圆的半径；再求出正方形的边长，根据正方形的面积公式解答即可．
解：设这个正方形的边长为2x（因为要涉及到求圆的面积，所以将圆的半径看作为x，则正方形的边长为2x．），两个半圆的面积减去两个阴影部分的面积=正方形面积的一半．可以将阴影部分的面积平均分成两半，分别旋转移动到如图的位置．
则：3.14×x×x﹣57×2=2x×2x÷2，
3.14×x2﹣114=2x2，
3.14x2﹣2x2=114，
1.14x2=114，
x2=100，
x=10；
2x=2×10=20，
则正方形的边长为20厘米，
这个正方形的面积是：
20×20=400（平方厘米）；
答：这个正方形的面积是400平方厘米．
点评：此题解答关键是运用“转化”，将阴影部分看成是由以正方形的边长为直径的两个半圆经过旋转得到的图形，求出正方形的边长，再根据正方形的面积公式解答．
14．计算下面阴影部分的面积。（单位：cm）（π取3.14）
【答案】25.12平方厘米；28.26平方厘米。
【分析】（1）把三个阴影部分进行拼接，刚才可以得到一个半圆，通过圆的面积除以2即可得到解答；
（2）将第二个正方形进行上下翻转，这时两个阴影部分的面积刚好对称，用大半圆的面积减去一个小圆的面积即可解答。
【详解】（1）3.14×4×4÷2
＝3.14×16÷2
＝3.14×8
＝25.12（平方厘米）；
（2）3.14×6×6÷2－3.14×（6÷2）×（6÷2）
＝3.14×36÷2－3.14×3×3
＝3.14×18－3.14×9
＝3.14×（18－9）
＝3.14×9
＝28.26（平方厘米）
【点睛】此题的考查的是求阴影部分面积，关键在于对阴影部分面积的拼接和翻转的方法。
15．求阴影部分面积。（单位：cm）（π取3.14）
（1） （2）
【答案】（1）16平方厘米；（2）22平方厘米
【分析】（1）将右半部分的不规则阴影部分绕圆心顺时针旋转90°然后再平移，阴影部分的面积相当于底是8厘米、高是4厘米的平行四边形面积的一半，根据平行四边形的面积公式：平行四边形的面积＝底×高，用8×（8÷2）÷2即可求出阴影部分的面积。
（2）将左上部分阴影填补到中间空白处，那么阴影部分的面积恰好是上底为4，下底为7，高为4的梯形的面积，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2。
【详解】（1）8×4÷2
＝32÷2
＝16（平方厘米）
阴影部分的面积是16平方厘米。
（2）（4＋7）×4÷2
＝44÷2
＝22（平方厘米）
阴影部分的面积是22平方厘米。
16．计算阴影部分的周长和面积。（单位：cm）（π取3.14）
（1）
（2）
【答案】（1）周长：47.lcm
面积：78.5cm2
（2）周长：22.28cm
面积：12.56cm2
【分析】（1）根据上图可知，阴影部分的周长＝半径为10厘米的圆的周长的＋直径为10厘米的圆的周长；通过旋转后得出阴影部分的面积正好是半径为10厘米的圆的面积的；
（2）通过观察上图发现：两个阴影部分都是半径为4厘米的扇形并且圆心角的和180°－90°＝90°，90°÷360°＝，那么它们的周长的和是半径为4厘米圆周长的＋4个半径；面积和为：整圆面积的，据此解答。
【详解】（1）周长：
3.14×10×2×＋3.14×10
＝31.4×2×＋31.4
＝15.7＋31.4
＝47.l（cm）
面积：3.14×102×
＝314×
＝78.5（cm2）
（2）周长：3.14×4×2×＋4×4
＝12.56×2×＋16
＝6.28＋16
＝22.28（cm）
面积：3.14×42×
＝50.24×
＝12.56（cm2）
【点睛】是明确弄清楚阴影部分的面积可以由哪些图形的面积和或差求解。
17．求下面图形中涂色部分的面积。（单位：cm）（π取3.14）
【答案】25.12平方厘米；48平方厘米
【分析】圆环面积＝大圆面积－小圆面积，根据S＝πr2，将数值代入计算；
将原图割补后如图所示：
涂色部分的面积＝梯形的面积，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，将数值代入计算即可。
【详解】圆环面积：
3.14×（6÷2）2－3.14×（2÷2）2
＝3.14×9－3.14
＝25.12（平方厘米）
梯形涂色面积：
（6＋10）×6÷2
＝16×6÷2
＝48（平方厘米）
18．求下面图形中涂色部分的面积。（单位：cm）（π取3.14）
【答案】39.25cm²；36 cm²
【分析】第一个图形的阴影部分面积，观察图形可知，阴影部分面积就是直径为5厘米的圆的面积的一半×4，根据圆的面积公式：π×半径2，代入数据即可解答；第二个阴影部分面积，观察图形可知，用底边为12cm，高为12cm的三角形面积减去底边为12cm，高为6cm三角形面积，根据三角形面积公式：底×高÷2，即可解答。
【详解】3.14×（10÷2÷2）2÷2×4
＝3.14×2.52÷2×4
＝3.14×6.25÷2×4
＝19.625÷2×4
＝9.8125×4
＝39.25（cm²）
12×12÷2－12×（12÷2）÷2
＝144÷2－12×6÷2
＝72－72÷2
＝72－36
＝36（cm²）
19．求下面阴影部分的面积。（单位：cm）（π取3.14）

【答案】18.84cm2；15cm2
【分析】（1）算出直径是（6＋4）厘米的半圆的面积分别减去直径是6厘米和4厘米的半圆的面积就是阴影部分的面积，根据圆的面积＝π，代入数据计算即可；
（2）算出两个底是5厘米，高是5厘米的三角形的面积，再减去两个底是5厘米，高是2厘米的三角形的面积，就是阴影部分的面积，据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算即可。
【详解】（1）3.14×[（6＋4）÷2]2÷2
＝3.14×[10÷2]2÷2
＝3.14×25÷2
＝78.5÷2
＝39.25（平方厘米）
3.14×（6÷2）2÷2
＝3.14×9÷2
＝28.26÷2
＝14.13（平方厘米）
3.14×（4÷2）2÷2
＝3.14×4÷2
＝12.56÷2
＝6.28（平方厘米）
39.25－14.13－6.28
＝25.12－6.28
＝18.84（平方厘米）
（2）5×5÷2×2－5×2÷2×2
＝25－10
＝15（平方厘米）
【点睛】掌握圆的面积公式和三角形的面积公式，以及找出求阴影部分的关系式，这是解决此题的关键。
20．求图中阴影部分的周长。（单位：cm）（π取3.14）

【答案】27.98cm；4.71cm
【分析】由图可知，阴影部分的周长＝半径为4cm的半圆弧＋半径为3cm的半圆弧＋4＋2，根据圆的周长＝2r，代入即可求解；
由图可知，阴影部分周长＝直径为1cm的圆的周长＋半径为1cm的圆弧长度，根据圆的周长＝2r＝，代入即可求解。
【详解】2×3.14×4÷2＋2×3.14×3÷2＋4＋3－（4－3）
＝6.28×4÷2＋6.28×3÷2＋4＋3－1
＝25.12÷2＋18.84÷2＋4＋3－1
＝12.56＋9.42＋4＋3－1
＝21.98＋4＋3－1
＝25.98＋3－1
＝28.98－1
＝27.98（cm）
3.14×1＋2×3.14×1÷4
＝3.14＋6.28÷4
＝3.14＋1.57
＝4.71（cm）